Microsoft Word HSG TOÁN 9 H?I AN 22 23 docx UBND QUẬN HẢI AN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ THI MÔN TOÁN – LỚP 9 Thời gian 150 phút ([.]
UBND QUẬN HẢI AN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM HỌC: 2022 – 2023 ĐỀ THI MƠN TỐN – LỚP Thời gian: 150 phút (không kể giao đề) Bài (2, điểm) a a a a2 a a a Cho biểu thức: M với a 0, a a a a a a a a) Chứng minh M nhận giá trị nguyên? b) Với giá trị a biểu thức N M Bài (2, điểm) 1)Giải phương trình: x x3 x x x 2)Tìm tất cặp số hữu tỷ x , y thỏa mãn hệ phương trình x3 y x y 2 6 x 19 xy 15 y Bài (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a 2b a b Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Qua A kẻ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C tiếp điểm Lấy điểm D thuộc đường tròn (O) cho BD // AO Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E Gọi M trung điểm AC a) Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn (O) b) Gọi T giao điểm đường thẳng ME, BC, I giao điểm đường thẳng DE, BC Chứng minh OI AT c) Qua E kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AB cắt đường thẳng BC, BD điểm P Q Chứng minh rằng: PQ = PE Bài (2, điểm) 1)Cho số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a b2 c2 Chứng minh ab chia hết cho: a b c Mỗi bước ta chọn số a, b bảng, a b a b , giữ nguyên số lại Hỏi sau số xóa chúng thay số 2 bảng không? hữu hạn bước, ta thu số 2,1 2, 2 Hết -2) Trên bảng ta viết số 2,2, UBND QUẬN HẢI AN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM HỌC: 2022 – 2023 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài Đáp án a)(1.0 điểm) a 1 a a 1 a a 1 a 1 a a a 1 0,25 a 1 a a 1 0,25 a 1 a a 1 a a 1 a a 1 a a Khi ta có M a 1 a 1 a 0,25 a a 1 a (ĐPCM) a a 0,25 Do a 0, a nên Câu (2,0 điểm) Điểm b)(1.0 điểm) 8 Do N nhận giá trị nguyên M a 1 a a N 1 M a a 1 Ta có N a 3 8 a 3 2 a 3 2 Vậy a 2 Câu (2,0 điểm) biểu thức N TM nhận giá trị nguyên M 1)(1.0 điểm) x 1 ĐKXĐ: x3 x x x x4 Đặt a x 1; b x3 x x với a 0, b 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x 1 x3 x x 1 ab Khi ta có a b ab a 1 b 1 a b Ta có x Với a x x (thỏa mãn) 0,25 Với b x x x loại Vì x ta có x x x Vậy PT có nghiệm x 2)(1.0 điểm) x3 y x y Ta có 2 6 x 19 xy 15 y x y x y 1 2 3 x 19 xy 15 y x y x y Từ ta có x3 x y 61xy 62 y 0,25 0,25 0,25 x x x 61 62 (do y không nghiệm y y y x t ta có 5t 5t 61t 62 t 5t 15t 31 y Mà x, y số hữu tỷ nên t hữu tỷ nên t x y thay vào 1 ta có y y 1 y 1 y 1 Vậy (1.0 điểm) ab 1 1 ( a b) 2 Ta có P = a 2b a 2b ab ab a b ( a b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM có ab nên ta có ( a b) 2 ab 16 144 144 ( a b) Suy P (a b) ( a b) a b Đặt (1,0 điểm) 7(a b) 9(a b) 144 7.42 P 18 16 16 ( a b) 16 Dấu “=” xảy a = b = Vậy P = a) (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 T=T' Q B D P E I A H O M C Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có OA đường trung trực BC Câu (3,0 điểm) Nên OA BC Mà OA // BD nên BC BD, suy CD đường kính đường trịn (O), hay tam giác AEC vuông E Theo giả thiết M trung điểm AC Do ME = MC = MA Suy OM đường trung trực CE, hay C E đối xứng qua OM Vì OC MC nên OE ME, hay ME tiếp xúc với đường tròn (O) b) (1,0 điểm) Gọi K trung điểm DE, H giao điểm OA BC , T’ giao điểm OK BC Xét OHT’ OKA có: chung O =>ΔOHT' ΔOKA OHT' = OKA Suy OK OT' = OH OA = OB2 = OE OK OE = Từ ta có OE OT' Xét OKE OET’ có: chung O OK OE =>ΔOKE ΔOET' (c.g.c) = OE OT' = Suy OET' OKE = 900 Nên T’E tiếp tuyến đường trịn (O) Lại có ME tiếp tuyến đường tròn (O) nên M, E, T’ thẳng hàng, suy T T’ 0,5 0,5 0,5 0,5 Xét tam giác AOT có TH AK hai đường cao cắt I nên I trực tâm tam giác Suy OI AT c) (1 điểm) = Theo giả thiết ta có PE // AB nên BEP ABE = BCE BP PE PE CE = hay = Suy BEP BCE (g.g) Do (1) BE CE BP BE PQ CD = (2) Chứng minh tương tự ta có: BP BD Dễ thấy ΔABE ΔABD (g.g), ΔACE ΔADC (g.g) nên BE CE CE AC AB = , = = BD CD CD AD AC BE CE CE CD = hay = (3) Suy BD CD BE BD PE PQ = hay PE = PQ Từ (1), (2), (3) suy BP BP 1) (1,0 điểm) Ta có: a2 + b2 = c2 2ab = (a + b)2 – c2 2ab = (a + b + c)(a + b - c) (1) Từ suy a + b c tính chẵn lẻ a + b > c Do a + b – c số nguyên dương chẵn Đặt a + b – c= 2k với k * Khi đó, từ (1) ta có ab = k(a + b + c) Vậy ab chia hết cho a + b + c 2) (1,0 điểm) Gọi Sn tổng bình phương số có bảng sau bước thứ n Câu (2,0 điểm) Ta có Sn = 13 2 2 2 a b a b 2 Do a b nên giá trị Sn không thay đổi 2 13 Vì nên khơng có thời điểm mà 2 bảng xuất số 2, 1+ 2, 2 2 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ... -2) Trên bảng ta viết số 2,2, UBND QUẬN HẢI AN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN NĂM HỌC: 2022 – 2023 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Bài Đáp án a)(1.0 điểm) a 1 a ... Vậy PT có nghiệm x 2)(1.0 điểm) x3 y x y Ta có 2 6 x 19 xy 15 y x y x y 1 2 3 x 19 xy 15 y x y x y Từ ta có x3 x y 61xy 62... điểm) 7(a b) 9( a b) 144 7.42 P 18 16 16 ( a b) 16 Dấu “=” xảy a = b = Vậy P = a) (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 T=T'' Q B D P E I A H O M C Theo tính chất hai tiếp tuyến