042 đề HSG toán 9 kiên giang 2017 2018

Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIÊN GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH THCS Năm học: 2017 - 2018 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 13/3/2018 (Đề thi có 01 trang gồm câu) (3 điểm) 1) Cho biểu thức A  n2  4n  ( n số tự nhiên lẻ) Chứng minh A không chia hết cho 2) Cho số x  x  ; x  0 thỏa mãn điều kiện: x  thức: B  x5  Câu x5 (3 điểm) Rút gọn biểu thức: X  1 Câu  Tính giá trị biểu x2 1 1 1 1            2 2 3 2017 20182 (4 điểm) 1) Giải phương trình: 3x  27 x3   x2  2) Tìm số m , n dấu thỏa mãn điều kiện: m  n đạt giá trị nhỏ Câu cho hai phương trình sau có nghiệm chung: x2  mx   ; x2  2nx   (3 điểm) 1) Cho phương trình: x2   m  3 x  m   Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn 2) Cho x, y, z, t số thực dương Chứng minh rằng: x y z t     y  z z t t  x x  y Câu (3,5 điểm) Để có tờ giấy khổ A4 (kích thước xấp xỉ 21 cm  29, cm) người ta thực hình vẽ minh họa bên Bước 1: Tạo hình vng ABCD cạnh a  21 cm Bước 2: Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC cắt tia AD F Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt Câu Khi hình chữ nhật ABEF tờ giấy A4 thơng dụng Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 theo đường thẳng AE , xếp theo đường thẳng FM ( M trung điểm BE ) mở tờ giấy An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng FM AE vng góc với Em chứng minh giúp bạn An vẽ điều (4 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , dây cung DC lấy điểm E cho DC  3DE , nối AE cắt cung nhỏ CD M Trên cung nhỏ CB lấy điểm N cho cung nhỏ DM cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC F Chứng minh rằng: F trung điểm BC HẾT - Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017-2018 Câu (3 điểm) 1) Cho biểu thức A  n2  4n  ( n số tự nhiên lẻ) Chứng minh A không chia hết cho 2) Cho số x  x  ; x  0 thỏa mãn điều kiện: x  thức: B  x5   Tính giá trị biểu x2 x5 1) Ta có: n2  4n   n2 1  4n    n  1 n  1   2n  3 Do n lẻ nên n  n  số chẵn liên tiếp   n  1 n  1 chia hết cho Mà 2n  lẻ  2n  không chia hết cho   2n  3 không chia hết cho   n  1 n  1   2n  3 không chia hết cho  đpcm 2) Ta có: x  1     x     x   (do x  ) x x x  1 1     x    27  x3    x    27 x x x    x3   18 x  1    x   x3    18.7  126 x  x   1  x   126 x x  x5   123 x  x5  Câu (3 điểm) Rút gọn biểu thức: X  1 1 1 1 1            2 2 3 2017 20182 Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt n2  n  1   n  1  n 1   n2  n  12  n  n  1   Tổng quát:   n  n  1   2n  n  1   n  n  1  1     2  n  n  1   n  n  1   2 n  n  1  n  n  1 1    1 n  n  1 n  n  1 n  n  1 n  n  1  Vậy: 1 1 1 1            2 2 3 2017 20182 1 1  1 1 1    1.2 2.3 3.4 2017.2018 X  1 2017 số 1 1 1 1 1 4072323  2017             2018   2 3 2016 2017 2017 2018 2018 2018  Vậy X  1 Câu 1 1 1 1 4072323             2 2 3 2017 2018 2018 (4 điểm) 1) Giải phương trình: 3x  27 x3   x2  2) Tìm số m , n dấu thỏa mãn điều kiện: m  n đạt giá trị nhỏ cho hai phương trình sau có nghiệm chung: x2  mx   ; x2  2nx   1) 3x  27 x3   x2   3x   3x  2 9 x2  x  4  x2  (Điều kiện  x2    3x    x  x    3x   x2  x      3x    x  x    3x   x  x   3x   0  x  x   3x   x2  x    x   (thỏa mãn) x   x 2 ) Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt Vậy phương trình có nghiệm là: x   ;   3 2) Do m , n dấu nên: - Nếu m  ; n  thì: m  n  m  2n - Nếu m  ; n  thì: m  n  m  2n    m  2n  + Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình ta được:  x02  mx0    có nghiệm chung  x  nx      x02   m  2n  x0   có nghiệm x0     m  2n   