1a 4321 a Thay vào (1) ta được: 111b 11c d 988 2 Lập luận tương tự ta có: 880 111b 988 b Thay vào (2) ta được: 11c d 100 Mà 91 11c 100 c d ( m )x y Câu 4: Cho hệ phương trình ( m tham số x, y ẩn số) x 2y Tìm tất giá trị ngun m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số ngun Từ phương trình thứ hai ta có: x y vào phương trình thứ được: ( m 1)( 2y ) y ( 2m )y 2m (3) Hệ có nghiệm x, y số nguyên ( ) có nghiệm y số nguyên Với m y 2m ( ) có nghiệm y 2m 1 2m 2m 2m m Vậy có giá trị m thoả mãn 1; 2m 1 m Câu 5: Giải phương trình x x 1 x 4 x * 4 x Điều kiện xác định Với điều kiện (*), phương trình cho tương đương với: x x 1 x x 1 x x x2 3x x x x 3 Đối chiếu với điều kiện (*) ta x 0; x 3 x 3 Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A, AB 12cm, AC 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Ta có BC AB2 AC 20cm Gọi E giao điểm BI với AC AE EC AE EC BC Theo tính chất đường phân giác ta có: EC 10cm AB BC AB BC 2 Ta có ICE ICM( c g c ) do: EC MC 10 ; ICE ICM ; IC chung Suy ra: IEC IMC IEA IMB Mặt khác IBM IBA hai tam giác IBM , ABE đồng dạng BIM BAE 900 BI MI Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD 500 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh rằng: MB.DN BH.AD b) Tính số đo góc MON a) Ta có MBH ADN ,MHB AND MB BH MB.DN BH AD ( 1) AD DN BH OB b) Ta có: OHB ∽ AOD DO.OB BH AD DO AD MB OB Từ (1) (2) ta có: MB.DN DO.OB DO DN MBH ∽ ADN Ta lại có: MBO 1800 CBD 1800 CDB ODN nên MBO ∽ ODN OMB NOD Từ suy ra: MON 1800 MOB NOD 1800 MOB OMB 1800 OBC 1150 Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ) Gọi A điểm thay đổi đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường tròn (O) điểm H ln nằm đường tròn cố định Gọi D trung điểm đoạn BC, tam giác BOC, AOC tam giác cân O nên OD BC,OM AC Ta có: ODC OMC 90 Bốn điểm O, D, C, M nằm đường tròn ( I ) có tâm I cố định, đường kính OC cố định Gọi E điểm đối xứng với D qua tâm I, E cố định DE đường kính đường tròn ( I ) Nếu H E,H B : - Với M E BHE 90 - Với M E , DM BH DMH 900 Khi DME DMH 900 H ,M ,E thẳng hàng Suy BHE 90 Vậy ta ln có: BHE 90 H E H B H thuộc đường tròn đường kính BE cố định 1 Chứng minh rằng: a b c 1 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a Câu 9: Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện Với x, y,z ta có : x y z 3 xyz , x yz 1 1 33 x y z xyz 1 1 1 1 1 x y z Đẳng thức xảy x yz 9 x y z x y z Ta có: 5a 2ab 2b2 ( 2a b )2 ( a b )2 ( 2a b )2 1 1 1 Đẳng thức xảy a b 2a b a a b 5a 2ab 2b 1 1 1 1 Tương tự: Đẳng thức xảy b c 2 2b c b b c 5b 2bc 2c 1 11 1 Đẳng thức xảy c a 5c 2ca 2a 2c a c c a Do đó: 1 13 3 2 2 2 9a b c 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a 2 1 1 1 3 a b c Đẳng thức xảy rakhi a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Câu 10: Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Giả sử hình vng ABCD có cạnh a ( a>0) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn u cầu tốn Khơng tính tổng quát, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC S, E, K cho SCDSK 3S ABKS Từ SCDSK 3S ABKS ta suy được: DS CK AS BK a AS a BK AS BK AS BK EM a a suy E cố định d qua E Lấy F, H đoạn NQ G đoạn MP cho FN GP HQ a Lập luận tương tự ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E, F, G, H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải có 2018 505 đường thẳng qua bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa 505 đường thẳng đồng quy ... I ) Nếu H E,H B : - Với M E BHE 90 - Với M E , DM BH DMH 90 0 Khi DME DMH 90 0 H ,M ,E thẳng hàng Suy BHE 90 Vậy ta có: BHE 90 H E H B H thuộc đường tròn đường kính... ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E, F, G, H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải có 2018 505 đường thẳng qua... 2 2 2 9 a b c 5a 2ab 2b 5b 2bc 2c 5c 2ca 2a 2 1 1 1 3 a b c Đẳng thức xảy rakhi a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Câu 10: Cho hình vng ABCD 2018 đường