ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4 điểm) Rút gọn biểu thức P x 3 x x 2017 Tìm x cho P 2018 x3 x 2 Giải phương trình x2 x x2 20 Câu 2: (4 điểm) Cho phương trình x2 2m 3 x m2 , với m tham số Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác , (chúng trùng nhau) biểu thức 1 đạt giá trị nhỏ x1 x2 Cho parabol P : y ax2 Tìm điều kiện a để P có A x0 ; y0 với hoành độ dương thỏa mãn điều kiện x02 y0 x0 y0 Câu 3: (4 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn: x2 y x y 18 Tìm tất cặp số a; b nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) a, b khác ước số chung lớn a, b ii) Số N ab ab 1 2ab 1 có 16 ước số nguyên dương Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB AC lân lượt D E ( D B, E C ) BE cắt CD H Kéo dài AH cắt BC F 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp 2) Các đoạn thẳng BH DF cắt M, CH EF cắt N Biết tứ giác HMFN tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC Câu 5: ( điểm) Với x, y hai số thực thỏa mãn y3 y y 11 x2 x4 x6 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T x y 2018 Câu 6: (2 điểm) Cho tam giác ABC Một điểm M nằm tam giác nhìn đoạn thẳng BC góc 1500 Chứng minh MA2 2MB.MC LỜI GIẢI Câu 1: (4 điểm) Rút gọn biểu thức P x 3 x x 2017 Tìm x cho P 2018 x3 x 2 Giải phương trình x2 x x2 20 Lời giải P Ta có x 3 x x x3 x 2 x x 1 x 1 x 2 Mặt khác P 2017 2018 Ta có x 1 x 1 x 3 x 2 x3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 x 2017 x 2016 x 20162 2018 x 2 x x x 20 x x x x 20 x x x x 8 20 x x x x 20 x2 x 2 x x 16 20 x x 36 x x Ta thấy phương trình x2 x 6 vô nghiệm x 11 Mặt khác, x2 x x2 x 10 x 11 Vậy phương trình có nghiệm x 11 x 11 Câu 2: (4 điểm) Cho phương trình x2 2m 3 x m2 , với m tham số Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác , (chúng trùng nhau) biểu thức 1 đạt giá trị nhỏ x1 x2 Cho parabol P : y ax2 Tìm điều kiện a để P có A x0 ; y0 với hoành độ dương thỏa mãn điều kiện x02 y0 x0 y0 Lời giải 1.Phương trình có hai nghiệm khác m 2m 32 m2 m 3 m 1 m m m m x x 2 2m 3 Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét, ta có 2 x1 x2 m Lại có 1 x1 x2 2 2m 3 12m 18 2m2 2m2 12m 18 m2 3m2 3m2 x1 x2 x1 x2 2 m 3 3m Dấu sảy m 2.Ta có x02 y0 x0 y0 x02 x0 y0 y0 x02 x0 y0 y0 x2 y x y 0 x02 y0 x02 y0 Vậy nên x0 y0 x0 y0 3 1 a x02 x02 1 a a 1 a Câu 3: (4 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn: x2 y x y 18 Tìm tất cặp số a; b nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) a, b khác ước số chung lớn a, b ii) Số N ab ab 1 2ab 1 có 16 ước số nguyên dương Lời giải 1.Ta x2 y x y 18 x2 x y y 1 21 có x y 1 21 x y 1 x y 3 21 2 Do sảy trường hợp sau: x y 1 x x y 21 y +) x y 1 x x y y +) Ta có: N ab ab 1 2ab 1 chia hết cho số: 1; a ; b ab 1 2ab 1 ; b ; a ab 1 2ab 1 ; ab 1; ab 2ab 1 ; 2ab ; ab ab 1 ; N ; ab ; ab 1 2ab 1 ; b ab 1 ; a 2ab 1 ; a ab 1 ; b 2ab 1 có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab 1; 2ab số nguyên tố Do a, b ab Nếu a; b lẻ ab chia hết hợp số (vơ lý) Do khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn b lẻ a Ta có b khơng chia hết cho 2ab 4b ab 2b chia hết cho hợp số (vô lý) b Vậy a 2; b Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB AC lân lượt D E ( D B, E C ) BE cắt CD H Kéo dài AH cắt BC F 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp 2) Các đoạn thẳng BH DF cắt M, CH EF cắt N Biết tứ giác HMFN tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC A E D HN M B F C 1) Chứng minh tứ giác ADHE BDHF tứ giác nội tiếp (Đơn giản) 2) Các đoạn thẳng BH DF cắt M, CH EF cắt N Biết tứ giác HMFN tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC sau: BAC DHE MFN BHC 1800 (tứ giác ADHE; HMFN nội tiếp) Mà DHE BHC (đối đỉnh) suy BAC MFN F1 F2 Lại có F1 B1; F2 C1; B1 C1 F1 F2 B1 B2 (tứ giác BDHF, CEHF, BCED nội tiếp) Do BAC 2B1 900 BAC 3BAC 1800 BAC 600 Câu 5: ( điểm) Với x, y hai số thực thỏa mãn y3 y y 11 x2 x4 x6 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức T x y 2018 Điều kiện 3 x y y y 11 x x x y 1 y 1 a3 2a b3 2b, a y 1; b x x2 2 x2 a3 b3 a b a b a ab b2 Do a ab b2 a b b2 Suy a b y x2 y x2 x y x x2 x x2 3 x Đẳng thức xảy 9 x x y 1 Vậy giá trị lớn T 2022 x = 3; y=-1 Ta lại có x y x x x x x x 18 x x2 x 2 x (Đúng) Suy T x y 2018 2018 2019 Đẳng thức xảy khi y 2x x (thỏa mãn) Suy 3 2 1 2 Vậy GTNN T 2019 x Câu 6: (2 điểm) 3 22 ;y 2 Cho tam giác ABC Một điểm M nằm tam giác nhìn đoạn thẳng BC góc 1500 Chứng minh MA2 2MB.MC A E M C B F Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chưa điểm M,lấy điểm E cho AME đều; nửa mặt phẳng bờ BC không chưa điểm m,lấy điểm F cho CMF Ta có MAE BAC 600 MAB BAE MAB CAM BAE CAM BAE CAM (c – g - c) Suy BE CM ; ABE ACM Tương tự MCF ACB 600 MCB BCF MCB ACM BCF ACM Ta có BE CM ; CM CF BE CF ; ABE ACM ; ACM BCF ABE BCF Suy BAE CBF c g c AE BF Mà AE AM BF AM Mặt khác BMF BMC CMF 1500 600 900 ( CMF đều, nên MF MC ) Xét BMF : BMF 900 BF MB2 MF MA2 MB2 MC 2MB.MC ( CMF MF= MC) ... 3 x x 2017 Tìm x cho P 2018 x3 x 2 Giải phương trình x2 x x2 20 Lời giải P Ta có x 3 x x x3 x 2 x x 1 x 1 x 2 Mặt khác P 2017 2018 Ta có... 9 x x y 1 Vậy giá trị lớn T 2022 x = 3; y=-1 Ta lại có x y x x x x x x 18 x x2 x 2 x (Đúng) Suy T x y 2018 2018. .. AE BF Mà AE AM BF AM Mặt khác BMF BMC CMF 1500 600 90 0 ( CMF đều, nên MF MC ) Xét BMF : BMF 90 0 BF MB2 MF MA2 MB2 MC 2MB.MC ( CMF MF= MC)