Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 06 câu, gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 2023 Môn Toán Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày t[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 06 câu, gồm 01 trang) Ngày thi: 14/02/2023 Họ tên thí sinh:………………………… …………………Số báo danh: …………… Câu (5,0 điểm) 1 1 ( Với k > ) + 2+ =+ 2 k (k + 1) k (k + 1) Từ tính giá trị biểu thức: 1 1 1 1 1 S = + + + + + + + + + + 2 3 2022 2023 2023 b) Tìm tất cặp số ( x; y ) nguyên thỏa mãn: x − xy + x + y + = Câu (4,0 điểm) a) Cho hàm số y= (m − m + 2) x + 2m − có đồ thị đường thẳng d Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành trục tung A B cho diện tích tam giác OAB ( với O gốc tọa độ ) a) Chứng minh rằng: b) Cho hai vòi nước chảy vào bồn nước Nếu cho vòi thứ chảy vào bồn rỗng dừng lại, sau cho vịi thứ hai chảy tiếp vào đầy bồn Nếu cho vòi thứ chảy vào bồn rỗng cho vòi chảy tiếp số nước chảy vào bồn Hỏi vịi chảy riêng nước đầy bồn ? Câu (2,0 điểm) Cho x =+ 3 + Chứng tỏ x − x − x + 21 số chia hết cho Câu (5,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính BC = R điểm A thay đổi (O) (điểm A không trùng với B, C ) Đường phân giác góc A tam giác ABC cắt đường tròn (O) K Hạ AH vng góc với BC a) Chứng minh A thay đổi, tổng AH + KH ln khơng đổi Tính góc B tam giác R ABC biết AH = b) Đặt AH = x Tìm x cho diện tích tam giác OAH đạt giá trị lớn Câu (2,0 điểm) AB 3,= AC AH đường cao Gọi I ∈ AB cho Cho ∆ABC vuông A biết= AI = BI , CI cắt AH E Tính CE Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: (a + bc)(b + c) (b + ca )(c + a ) (c + ab)(a + b) + + ≥3 a (b + c ) b (c + a ) c(a + b ) HẾT Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI (Hướng dẫn chấm có 05 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 – 2023 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 14/02/2023 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN Câu Đáp án Ý Điểm 1 1 ( Với k > ) + 2+ =+ 2 k (k + 1) k (k + 1) Từ tính giá trị biểu thức: 1 1 1 1 1 + + S = + + + + + + + + 2 3 2022 2023 2023 Chứng minh rằng: 1 k (k + 1) + (k + 1) + k + + = 12 k (k + 1) k (k + 1) = a) 3đ k + 2k + k + k + 2k + + k k + 2k + 2k + k + 2k + = k (k + 1) k (k + 1) (k + k + 1) k + k + = k (k + 1) k (k + 1) k (k + 1) + 1 = = 1+ (đpcm) k (k + 1) k (k + 1) = 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có: 1 1 1 + 2+ =1 + =1 + − 2 k (k + 1) k (k + 1) k k +1 Khi đó: 1 1 1 1 1 + + S = + + + + + + + + 2 3 2022 2023 2023 1 1 1 = + − + + − + + + − + 3 2022 2023 2023 = 2021 + = 2021,5 (5,0đ) 0,25 0,5 0,25 Tìm tất cặp số ( x; y ) nguyên thỏa mãn: x − xy + x + y + = Ta có : x − xy + x + y + = ⇔ y ( x − 1) = x + x + (*) b) 2đ 0,25 Với x = khơng thỏa mãn đẳng thức (*) Khi (*) ⇔ y = x2 + x + ⇔ y =x + 2+ x −1 x −1 Vì x, y nguyên nên suy ra: ( x − 1) ước nguyên 0,5 0,25 Suy ra: ( x − 1) ∈ {±1; ±7} 0,25 • x − = ⇒ x = ⇒ y = 11 • x − =−1 ⇒ x =0 ⇒ y =−5 • x − = ⇒ x = ⇒ y = 11 • x − =−7 ⇒ x =−6 ⇒ y =−5 0,5 Vậy có cặp số nguyên thỏa ycbt : (2;11), (0; −5), (8;11), (−6; −5) 0,25 a) Cho hàm số y= (m − m + 2) x + 2m − có đồ thị đường thẳng d Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành trục tung A B cho diện tích tam giác OAB (với O gốc tọa độ) a) 2đ m − m + ≠ ∀m ∈ Vì O, A, B tạo thành tam giác nên : ⇔ m ≠ 2m − ≠ Đường thẳng d cắt trục hoành trục tung A B nên suy : −2m + A( ;0) & B (0; 2m − 8) m −m+2 1 −2m + Ta có : = S ∆OAB = m −8 OA OB 2= 2 m2 − m + 0,5 0,5 ⇔m= (TMĐK) 0,25 2 b) Cho hai vòi nước chảy vào bồn nước Nếu cho vòi thứ chảy vào bồn rỗng dừng lại, sau cho vòi thứ hai chảy tiếp vào đầy bồn Nếu cho vịi thứ chảy vào bồn rỗng cho vịi chảy tiếp số nước chảy vào bồn Hỏi vòi chảy riêng nước đầy bồn ? Gọi x (giờ), y (giờ) thời gian để vòi chảy riêng đổ đầy bồn nước, x > 0, y > b) 2đ 0,5 m − 8m + 16 = m − m + ⇔ (m − 4) = m − m + ⇔ m − 8m + 16 = m − m + ⇔ −m2 + m − m − 8m + 16 = 2 (4,0đ) 0,25 Khi đó, : vòi thứ chảy 1 bồn, vòi thứ hai chảy bồn y x 3 x + y = Theo giả thiết tốn ta có hệ phương trình : 1 + 4 + = x x y a= 3a + 8b = 1 Đặt = : a = hệ trở thành : ,b 8⇔ x y 5a + 4b = b = 12 0,25 0,25 0,5 0,5 2đ Suy := x 9,= y 12 0,25 Vậy vòi thứ cần (giờ), vòi thứ hai cần 12 (giờ) để chảy riêng đầy bồn Cho x =+ 3 + Chứng tỏ x3 − x − x + 21 số chia hết cho 0,25 Ta có: x =+ 3 + ⇔ x3 = + +3 0,5 ⇔ x3 = + +1+ ⇔ x 3 = x+2 0,5 ⇔ x3 = x3 + x + 12 x + ⇔ x3 − x − x = 0,5 Từ suy : x3 − x − x + 21 =4 + 21 =25 số chia hết cho Cho đường trịn (O) đường kính BC = R điểm A thay đổi (O) (điểm A không trùng với B, C ) Đường phân giác góc A tam giác ABC cắt đường tròn (O) K Hạ AH vng góc với BC a) Chứng minh A thay đổi, tổng AH + KH ln khơng đổi Tính góc B R tam giác ABC biết AH = 0,5 0,25 a) 3đ Góc BAC vng A, AK đường phân giác góc A nên K điểm cung BC suy ∆OHK vng O Ta có: OK + OH = R + OH HK ⇒ HK = 0,5 Mặt khác AH + OH = R ⇒ AH = R − OH ⇒ AH + HK = R − OH + R + OH = R ( khơng đổi) ∆OAH vng H có: AH = Suy ra: AOH = 60 R nên ∆OAH nửa tam giác cạnh R 0,5 0,5 + Nếu H thuộc đoạn OB Ta có: ∆OAB cân O ( OA AOB = 600 = OB = R ) có Tính ABC = 600 0,5 + Nếu H thuộc đoạn OC 0,5 Ta có ACB = 600 ⇒ ABC = 900 − 600 = 300 Vậy ABC = 300 ABC = 600 0,25 b) Đặt AH = x Tìm x cho diện tích ∆OAH đạt giá trị lớn OA2 ∆OAH vuông H nên: AH + OH = ⇒ x + OH = R ⇒ OH = R − x ⇒ OH = Suy ra:= SOAH b) 2đ R − x (đvdt) 1 AH = x R2 − x2 OH 2 0,5 0,5 Theo bất đẳng thức Cô si: R2 1 x2 + R2 − x2 R2 , khơng đổi x R2 − x2 ≤ = 2 Ta có: SOAH = Dấu “=” xảy x = R2 − x2 ⇔ x2 = R2 − x2 ⇒ x = 0,5 R 0,5 R2 Vậy S đạt giá trị lớn x = R AB 3,= AC AH đường cao Gọi I ∈ AB cho Cho ∆ABC vuông A biết= AI = BI , CI cắt AH E Tính CE 2đ Trong ∆ABC có : BC = AB + AC = , AH = 16 BH BC = AB ⇒ BH = , CH = 5 12 0,5 Dựng IK ⊥ BC , ( K ∈ BC ) Khi dễ dàng tính : 1,0 22 ; IK = AH = ; IC = BH = ; CK = 5 BK = Ta có : IK + CK = CE CH CI CH 16 = ⇒ CE = = CI CK CK 11 0,5 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: (a + bc)(b + c) (b + ca )(c + a ) (c + ab)(a + b) + + ≥3 a (b + c ) b (c + a ) c(a + b ) Ta có: (a + bc)(b + c) = a 2b + a c + b c + bc = b(a + c ) + c(a + b ) Tương tự: ( b + ca )(c + a )= c(b + a ) + a (b + c ) 2 2 0,5 (c + ab)(a + b)= a (c + b ) + b(c + a ) Đặt: x =a (b + c ); y =b(c + a ); z =c(b + a ) Khi đó: 2đ (a + bc)(b + c) (b + ca )(c + a ) (c + ab)(a + b) + + = a (b + c ) b (c + a ) c(a + b ) Áp dụng BĐT Cô si cho số không âm x, y, z : y+z z+x x+ y + + x y z x + y ≥ xy 0,5 y + z ≥ yz z + x ≥ zx ⇒ ( x + y )( y + z )( z + x) ≥ xyz Áp dụng BĐT Cô si cho số khơng âm: Ta có: ⇒ y+z z+x x+ y + + ≥ 33 x y z y+z z+x x+ y ; ; x y z ( y + z )( z + x)( x + y ) ≥ 33 = x y.z (a + bc)(b + c) (b + ca )(c + a ) (c + ab)(a + b) + + ≥ (đpcm) a (b + c ) b (c + a ) c(a + b ) Lưu ý : - Thí sinh giải cách khác, lập luận chặt chẽ điểm tối đa - Điểm tồn khơng làm tròn Hết 0,5 0,5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: Tốn ĐỀ DỰ BỊ Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 06 câu, gồm 01 trang) Ngày thi: 14/02/2023 Họ tên thí sinh:………………………… …………………Số báo danh: …………… Câu (5,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: S = 1 + + 1+ 3+ 2023 + 2025 b) Tìm tất cặp số ( x; y ) nguyên thỏa mãn: x − xy − x + y + = Câu (4,0 điểm) a) Cho hàm số y= (m − m − 1) x + m có đồ thị đường thẳng d Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành trục tung A B cho diện tích tam giác OAB ( với O gốc tọa độ ) b) Một máy cày lớn máy cày nhỏ cày cánh đồng ngày giao lại cho máy cày nhỏ cần thêm ngày cày xong Nếu hai máy cày làm việc cần ngày cày xong Hỏi máy cày riêng cần ngày để cày xong cánh đồng ? Câu (2,0 điểm) Cho x =+ + 49 Chứng tỏ x3 − x − 18 x + 13 số phương Câu (5,0 điểm) Đoạn thẳng AC có độ dài a , lấy điểm B cho AB = AC Tia Cx vng góc với AC C Trên tia Cx lấy điểm D (D không trùng với C) Từ B kẽ đường vng góc với AD cắt hai đường thẳng AD CD K E a) Xác định vị trí điểm D để diện tích tam giác BED nhỏ b) Chứng minh D di chuyển tia Cx đường trịn đường kính DE ln có cung cố định Câu (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD Gọi E , F trung điểm AD BC Tìm điều kiện tứ giác AB + CD ABCD để EF = Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a3 b2 c a b c + + ≥ + + b3 c a b c a HẾT Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay - Giám thị khơng giải thích thêm ... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI (Hướng dẫn chấm có 05 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 14/02 /2023 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ... 1) k (k + 1) k k +1 Khi đó: 1 1 1 1 1 + + S = + + + + + + + + 2 3 2022 2023 2023 1 1 1 = + − + + − + + + − + 3 2022 2023 2023 = 2021 + = 2021,5 (5,0đ) 0,25 0,5 0,25 Tìm tất cặp số ( x; y )... - Thí sinh giải cách khác, lập luận chặt chẽ điểm tối đa - Điểm tồn khơng làm trịn Hết 0,5 0,5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn: