ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 1) Chứng minh n6 2n4 n2 chia hết cho 36 với n nguyên dương 2) Cho ba số phân biệt a, b, c Đặt: x a b c 9ab, y a b c 9bc, z a b c 9ac 2 Chứng minh ba số x, y, z có số dương Câu 2: 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x y 1 y 1 13 2) Giải phương trình: x2 x 2018 2018 Câu 3: 1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a2 b2 c2 ab bc ca p, q, r ba số thỏa mãn: p q r Chứng minh rằng: apq bqr crp 2) Cho số dương a, b thỏa mãn a.b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M a b 1 a b2 ab Câu 4: 1) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF trực tâm H a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH b) Gọi I, J trung điểm AH BC Đường tròn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M cắt đoạn thẳng BC P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q Chứng minh tứ giác AQDP tứ giác nội tiếp 2) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ STT 07 LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: 1) Chứng minh n6 2n4 n2 chia hết cho 36 với n nguyên dương 2) Cho ba số phân biệt a, b, c Đặt: x a b c 9ab, y a b c 9bc, z a b c 9ac 2 Chứng minh ba số x, y, z có số dương Lời giải 1) Ta có: n6 2n4 n2 n6 n4 n4 n2 n4 n2 1 n2 n2 1 n n 1 n 1 2 A 2,3 A n n 1 n 1 36 A Đặt A n n 1 n 1 , ta có (đpcm) 2) Ta có: x y z a b c 9ab a b c 9bc a b c 9ac a b c ab bc ca a b2 c ab bc ca 2 3 2 a b b c c a 2 Vì a, b, c ba số phân biệt nên 3 2 a b b c c a x y z 2 Do ba số x, y, z phải có số dương Câu 2: 1) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x y 1 y 1 13 2) Giải phương trình: x2 x 2018 2018 Lời giải 1) Ta có: x y 2x y 1 y 1 13 2x xy x 2xy y y y 13 2x xy x xy y y 5x y 15 x x y 3 y x y 3 x y 3 x y 3 x y 5 10 x x y x y + TH1: 2 x y 2 x y 12 y 16 10 x x y x y + TH2: 2 x y 2 x y y 2 (loại) (loại) x y 1 x y 4 x 2 2 x y 7 2 x y 2 y + TH3: (thỏa mãn) x y 7 x y 10 x 2 (thỏa mãn) 2 x y 1 2 x y y + TH4: Vậy pt cho có nghiệm nguyên x; y là: 2; , 2;8 2) ĐKXĐ: x 2018 , đặt x 2018 t , , t t x 2018 x t x 1 t Ta có x x 2018 2018 x t t x x t x t 1 x x 2018 x t 897 x 2018 x 2018 x + TH1: x x 2017 x 1 t 1 8069 x x 1 x 1 + TH2: Vậy phương trình cho có nghiệm là: x 897 1 8069 ; x 2 Câu 3: 1) Cho ba số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện: a2 b2 c2 ab bc ca p, q, r ba số thỏa mãn: p q r Chứng minh rằng: apq bqr crp 2) Cho số dương a, b thỏa mãn a.b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M a b 1 a b2 ab Lời giải 1) Từ gt: a2 b2 c2 ab bc ca a b c 4bc | a b c | bc Lại có: p q r r p q apq bqr crp apq bq p q cp p q apq bpq bq2 cpq cp2 pq a b c bq2 c Ta có: bq2 cp2 | pq | bc | pq || a b c | pq a b c pq a b c bq cp apq bqr crp (đpcm) 2) Sử dụng BĐT AM – GM, ta có: a2 b2 2ab M a b 1 a b2 2 a b 4 a b 1 a b ab ab ab ab ab 2.2 Dấu “=” xảy a b ab Vậy giá trị nhỏ M a b Câu 4: 1) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE, CF trực tâm H a) Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH b) Gọi I, J trung điểm AH BC Đường tròn đường kính AH cắt đoạn thẳng IJ K Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC M cắt đoạn thẳng BC P Tia MD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Q Chứng minh tứ giác AQDP tứ giác nội tiếp 2) Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Lời giải A E I F Q K H B P D J C M a) Ta có: BDH ∽ BEC (g-g) BD BH BH.BE = BC.BD (1) BE BC BEC ∽ ADC (g.g) BC CE = BC.CD = CE.AC (2) AC CD Từ (1) (2) suy ra: BH.BE.BC.CD = BC.BD.CE.AC AC.BD.CE = BE.CD.BH (đpcm) b) Ta có: AEH = AFH 900 Tứ giác AEHF nội tiếp 2 KIE KIF JIE JIF KIE KIF KAE KAF MAC MAB MC MB 2 Ta có: IE IF AH ; JE JF BC IEJ IFJ (c-c-c) BDQ MBC BMQ MAB BAQ QAP Tứ giác AQDP nội tiếp a) Kẻ AH BC H BC , qua D kẻ B DK AB K BC DKB 900 ABC 450 BDK vuông cân D K D H BD DK AE Tứ giác ADKE hình chữ nhật DE AK Ta có: AK AH DE AH Vậy DE nhỏ K H D trung điểm AB E trung điểm AC b) A E C Đặt AB AC a , a ; BD AE x AD a x Ta chứng minh BĐT: Với a, b ta ln có: a + b 4ab (*) Thật vậy: (*) a b (BĐT đúng) 2 Áp dụng (*) ta có: SADE = AD.AE = a x x a x x SABC a2 a2 a a 3a không đổi = AB.AC = Do đó: SBDEC SABC SADE 2 8 a Dấu “=” xảy a x x x Vậy tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 3a 3AB2 D, E trung điểm AB AC 8 ... ĐKXĐ: x 2018 , đặt x 2018 t , , t t x 2018 x t x 1 t Ta có x x 2018 2018 x t t x x t x t 1 x x 2018 x t 897 x 2018 ... LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017- 2018 Câu 1: 1) Chứng minh n6 2n4 n2 chia hết cho 36 với n nguyên dương 2) Cho ba số phân biệt a, b, c Đặt: x a b c 9ab, y... 897 x 2018 x 2018 x + TH1: x x 2017 x 1 t 1 80 69 x x 1 x 1 + TH2: Vậy phương trình cho có nghiệm là: x 897 1 80 69 ; x 2 Câu 3: 1) Cho