ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (1 điểm) Tính A 11 11 18 11 Câu 2: (1,5 điểm) x2 x x 1 với x ; x #1 : x x x x x x Rút gọn A chứng minh A Cho biểu thức A Câu 3: (1,5 điểm) Cho đường thẳng d m có phương trình: y mx 2m 1 ( m tham số) a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi đường thẳng d m ln qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H b) Tìm giá trị m cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn Câu 4: (2 điểm) a) Tìm tất số x thỏa mãn x x x x x2 2x y b) Tìm tất x, y, z thỏa mãn y2 y z x y z 1 x 1 Câu 5: ( điểm) Một ruộng hình chữ nhật, giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi; ngồi giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng Tính diện tích ruộng ban đầu Câu 6: (1 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC , ABC 1500 Gọi E ; F chân đường cao hạ từ C đến AB AD Tính độ dài đoạn EF Câu 7: ( điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp O Tiếp tuyến B đường tròn O cắt đường thẳng qua C song song với AB D a) Chứng minh rằng: BC AB.CD b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ; E giao điểm CG BD Tiếp tuyến C O cắ BG F Chứng minh rằng: EAG FAG LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (1 điểm) Tính A 11 11 18 11 A 11 11 18 11 11 11 49 11 18 11 A 11 11 2 (1,5 điểm) Câu 2: x2 x x 1 Cho biểu thức A với x ; x #1 : x x 1 x 1 x x x Rút gọn A chứng minh A + Rút gọn A x2 x x 1 A : x x 1 x 1 x x x A x 1 1 x x : x x 1 x x x 1 x x x2 x x 1 x A A Với x ; x #1 x x x x x x x 1 x 1 x + Chứng minh A Xét hiệu A x x 1 x x 1 x A x 2x x x 1 x A Câu 3: 2 x 1 x 1 x với x ; x #1 2 0 A 3 (1,5 điểm) Cho đường thẳng d m có phương trình: y mx 2m 1 ( m tham số) a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi đường thẳng d m ln qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H b) Tìm giá trị m cho khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn a) Chứng minh rằng: Khi m thay đổi tì đường thẳng d m ln qua điểm H cố định Tìm tọa độ điểm H Gọi H ( x0 ; y0 ) điểm cố định qua d m với m H ( x0 ; y0 ) dm với m Ta có: y0 mx0 2m y0 x0 2 m x x0 2 Vậy H (2; 1) y0 y0 1 b) Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m h A,dm m 2m m 1 3 m2 m 1 Do ( m 1 m2 1 ) m 1 m 1 Dấu “ = ” xảy m 1 Khoảng cách từ điểm A(1;2) đến d m lớn m 1 Câu 4: ( điểm) a) Tìm tất số x thỏa mãn x4 x2 2 x6 x2 7 x2 2x y y2 y z b) Tìm tất x, y, z thỏa mãn x y z 1 x 1 a) ĐK x x4 x2 2 x6 x2 7 x2 2 x2 3 x2 2 x2 3 7 x2 2 x2 3 x x 2 x 7(loai ) x 11 ( t/m) b) x x y (1) ( I) y y z (2) x y z x 0(3) Thay (1) (2) vào (3) ta có: x x2 x y y x 1 x 1 y 1 x 1 x 2 Vế trái ; Vế phải = nên dấu xảy khi: x 1 x 1 y 1 y 1 Suy z 1 Vậy ( x, y, z) (1, 1, 1) Câu 5: ( điểm) Một ruộng hình chữ nhật, giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi; ngồi giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng Tính diện tích ruộng ban đầu Gọi chiều rộng chiều dài ruộng hình chữ nhật x ; y với ( x ; y ) Nếu giảm chiều rộng 1m tăng chiều dài thêm 2m diện tích khơng đổi nên ta có pt x 1 y 2 xy (1) Nếu giảm chiều dài 4m đồng thời tăng chiều rộng thêm 3m ta hình vng nên ta có pt x y x y (2) Thế (2) vào (1) ta có: y 8 y 2 y y y 16 ; x Vậy diện tích ruộng ban đầu là: 16.9=144 ( m2 ) Câu 6: ( điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC , ABC 1500 Gọi E ; F chân đường cao hạ từ C đến AB AD Tính độ dài đoạn EF Ta có: Tứ giác AECF nội tiếp ( AEC CFA 900 ) Nên: EAC CFE ( Cùng chắn cung EC ) FAC FEC ( Cùng chắn cung FC) DAC BCA ( so le trong) Suy ra: BAC CFE (g.g) BC AC CE AC FE AC.sin 300 CE FE BC Câu 7: ( điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp O Tiếp tuyến B đường tròn O cắt đường thẳng qua C song song với AB D a) Chứng minh rằng: BC AB.CD b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ; E giao điểm CG BD Tiếp tuyến C O cắ BG F Chứng minh rằng: EAG FAG a) Ta có: BAC CBD ( góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung) ABC BCD ( so le trong) ABC BCD (g.g) AB BC BC AB.CD (1) BC CD b) Qua A kẻ tiếp tuyến C với O cắt đường thẳng qua B song song với AC I, Cắt AF j Nối AE cắt CD H Chứng minh được: BC AC.BI (2) Từ (1) (2) ta có: AB BI (3) AC CD AN FN CN Lại có: AC JI JB FB IB Do AN NC JB IB (4) AP EP BP Tương tự: AB FI CH EC CD Do AP BP CD CH (5) AB.CD AC.BI Từ (3),(4),(5) ta có: AB BJ AB AC AC CH BJ CH Suy ra: ABJ ACH (c.g.c) AHC BJA JAB HAC EAB FAC ...LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TP ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2017- 2018 Câu 1: (1 điểm) Tính A 11 11 18 11 A 11 11 18 11 11 11 49 11 18 11 A 11 ... vào (1) ta có: y 8 y 2 y y y 16 ; x Vậy diện tích ruộng ban đầu là: 16 .9= 144 ( m2 ) Câu 6: ( điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC , ABC 1500 Gọi E ; F chân... chân đường cao hạ từ C đến AB AD Tính độ dài đoạn EF Ta có: Tứ giác AECF nội tiếp ( AEC CFA 90 0 ) Nên: EAC CFE ( Cùng chắn cung EC ) FAC FEC ( Cùng chắn cung FC) DAC BCA ( so le trong)