035 đề HSG toán 9 bình thuận 2017 2018

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1( điểm)  x  x 3x  x 3( x  1)     với x  x > x x 1   x  x 1 Cho biểu thức: Q  25 x :  a, Rút gọn biểu thức Q b, Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên Câu 2(4 điểm) ax  y  a  Cho hệ phương trình ẩn x y:  (a  1) x  ay  2a  a, Giải hệ phương trình với a = b, Tìm a để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa P = xy đạt giá trị lớn Câu (4 điểm) Với k số nguyên dương, ký hiệu Bk   x  N * / x bội số k} Cho m,n số nguyên dương a, Chứng minh Bmn tập hợp Bm  Bn b, Tìm điều kiện m n để Bm  Bn tập hợp Bmn Câu ( điểm) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm thay đổi BC( E không trùng B C) F thay đổi CD cho EAF  450 , BD cắt AE , AF M N a, Chứng minh năm điểm E, M, N, F, C nằm đường tròn b, Tính tỷ số MN FE c, Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn cố định E,F thay đổi Câu 5( điểm) Trên mặt phẳng cho 4035 điểm phân biệt Biết ba điểm số ln tồn hai điểm có khoảng cách chúng nhỏ Chứng minh tồn hình tròn bán kính chứa khơng 2018 điểm cho LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1( điểm)  x  x 3x  x 3( x  1)     với x  x > x x 1   x  x 1 Cho biểu thức: Q  25 x :  a, Rút gọn biểu thức Q b, Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên Lời giải a, Rút gọn Với x  x > 0, ta có:  x  x 3x  x 3( x  1)  Q  25 x :     x x 1   x  x 1  x :  x ( x  1)  (3 x  2)  3( x  1)   x : ( x  x  x   x  3)  x : ( x  x  1)  x x  x 1 b, Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên Dễ thấy Q>0 Phương trình sau có nghiệm x > 0, x  Q x x  x 1  Qx  (Q  5) x  Q  có nghiệm x > 0, x   Qy  (Q  5) y Q  có nghiệm y > 0, y    (Q  5)2  4Q  (3Q  5)(Q  5)   5  Q  Mà Q nguyên Q > nên Q = Q = Với Q = Tìm x   ( Thỏa mãn) Với Q = phương trình vơ nghiệm Câu 2(4 điểm) ax  y  a  Cho hệ phương trình ẩn x y:  (a  1) x  ay  2a  a, Giải hệ phương trình với a = b, Tìm a để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa P = xy đạt giá trị lớn Lời giải: x  y 1 a, Nghiệm HPT là:  ax  y  a  a x  ay  a3  2a (a +a+1)x  a3   x  a 1    b,    (a  1) x  ay  2a  (a  1) x  ay  2a  (a  1) x  ay  2a   y  a  Với a Nên P = xy = (a-1)(-a+2) =  (a  )2  4 P đạt giá trị lớn 1/4 đạt a = 3/2 Câu (4 điểm) Với k số nguyên dương, ký hiệu Bk   x  N * / x bội số k} Cho m,n số nguyên dương a, Chứng minh Bmn tập hợp Bm  Bn b, Tìm điều kiện m n để Bm  Bn tập hợp Bmn Lời giải: a, Ta có: Bmn   x  N * / x bội (mn)}={mn;2mn;3mn; ;kmn } Bm  Bn   x  N * / x bội m n} ={BCNN(m,n); 2BCNN(m,n); ; hBCNN(m,n)} mn m  mn  BC (m, n)  kmn  BC (m, n) mn n Vì  Nên Bmn tập hợp Bm  Bn b, Để Bm  Bn tập hợp Bmn mà theo câu a Bmn tập hợp Bm  Bn Nên Bmn  Bm  Bn  BCNN (m, n)  mn  (m, n)  Hay m n hai số nguyên tố Câu ( điểm) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm thay đổi BC( E không trùng B C) F thay đổi CD cho EAF  450 , BD cắt AE , AF M N a, Chứng minh năm điểm E, M, N, F, C nằm đường tròn b, Tính tỷ số MN FE c, Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn cố định E,F thay đổi Lời giải: A B M E N D H F C a, Tứ giác AMFD nội tiếp đường tròn ( MAF  MDF  450 )  AFM  ADM  450  AMF vuông cân  FM  AE Tương tự: EN  AF =>M,N,C nhìn EF góc vng =>M,N,F,C,E nằm đường tròn đường kính EF b, ANE ∽ AMF(gg)  AMN ∽ AEF(cgc)  MN AM   sin 450  FE FA c, Tính chất trực tâm tam giác AEF => FE  AH Dễ thấy : FAD  FMD  FEN  FAH ( Các tứ giác ADFM,EFNM,ANHE nội tiếp)  FAD  FAH (ch gn) => AH = AD ( Không đổi) Mà FE  AH =>EF tiếp xúc với đường tròn (A;AD) cố định Câu 5( điểm) Trên mặt phẳng cho 4035 điểm phân biệt Biết ba điểm số ln tồn hai điểm có khoảng cách chúng nhỏ Chứng minh tồn hình tròn bán kính chứa khơng 2018 điểm cho Lời giải: Dùng nguyên lý Dirichlet -Nếu khoảng cách hai điểm bé ta cần chọn điểm A số 4035 điểm cho vẽ đường tròn (A;1) đường tròn chứa tất 4034 điểm lại nên ta có điều phải chứng minh -Giả sử có hai điểm A B số 4035 điểm cho có khoảng cách lớn 1, vẽ đường tròn tâm A B có bán kính 1, ta lại 4033 điểm Mỗi điểm C số 4033 điểm ấy, theo giả thiết AB,AC,BC phải có đoạn thẳng có độ dài bé mà AB>1, nên AC x x 1... định Câu 5( điểm) Trên mặt phẳng cho 4035 điểm phân biệt Biết ba điểm số ln tồn hai điểm có khoảng cách chúng nhỏ Chứng minh tồn hình tròn bán kính chứa khơng 2018 điểm cho Lời giải: Dùng nguyên... hai điểm bé ta cần chọn điểm A số 4035 điểm cho vẽ đường tròn (A;1) đường tròn chứa tất 4034 điểm lại nên ta có điều phải chứng minh -Giả sử có hai điểm A B số 4035 điểm cho có khoảng cách lớn 1,