b, Tính tỷ số MN FE c, Chứng minh đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi E,F thay đổi.. Biết rằng trong ba điểm bất kỳ trong số đó luôn tồn tại hai điểm có khoảng cá
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH THUẬN
NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1 ( 4 điểm)
Cho biểu thức:
2
25 :
với x1 và x > 0
a, Rút gọn biểu thức Q
b, Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên
Câu 2(4 điểm)
Cho hệ phương trình ẩn x và y:
2
a, Giải hệ phương trình trên với a = 1
b, Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa P = xy đạt giá trị lớn nhất
Câu 3 (4 điểm)
Với k là số nguyên dương, ký hiệu *
/
k
B xN x là bội số của k}
Cho m,n là các số nguyên dương
a, Chứng minh rằng B mn là tập hợp con của B mB n
b, Tìm điều kiện của m và n để B mB n là tập hợp con của B mn
Câu 4 ( 6 điểm)
Cho hình vuông ABCD Gọi E là điểm thay đổi trên BC( E không trùng B và C)
và F thay đổi trên CD sao cho 0
45
EAF , BD cắt AE , AF lần lượt tại M và N
a, Chứng minh năm điểm E, M, N, F, C cùng nằm trên một đường tròn
b, Tính tỷ số MN
FE
c, Chứng minh đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi E,F thay đổi
Câu 5 ( 2 điểm)
Trên mặt phẳng cho 4035 điểm phân biệt Biết rằng trong ba điểm bất kỳ trong
số đó luôn tồn tại hai điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn một Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng một chứa không ít hơn 2018 điểm
đã cho
Trang 2LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN
NĂM HỌC 2017-2018
Câu 1( 4 điểm)
Cho biểu thức:
2
25 :
với x1 và x > 0
a, Rút gọn biểu thức Q
b, Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên
Lời giải
a, Rút gọn Với x1 và x > 0, ta có:
2
25 :
5
1
x
b, Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên
Dễ thấy Q>0
Phương trình sau có nghiệm x > 0, x 1
5
1
x
Q
có nghiệm x > 0, x 1
2
có nghiệm y > 0, y 1
2 2
5
5
3
Q
Mà Q nguyên và Q > 0 nên Q = 1 hoặc Q = 2
Với Q = 1 Tìm được x 7 4 3 ( Thỏa mãn)
Trang 3Với Q = 2 phương trình vô nghiệm
Câu 2(4 điểm)
Cho hệ phương trình ẩn x và y:
2
a, Giải hệ phương trình trên với a = 1
b, Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa P = xy đạt giá trị lớn
nhất
Lời giải:
a, Nghiệm của HPT là: 0
1
x y
b,
1
2
Với mọi a
Nên P = xy = (a-1)(-a+2) = 1 3 2 1
4 a 2 4
P đạt giá trị lớn nhất là 1/4 đạt được khi a = 3/2
Câu 3 (4 điểm)
Với k là số nguyên dương, ký hiệu *
/
k
B xN x là bội số của k}
Cho m,n là các số nguyên dương
a, Chứng minh rằng B mn là tập hợp con của B mB n
b, Tìm điều kiện của m và n để B mB n là tập hợp con của B mn
Lời giải:
a, Ta có: *
/
mn
B xN x là bội của (mn)}={mn;2mn;3mn; ;kmn }
/
B B xN x là bội của m và n}
={BCNN(m,n); 2BCNN(m,n); ; hBCNN(m,n)}
Vì mn m mn BC m n( , ) kmn BC m n( , )
mn n
Nên B là tập hợp con của B B
Trang 4b, Để B mB n là tập hợp con của B mn mà theo câu a thì B mn là tập hợp con của
B B Nên B mn B mB n BCNN m n( , ) mn ( , ) 1m n
Hay m và n là hai số nguyên tố cùng nhau
Câu 4 ( 6 điểm)
Cho hình vuông ABCD Gọi E là điểm thay đổi trên BC( E không trùng B và C)
và F thay đổi trên CD sao cho 0
45
EAF , BD cắt AE , AF lần lượt tại M và N
a, Chứng minh năm điểm E, M, N, F, C cùng nằm trên một đường tròn
b, Tính tỷ số MN
FE
c, Chứng minh đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi E,F thay đổi
Lời giải:
a, Tứ giác AMFD nội tiếp đường tròn ( vì 0
MAF MDF 45 )
0
vuông cân FM AE
Tương tự: EN AF
=>M,N,C nhìn EF dưới một góc vuông =>M,N,F,C,E nằm trên đường tròn đường kính EF
2
c, Tính chất trực tâm tam giác AEF => FEAH
Dễ thấy : FADFMDFENFAH ( Các tứ giác ADFM,EFNM,ANHE nội tiếp)
(ch gn)
=> AH = AD ( Không đổi)
Mà FEAH
=>EF tiếp xúc với đường tròn (A;AD) cố định
M
N
A
D
B
C E
F
H
Trang 5Câu 5 ( 2 điểm)
Trên mặt phẳng cho 4035 điểm phân biệt Biết rằng trong ba điểm bất kỳ trong số đó luôn tồn tại hai điểm có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn một Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng một chứa không ít hơn
2018 điểm đã cho
Lời giải:
Dùng nguyên lý Dirichlet
-Nếu khoảng cách hai điểm bất kỳ đều bé hơn 1 thì ta chỉ cần chọn 1 điểm
A bất kỳ trong số 4035 điểm đã cho rồi vẽ đường tròn (A;1) đường tròn này chứa tất cả 4034 điểm còn lại nên ta có điều phải chứng minh
-Giả sử rằng có hai điểm A và B trong số 4035 điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 1, vẽ các đường tròn tâm A và B có cùng bán kính bằng 1, ta còn lại
4033 điểm Mỗi điểm C bất kỳ trong số 4033 điểm ấy, theo giả thiết AB,AC,BC phải có một đoạn thẳng có độ dài bé hơn 1 mà AB>1, nên AC<1 hoặc BC<1.Do
đó hoặc C nằm trong đường tròn (A;1) hoặc (B;1),do có 4033 điểm C như vậy nên theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 4033 1 2017
2
điểm nằm trong cùng 1
đường tròn ( Trong hai đường tròn đang xét) Giả sử đó là đường tròn (A;1) Cùng với điểm A ta có 2018 điểm nằm trong cùng một đường tròn (A;1) => ĐPCM