PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính giá trị biểu thức: A = x (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) a = 16 16 b) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x x b) x2 x 2 x Bài 4: (3,0 điểm) a) Tìm x; y thỏa mãn: x y y x xy b) Cho a; b; c số thuộc đoạn 1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a+b+c Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H a) Chứng minh: KC AC CB BA2 KB CB BA2 AC b) Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c) Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH Tổ KHTN NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A = x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x ĐKXĐ: x 4; x A x 9 x 2 = x 3 x x 1 x x 1 x x 2x x x 2 x 3 x 2 x 3 x 3 x 2 = x x 2 x 2 x 3 x 1 x 3 b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = Hãy tính: A = x (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) Gợi ý: xy + yz + xz = + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: + y2 = …; + z2 = … Câu 2: (3 điểm) a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) a = 16 16 b/ Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Giải a/Từ a= 16 16 a3 32 3 16 16 16 16 32 12a nên a + 12a = 32 Vậy f(a) = b/ Giả sử: n2 + 17 = k2 (k ) k > n (k – n)(k + n) = 17 k n n8 k n 17 Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a/ x x b/ x2 x 2 x Giải a/ ĐK: 4 x Bình phương vế: x x (1 x)(4 x) (1 x)(4 x) x (thỏa mãn) 3x x x( x 3) x 3 Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = -3 b/ x2 x 2 x ĐKXĐ: x 3 x2 2x x 2 x x 1 x 1 2x 1 x 1 phương trình có nghiệm x x = -1 Câu 4: (3 điểm) a/ Tìm x; y thỏa mãn: x y y x xy b/ Cho a; b; c số thuộc đoạn 1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a + b + c Giải a/ x y y x xy x.2 y y.2 x xy Xét VP = x.2 y y.2 x theo BĐT cosi: y4 4 y4 y 4 x4 x ;2 x VP xy = VT 2 2 x Dấu = xảy khi: y x y 8 b/ Do a; b; c thuộc đoạn 1; 2 nên a + 0; a – nên (a + 1)(a – 2) Hay: a2 – a – a2 a + Tương tự: b2 b + 2; c2 c + Ta có: a2 + b2 + c2 a + b + c + theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = nên: a + b + c Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H a/ Chứng minh: KC AC CB BA2 KB CB BA2 AC b/ Giả sử: HK = AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c/ Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? Giải a/ Sử dụng định lý pytago: A AC CB BA2 AK KC ( BK CK )2 AB CB BA2 AC ( BK CK )2 BA2 ( AK KC ) = 2CK BK CK 2CK (CK BK ) CK BK BK CK BK ( BK CK ) BK H AK AK ; tanC = BK CK b/ Ta có: tanB = Nên: tanBtanC = B AK (1) BK CK K C Mặt khác ta có: B HKC mà: tanHKC = Nên tanB = D E KC KH KC KB KB.KC tương tự tanC = (2) tan B.tan C KH KH KH Từ (1)(2) tan B.tan C Theo gt: HK = AK KH AK tan B.tan C 3 S AB c/ Ta chứng minh được: ABC ADE đồng dạng vậy: ABC (3) S ADE AD Mà BÂC = 600 nên ABD 300 AB = 2AD(4) Từ (3)(4) ta có: S ABC S ADE 30(cm2 ) S ADE ... GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH Tổ KHTN NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn: Tốn Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A = x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x ĐKXĐ: x 4; x A x 9 x... + z)(x + y) Tương tự: + y2 = …; + z2 = … Câu 2: (3 điểm) a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31 )2012 Tính f(a) a = 16 16 b/ Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Giải a/Từ a= 16 16... k2 (k ) k > n (k – n)(k + n) = 17 k n n8 k n 17 Vậy với n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3: (4 điểm) Giải phương trình sau: a/ x x b/ x2 x 2 x Giải a/ ĐK: 4