4.2.8    m  2n   64  m  2n    m  2n  8  m 2 n 8 Vậy m  n đạt GTNN khi:  m  2n   m  2n  8  + TH1: m  2n  , ta được: x02  8x0    x02  x0    x0  2 Ta có: m   2 2  m  2       (thỏa mãn)  2   2n  2    n  2 + TH2: m  2n  8 , ta được: x02  8x0     x0     x0  Ta có: m  3 2  m.2      5 (thỏa mãn) 2  2n.2   n  Vậy với m  n  hai phương trình có nghiệm chung x0  2 5 Với m  3 n  hai phương trình có nghiệm chung x0  Câu (3 điểm) 1) Cho phương trình: x2   m  3 x  m   Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn 2) Cho x, y, z, t số thực dương Chứng minh rằng: x y z t     y  z z t t  x x  y Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt 1) Xét phương trình: x2   m  3 x  m   Giả sử: x1   x2  x x   m  Áp dụng Vi-et ta có:    x1  x2  2  m  3 Để phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn thì:  m  32  m        x1   x     x1.x2   x1  x2      m  6m   m     m    2  m  3    m2  5m  12   3m  11  11 (do m2  5m  12 lớn 0) m 11 Vậy với m  phương trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn 2) Đặt: A x y z t    y  z z t t  x x y M x y z t    x y y  z z t t  x N y z t x    x y y  z z t t  x M N  x y z t y z t x         x y y  z z t t  x x  y y  z z t t  x Ta có: N  A y t x z y t x z    x y y  z z t t  x 4 y  t  4 x  z   1     y  t        x  z   x y z t   y  z t  x  x y  z t x y  z t Chứng minh tương tự ta có: A  M   A  M  A  N   A  Câu Dấu “=” xảy x  y  z  t  (3,5 điểm) Để có tờ giấy khổ A4 (kích thước xấp xỉ 21 cm  29, cm) người ta thực hình vẽ minh họa bên Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt Bước 1: Tạo hình vng ABCD cạnh a  21 cm Bước 2: Vẽ cung tròn tâm A bán kính AC cắt tia AD F Bước 3: Tạo hình chữ nhật ABEF Khi hình chữ nhật ABEF tờ giấy A4 thông dụng Bạn An ngồi nghịch xếp tờ giấy A4 theo đường thẳng AE , xếp theo đường thẳng FM ( M trung điểm BE ) mở tờ giấy An ngạc nhiên thấy hai đường thẳng FM AE vuông góc với Em chứng minh giúp bạn An vẽ điều Ta có: AC  DB  AB2  BC  21 (cm) Mà AC  AF ( C , F thuộc đường tròn tâm A )  AF  AC  21  EB Xét ABE vuông B Áp dụng định lý Pi – ta – go ta có:  AE  AB  BE  212  21   21 Xét FME vng E có: EM  EB  21 2 Áp dụng định lý Pi – ta – go ta có:  21  21 FM  FE  ME  21       2 21 AE 21 FM Ta có:   3;   EF 21 ME 21 Xét AEF FME ta có: Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt AFE  FEM  90 AE FM  EF ME  AEF ∽ FME (c.g.c)  FEA  FME Câu Mà FEA  HEM  90  FME  MEH  90  FM  AE (đpcm) (4 điểm) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , dây cung DC lấy điểm E cho DC  3DE , nối AE cắt cung nhỏ CD M Trên cung nhỏ CB lấy điểm N cho cung nhỏ DM cung nhỏ CN , nối AN cắt dây cung BC F Chứng minh rằng: F trung điểm BC Gọi I giao điểm BM CD : EI AB  EI ME  AB AM Kẻ OX vng góc với DM  OXD ∽ ADE (g.g)  DX DE   OD AE DE DE  AD 2  10 R 10  DM  R 10  DX  Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017-2018 đợt Xét DEM ∽ AEC  ME DE MD   CE AE AC ME DE MD    AE CE AC 10 ME ME     AE AM 1  EI  AB  CD  ID  EI  DE  CD 6  CMI  BNF (g.c.g)  BF  CI  BC  đpcm ...     2 2 3 2017 20182 1 1  1 1 1    1.2 2.3 3.4 2017. 2018 X  1 2017 số 1 1 1 1 1 4072323  2017             2018   2 3 2016 2017 2017 2018 2018 2018  Vậy X  1... HẾT - Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017- 2018 đợt LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH KIÊN GIANG NĂM HỌC 2017- 2018 Câu (3 điểm) 1) Cho biểu thức A  n2  4n  (... Nhóm GV THBTB – Dự án giải đề thi HSG toán tỉnh năm học 2017- 2018 đợt AFE  FEM  90  AE FM  EF ME  AEF ∽ FME (c.g.c)  FEA  FME Câu Mà FEA  HEM  90   FME  MEH  90   FM  AE (đpcm) (4