041 đề HSG toán 9 vĩnh phúc 2017 2018

1a  4321  a  Thay vào (1) ta được: 111b  11c  d  988 2 Lập luận tương tự ta có: 880  111b  988  b  Thay vào (2) ta được: 11c  d  100 Mà 91  11c  100  c  d  ( m  )x  y  Câu 4: Cho hệ phương trình  ( m tham số x, y ẩn số)  x  2y  Tìm tất giá trị ngun m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số ngun Từ phương trình thứ hai ta có: x   y vào phương trình thứ được: ( m  1)(  2y )  y   ( 2m  )y  2m  (3) Hệ có nghiệm x, y số nguyên  ( ) có nghiệm y số nguyên Với m  y  2m    ( ) có nghiệm y  2m   1 2m  2m   2m   m    Vậy có giá trị m thoả mãn 1;  2m   1 m  Câu 5: Giải phương trình  x   x  1  x   4  x  *  4  x  Điều kiện xác định  Với điều kiện (*), phương trình cho tương đương với:   x  x   1  x   x    1  x   x    x2  3x  x   x  x  3    Đối chiếu với điều kiện (*) ta x  0; x  3  x  3 Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A, AB  12cm, AC  16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Ta có BC  AB2  AC  20cm Gọi E giao điểm BI với AC AE EC AE  EC BC Theo tính chất đường phân giác ta có:     EC   10cm AB BC AB  BC 2 Ta có ICE  ICM( c  g  c ) do: EC  MC  10 ; ICE  ICM ; IC chung Suy ra: IEC  IMC  IEA  IMB Mặt khác IBM  IBA  hai tam giác IBM , ABE đồng dạng  BIM  BAE  900  BI  MI Câu 7: Cho hình thoi ABCD có góc BAD  500 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh rằng: MB.DN  BH.AD b) Tính số đo góc MON a) Ta có MBH  ADN ,MHB  AND MB BH  MB.DN  BH AD ( 1)  AD DN BH OB b) Ta có: OHB ∽  AOD    DO.OB  BH AD   DO AD MB OB Từ (1) (2) ta có: MB.DN  DO.OB   DO DN MBH ∽  ADN  Ta lại có: MBO  1800  CBD  1800  CDB  ODN nên MBO ∽ ODN  OMB  NOD    Từ suy ra: MON  1800  MOB  NOD  1800  MOB  OMB   1800  OBC  1150 Câu 8: Cho đường tròn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ) Gọi A điểm thay đổi đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường tròn (O) điểm H ln nằm đường tròn cố định Gọi D trung điểm đoạn BC, tam giác BOC, AOC tam giác cân O nên OD  BC,OM  AC Ta có: ODC  OMC  90  Bốn điểm O, D, C, M nằm đường tròn ( I ) có tâm I cố định, đường kính OC cố định Gọi E điểm đối xứng với D qua tâm I, E cố định DE đường kính đường tròn ( I ) Nếu H  E,H  B : - Với M  E  BHE  90 - Với M  E , DM BH  DMH  900 Khi DME  DMH  900  H ,M ,E thẳng hàng Suy BHE  90 Vậy ta ln có: BHE  90 H  E H  B H thuộc đường tròn đường kính BE cố định 1    Chứng minh rằng: a b c 1    5a  2ab  2b 5b  2bc  2c 5c  2ca  2a Câu 9: Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện Với x, y,z  ta có : x  y  z  3 xyz , x yz 1 1    33 x y z xyz  1 1 1 1 1   x  y  z           Đẳng thức xảy x yz 9 x y z x y z Ta có: 5a  2ab  2b2  ( 2a  b )2  ( a  b )2  ( 2a  b )2   1 1 1      Đẳng thức xảy a  b 2a  b  a a b  5a  2ab  2b 1 1 1 1 Tương tự:       Đẳng thức xảy b  c 2 2b  c  b b c  5b  2bc  2c 1 11 1       Đẳng thức xảy c  a 5c  2ca  2a 2c  a  c c a  Do đó: 1 13 3        2 2 2 9a b c 5a  2ab  2b 5b  2bc  2c 5c  2ca  2a 2 1 1 1      3 a b c Đẳng thức xảy rakhi a  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Câu 10: Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Giả sử hình vng ABCD có cạnh a ( a>0) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn u cầu tốn Khơng tính tổng quát, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC S, E, K cho SCDSK  3S ABKS Từ SCDSK  3S ABKS ta suy được: DS  CK   AS  BK   a  AS  a  BK   AS  BK   AS  BK   EM  a a suy E cố định d qua E Lấy F, H đoạn NQ G đoạn MP cho FN  GP  HQ  a Lập luận tương tự ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E, F, G, H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải có  2018      505 đường thẳng qua bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa 505 đường thẳng đồng quy  ... I ) Nếu H  E,H  B : - Với M  E  BHE  90 - Với M  E , DM BH  DMH  90 0 Khi DME  DMH  90 0  H ,M ,E thẳng hàng Suy BHE  90 Vậy ta có: BHE  90 H  E H  B H thuộc đường tròn đường kính... ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E, F, G, H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải có  2018      505 đường thẳng qua...   2 2 2 9 a b c 5a  2ab  2b 5b  2bc  2c 5c  2ca  2a 2 1 1 1      3 a b c Đẳng thức xảy rakhi a  b  c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Câu 10: Cho hình vng ABCD 2018 đường