043 đề HSG toán 9 hải dương 2017 2018

b Tìm các số tự nhiên có dạng ab.. Cho hình bình hành ABCD có góc 0 B C , đường phân giác góc D BA cắt cạnh BC và đường thẳng CD lần lượt tại E và F.. Gọi O O, ' lần lượt là tâm đườn

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG

NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1 a) Cho

A=

1



    Rút gọn B 1 2A4 x1 với

1 0

4

x

 

b) Cho x y z, , 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn 1 1 1 0

x  y z Chứng

x

Câu 2 a)Giải phương trình    2 

x  x  x   

b)Giải hệ phương trình

2 2 3

2

x y xy

x x y





 

Câu 3 a)Tìm các số thực x sao cho x 2018 và 7 2018

x đều là số nguyên

b) Tìm các số tự nhiên có dạng ab Biết rằng ab2ba2 là số chia hết cho

3267

Câu 4 Cho hình bình hành ABCD có góc 0

B C , đường phân giác góc

D

BA cắt cạnh BC và đường thẳng CD lần lượt tại E và F Gọi O O, '

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD và CEF

1)Chứng minh rằng O'thuộc đường tròn ( )O

2) Khi DE vuông góc BC

a) Tiếp tuyến của ( )O tại D cắt đường thẳng BC tại G Chứng minh

rằng BG CE BE CG

b)Đường tròn ( )O và ( ')O cắt nhau tại điểm H (H khác C) Kẻ tiếp tuyến chung IK (I thuộc ( )O ,K thuộc ( ')O và H I K, , nằm cùng phía

bờ OO ' ) Dựng hình bình hành CIMK Chứng minh OB O C ' HM

Câu 5 Cho x y z, , 0 thỏa mãn 2 2 2

3x

x y z  yz Tìm GTLN của

x

P

x yz y z z xy

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG

NĂM HỌC 2017-2018

Câu 1 a) Cho

A=

1



    Rút gọn B 1 2A4 x1 với

1 0

4

x

 

b)Cho x y z, , 0 và đôi một khác nhau thỏa mãn 1 1 1 0

x  y z

x

ời giải

a) Ta có

4

B  A x   x x   x  x  x

x   y z   

x22yzx2yzyzx2yzxzxyx x(  z) y x(   z) (x z z)( y)

x yz y xz z yx

(x y x)( z) (y z y)( x) (z y z)( x)

0

y z z x x y

x y y z z x

     

2016 2017 2018

x yz y xz z yx

x  x  x    b)Giải hệ phương trình

2 2 3

2

x y xy

x x y





 



ời giải a)Điều kiện x2

   2 

x  x  x    2

       

( x 5( x 2 1) x 2 1

2 1

5 1

x x

  

 

 



3 4

x x





   



So với điều kiện ta được phương trình có 1 nghiệm x3

b)

2 2 3

2

x y xy

x x y





 



Từ phương trình x3  x y 2x32(xy)(x2y2xy x)( y)x3y3

3 3

Với x y thế vào phương trình x2y2xy2 ta được

2

2

y y

y

 

  

 



Vậy hệ có nghiệm ( ; ) {( 2; 2);(x y   2; 2)}

Câu 3 a)Tìm các số thực x sao cho x 2018 và 7 2018

x đều là số nguyên

b) Tìm các số tự nhiên có dạng ab Biết rằng ab2ba2 là số chia hết cho 3267

ời giải

a) Điều kiện x0

Đặt a x 2018  x a 2018

a b

2015 ( ) 2018

Với a b, Z

a b

 

a b

+ a45 x 45 2018

+ a     45 x 45 2018

b)ab2 ba2 (10ab)2(10b a )2 99(a2b2)

2 2

ab ba chia hết cho 3267 nên a2b2 (a b a b )(  ) chia hết cho 33

1a b,   9 a b,hay a7,b4;a4,b7

Vậy ta có các số 11; 22;33; 44; 47;55;66;74;77;88;99

Câu 4 Cho hình bình hành ABCD có góc B CD 900, đường phân giác góc BAD cắt

cạnh BC và đường thẳng D C lần lượt tại E và F Gọi O O, ' lần lượt là tâm

đường tròn ngoại tiếp BCD và CEF

1)Chứng minh rằng O thuộc đường tròn ' ( )O

2) Khi DE vuông góc BC

a) Tiếp tuyến của ( )O tại D cắt đường thẳng BC tại G Chứng minh rằng

BG CEBE CG

b)Đường tròn ( )O và ( ')O cắt nhau tại điểm H (H khác C ) Kẻ tiếp tuyến chung

IK (I thuộc ( )O ,K thuộc ( ')O và H I K, , nằm cùng phía bờ OO ' ) Dựng hình bình hành CIMK Chứng minh OB O C ' HM

ời giải

a)

BAEDAE(giả thuyết); E

BA EFC

DA F C







 EFCFEC suy ra EFC cân tại C CECF

mà BEAFECBEABAE nên ABE cân tại B

BA BE

  mà BACD nên BECD

D

CE CF

BE CE DC CF

BE C





 

Mặt khác O CF' cân O CF' O FC'

Với CECFO CE' O CF' O CE' O FC' (2)

Mà O C' O F' (3)

Từ (1),(2) và (3) ta được BO C'  DO F' O BC' O DF'

Nên tứ giác B CO nội tiếp hay điêm D ' O thuộc đường tròn ' ( ')O

b)Tam giác BC tại D D,nội tiếp đường tròn ( )O

2

2

DG CG BG

DG DE CG BG BE CE GE CG BG BE CE

DE BE CE







2

(CE CG) CG BG BE CE

CE CE CG CG CG BG BE CE

CE CE CG BE CE CG BG CG CE CG

CE CE CG BE CG BG CG CE

      CE BG CG BE

c)Tia CH cắt IK tại N Áp dụng phương tích đường tròn ta có

NK NH NCNI NK NI mà CIMK là hình bình hành, do đó

M N H C thẳng hàng

Suy ra OB2O C' OIO K' 2NJ Gọi T là điểm đối xứng với H qua N , P là

giao điểm của CH với OO '

Ta có

'

PH PC

NJ NP

OO CH





2NJ 2NP NP NP NP PH NP

       NTPCNP TC =HM

Vậy OB O C ' HM

Câu 5 Cho x y z, , 0 thỏa mãn x2y2z23xyz Tìm GTLN của

x

P

x yz y z z xy

ời giải

Ta có x y z, , 0,

2 2 2

2 2 2

x y z yz

xyz

 

Với x y z, , 0, theo BĐT Cauchy ta được 2 2 2

x

x y z xyyzz

2

4

1

2

x

x yz x yz x yz

x yz yz

 Tương tự ta được:

;

y z  z z xy  xy

2 2 2

P

2 2 2

xy yz zx x y z

GTLN của 3

2

P khi x  y z 1

 HẾT 