ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu a) Cho A= x2 x x2 x Rút gọn B A x với x x x 1 x x b) Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn 1 Chứng x y z 2016 2017 2018 minh x y z xy yz zx x yz y 2zx z 2xy 1 Câu a)Giải phương trình x x x 3x 10 x y xy b)Giải hệ phương trình x x y Câu a)Tìm số thực x cho x 2018 2018 số nguyên x 2 b) Tìm số tự nhiên có dạng ab Biết ab ba số chia hết cho 3267 Câu Cho hình bình hành ABCD có góc BDC 900 , đường phân giác góc BAD cắt cạnh BC đường thẳng CD E F Gọi O, O ' tâm đường tròn ngoại tiếp BCD CEF 1)Chứng minh O ' thuộc đường tròn (O) 2) Khi DE vng góc BC a) Tiếp tuyến (O) D cắt đường thẳng BC G Chứng minh BG.CE BE.CG b)Đường tròn (O) (O ') cắt điểm H ( H khác C ) Kẻ tiếp tuyến chung IK ( I thuộc (O) , K thuộc (O ') H , I , K nằm phía bờ OO' ) Dựng hình bình hành CIMK Chứng minh OB O ' C HM Câu Cho x, y, z thỏa mãn x2 y z 3xyz Tìm GTLN P x2 y2 z2 x yz y zx z xy LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu x2 x x2 x a) Cho A= Rút gọn B A x với x x x 1 x x b)Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn 1 x y z 2016 1 2017 2018 xy yz zx Chứng minh x y z x yz y 2zx z 2x y ời giải a) Ta có x2 x x2 x x ( x x 1) x ( x x 1) A= = x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x ( x 1) x ( x 1) 2x B A x x x x x (0 x ) b)Ta có 1 yz xz xy x y z x2 yz x2 yz yz x2 yz xz xy x( x z ) y( x z ) ( x z )( z y) Tương tự y 2zx ( y z)( y x); z 2xy=(z-x)(z-y) 1 x yz y xz z yx 1 ( x y)( x z ) ( y z )( y x) ( z y )( z x) y z z x x y 0 ( x y )( y z )( z x) 2016 1 2017 2018 (x y z ) x yz y xz z yx Câu a)Giải phương trình 2 x y xy b)Giải hệ phương trình x x y ời giải a)Điều kiện x x x x 3x 10 x x x 3x 10 x2 3x 10 x x ( x 5( x 1) x x 1 x x 4 x So với điều kiện ta phương trình có nghiệm x x y xy b) x x y Từ phương trình x3 x y 2x3 2( x y) ( x2 y xy)( x y) x3 y x3 y x y Với x y vào phương trình x2 y xy ta y y2 y Vậy hệ có nghiệm ( x; y) {( 2; 2);( 2; 2)} Câu a)Tìm số thực x cho x 2018 2018 số nguyên x 2 b) Tìm số tự nhiên có dạng ab Biết ab ba số chia hết cho 3267 ời giải a) Điều kiện x Đặt a x 2018 x a 2018 Xét b 7 a 2018 2018 2018 2018 x a 2018 a 2018 b(a 2018) 2025 a 2018 ab 2015 (b a) 2018 Với a, b Z ab 2025 Z (a b) 2018 ab a b 2025 45 + a 45 x 45 2018 + a 45 x 45 2018 2 b) ab ba (10a b)2 (10b a)2 99(a b2 ) 2 ab ba chia hết cho 3267 nên a b2 (a b)(a b) chia hết cho 33 a, b a b ,hay a 7, b ; a 4, b Vậy ta có số 11;22;33;44;47;55;66;74;77;88;99 Cho hình bình hành ABCD có góc BDC 900 , đường phân giác góc BAD cắt cạnh BC đường thẳng CD E F Gọi O, O ' tâm đường tròn ngoại tiếp BCD CEF Câu 1)Chứng minh O ' thuộc đường tròn (O) 2) Khi DE vng góc BC a) Tiếp tuyến (O) D cắt đường thẳng BC G Chứng minh BG.CE BE.CG b)Đường tròn (O) (O ') cắt điểm H ( H khác C ) Kẻ tiếp tuyến chung IK ( I thuộc (O) , K thuộc (O ') H , I , K nằm phía bờ OO' ) Dựng hình bình hành CIMK Chứng minh OB O ' C HM ời giải a) BAE EFC EFC FEC BAE DAE (giả thuyết); DAE FEC suy EFC cân C CE CF mà BEA FEC BEA BAE nên ABE cân B BA BE mà BA CD nên BE CD CE CF BE CE DC CF BC DF (1) BE CD Mặt khác O ' CF cân O ' CF O ' FC Với CE CF O ' CE O ' CF O ' CE O ' FC (2) Mà O ' C O ' F (3) Từ (1) , (2) (3) ta BO ' C DO ' F O ' BC O ' DF Nên tứ giác BDCO ' nội tiếp hay điêm O ' thuộc đường tròn (O ') b)Tam giác BCD D ,nội tiếp đường tròn (O) Ta có DG CG.BG DG DE CG.BG BE.CE GE CG.BG BE.CE DE BE.CE (CE CG)2 CG.BG BE.CE CE 2CE.CG CG CG.BG BE.CE CE CE.CG BE.CE CG.BG CG2 CE.CG CE(CE CG BE ) CG( BG CG CE) CE.BG CG.BE c)Tia CH cắt IK N Áp dụng phương tích đường tròn ta có NK NH NC NI NK NI mà CIMK hình bình hành, M , N , H , C thẳng hàng Suy OB2 O ' C OI O ' K NJ Gọi T điểm đối xứng với H qua N , P giao điểm CH với OO ' PH PC NJ NP Ta có OO ' CH 2NJ 2NP NP NP NP PH NP NT PC NP TC = HM Vậy OB O 'C HM Câu Cho x, y, z thỏa mãn x2 y z 3xyz Tìm GTLN P x2 y2 z2 x yz y zx z xy ời giải Ta có x, y, z , x y z 3xyz x2 y z xyz Với x, y, z , theo BĐT Cauchy ta x2 y z xy yz zx x yz x yz x yz Tương tự ta được: x2 x yz yz y2 z2 ; 4 y zx zx z xy xy P x2 y2 z2 1 1 11 1 4 x yz y zx z xy yz xz xy x y z xy yz zx x y z 2 xyz xyz 2 GTLN P x y z HẾT ... 2018 2018 số nguyên x 2 b) Tìm số tự nhiên có dạng ab Biết ab ba số chia hết cho 3267 ời giải a) Điều kiện x Đặt a x 2018 x a 2018 Xét b 7 a 2018 2018 2018 2018. .. GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2017- 2018 Câu x2 x x2 x a) Cho A= Rút gọn B A x với x x x 1 x x b)Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn 1 x y z 2016 1 2017. .. 2018 x a 2018 a 2018 b(a 2018) 2025 a 2018 ab 2015 (b a) 2018 Với a, b Z ab 2025 Z (a b) 2018 ab a b 2025 45 + a 45 x 45 2018 + a 45