de thi hoc sinh gioi toan 9 cap tinh nam 2020 2021 so gddt bac giang

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 03 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HĨA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 MƠN THI: TOÁN – LỚP Ngày thi: 06/3/2021 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Mã đề thi 101 I PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm) 1  1 1  Câu 1: Nghiệm phương trình  + + + + + + + + x = 10.60  1.11 2.12 3.13 50.60  1.51 2.52 3.53 A x = B x = C x = D x = a − 16 a + a +1 S tập hợp giá trị nguyên a để M nhận − − a −6 a +8 a −2 4− a giá trị nguyên Tập S có tất tập ? A B C D Câu 3: Cho đường trịn tâm O bán kính R điểm A cho OA = 3R Đường thẳng qua A cắt đường trịn hai điểm B, C Tính AB AC B AB AC = R C AB AC = R D AB AC = 3R A AB AC = R Câu 2: Cho = M Câu 4: Có cặp số ( x; y ) với x > 0, y > thỏa mãn phương trình x + y + = x + xy ? B C D A Câu 5: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH ( H ∈ BC ) ;= AB 2,= AC 3CH Diện tích tam giác ABC 3 A 3 B 2 C D 2 2x + nhận giá trị nguyên ? Câu 6: Có giá trị x nguyên để biểu thức A = x+2 A B C D Câu 7: Gọi M hình chiếu vng góc gốc tọa độ O đường thẳng y = m tham số) Giá trị lớn OM A B Câu 8: Cho biểu thức f ( x ) = ( x3 + x − ) A B −2 2021 C ( m + ) x + m − (với D Biết a = 3 + 17 + 3 − 17 , giá trị f ( a ) C D −1 Câu 9: Biết điểm M ( x0 ; y0 ) điểm mà đường thẳng y =(1 − m ) x + 2m − qua với m Giá trị biểu thức A = x02 + y02 A -2 B 20 C D Câu 10: Cho hai hàm số y = ( m + 1) x + y = x + m + Tìm tham số m để đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng song song A m = ±1 B m = C m = D m = −1 Câu 11: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD (D thuộc BC) cho BD = a; CD = b; a > b Tiếp tuyến A đường tròn qua điểm A, B, C cắt BC M Độ dài MA tính theo công thức sau ? 2ab 2ab ab 2ab A MA = B MA = C MA = D MA = a −b a −b a+b 2a − b Trang 1/3 - Mã đề thi 101 2 x + y = Câu 12: Tìm hai tham số m, n để hệ phương trình  có vơ số nghiệm mx − y = n − B = C m = D m = A m = 2; n = −2 m 2;= n −2; n = −2 −2; n = Câu 13: Cho ba số x, y, z cho x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ Giá trị lớn yz x − + xz y − + xy z − 1 + + , ( a, b, c ∈  ) Tổng a + b + c a xyz b c A 22 B 18 C 20 D 19 P= ( m + 1) x + my = 2m − Câu 14: Cho hệ phương trình  ( với m tham số) có nghiệm ( x0 ; y0 ) Giá trị mx − y = m − lớn x0 y0 1 A B C − D 4 13  −  x + 2y − x − 2y =  có nghiệm ( x0 ; y0 ) Tính y0 − x0 Câu 15: Cho hệ phương trình   + =  x + y x − y A y0 − x0 = B y0 − x0 = −2 C y0 − x0 = D y0 − x0 = sử AB 6= Câu 16: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Giả = cm, BH 4cm Tính BC A 10cm B BC = 9cm C BC = 10,5cm D BC = 2cm x có nghiệm ? Câu 17: Phương trình x − + = A B C D Câu 18: Cho đường tròn (O;R) hai điểm A, B cố định nằm ngồi đường trịn cho OA = R R Điểm C nằm đoạn thẳng AO cho OC = điểm M thay đổi đường tròn Giá trị nhỏ MA+2MB A BC B 4BC C 3BC D 2BC Câu 19: Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R , dây cung BC vng góc với OA trung điểm M đoạn thẳng OA , kẻ tiếp tuyến với đường trịn B , tiếp tuyến cắt OA E Độ dài đoạn thẳng BE R A 3R B R C R D Câu 20: Cho hàm số= y 0,5 x + , y= − x , y = mx có đồ thị đường thẳng d1 , d , ∆ m Với giá trị tham số m ∆ m cắt d1 , d hai điểm A, B cho A có hồnh độ âm, B có hồnh độ dương ? A −0,5 < m < B −1 < m < 0,5; m ≠ D −0,5 < m < 1; m ≠ C −1 < m < 0,5 II TỰ LUẬN Câu (5,5 điểm) 3x + x − x +1 x +2 − + , ( x ≥ 0, x ≠ 1) x+ x −2 x + 1− x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Cho biểu = thức A Trang 2/3 - Mã đề thi 101 ax + b, ( a ≠ ) qua M (1; ) cắt Ox điểm A có hồnh độ dương, Cho đường thẳng d : y = cắt Oy B có tung độ dương Tìm giá trị nhỏ = P OA + OB Câu (3,5 điểm) Giải phương trình x − x + 6= (11x − 1) x2 + Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn a – b số nguyên tố 3c = ab + bc + ca Chứng minh 8c + số phương Câu ( điểm) Cho tam giác ABC ( AB < BC < CA ) ngoại tiếp đường tròn tâm I Lấy E F lần = CE = BF đồng thời chúng nằm phía lượt đường thẳng AC AB cho CB với A so với đường thẳng BC Các đường thẳng BE CF cắt G a) Chứng minh bốn điểm C , E , I G nằm đường tròn b) Trên đường thẳng qua G song song với AC lấy điểm H cho HG = AF đồng thời H nằm  = CAB  khác phía với C so với đường thẳng BG Chứng minh EHG Câu ( điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh + xy + x + y 1 + ≥ yz + y + z zx + z + x HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Cán coi thi số (Họ tên ký) Cán coi thi số (Họ tên ký) Trang 3/3 - Mã đề thi 101 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 MƠN THI: TỐN – LỚP Ngày thi: 06/3/2021 (Bản hướng dẫn chấm gồm 05 trang) HDC I PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm- Mỗi đáp án 0,3 điểm) Mã đề 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 101 Câu 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án A B C A D B A D B D C C A A B B D D C C Mã đề 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 102 Câu 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án D B C D A C A A B A C B D D B C B C D A II PHẦN TỰ LUẬN (14 điểm) Câu Câu ( 5,5 điểm) a) ( 3,5 điểm) điểm Hướng dẫn giải A= A= )( x + 1) − ( ( x + 2)( x − 1) 3x + x − − ( ( A= ( ( x− x −6 )( x + )( x + )( x +2 x −1 ) x − 3) x − 1) x −1 x +2 Điểm ) 0,5 0,5 0,5 A= b) 1,5 điểm x −3 x −1 0,25 0,25 Kết luận A= − x −1 0,25 Với x ∈ , Để A∈  ⇒ ( điểm) 0,25 x − ước ⇒ x − ∈ {±2; ±1} 0,5 Đáp số= x 0,= x 4,= x 0,5 M ∈d ⇒ a +b = ⇒ b = 4− a 0,5  b  +) d ∩ Ox = A  − ;0  , d ∩ Oy = B ( 0; b ) ( b > 0, a < )  a  b 4−a + OA + OB =− + b =− +4−a a a  4 =  −  + ( −a ) + ≥  a Dấu xảy =a ⇒ a =−2 ( a < ) ⇒ b =6 (tm) a Vậy giá trị nhỏ P 0,25 0,25 0,5 0,5 Câu ( điểm) ( điểm) (11x − 1) x + ⇔ x − x + − (11x − 1) x + = x − x + 6= ( ) ( 0,25 ) ⇔ x − x − 10 x x + + x + − ( x − 1) x + = ( ) ( ) ⇔ x x − − x + + x + x + − x + =0 ( )( ) ⇔ x − − x + x − x + =0 2 x2 + = x − ⇔  x + = 5x +) x ≥  x + = 5x ⇔  ⇔ x =  x = 0,25 0,25 0,25 x ≥ ⇒ x ∈∅ +) x + 3= x − ⇔  3 x + x + 11 = 0,25 0,25 0,25 Kết luận ( 1,5 điểm) ( c + a )( c + b ) d =( c + a, c  + b ) , ( c + a ) – ( c  + b ) =a − b  d ⇒ d = 0,25 bc + ca Ta có 4c= c + ab += Gọi 0,25 d = a–b (Do a − b số nguyên tố)   c + a c + b nguyên tố nên TH1: d = ⇒ c += a x , c += b y (x y nguyên dương) Nên a – b = x − y = ( x − y )( x + y ) số nguyên tố nên x – y =1 1 ⇒x= +y  4c = ( c + a )( c + b  ) = x y ⇒ 2c = xy =(1 + y ) y = y + y ( y + 1) số phương ( a − b ) x; c + b = ( a − b ) y, với x, y nguyên ⇒ 8c + 1= y + y + 1= ⇒c+a = TH2: d = a – b   dương nguyên tố = x – y  ⇒ a – b = ( c + a ) – ( c + b ) = ( a − b ) x – ( a − b ) y ⇒1  ⇒ x = y +1 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có = 4c = ( c + a )( c + b )   ⇒ xy = y ( y + 1) số ( a − b ) xy   phương Mà y y + hai số tự nhiên liên tiếp nên y = (vô lý y nguyên dương) Kết luận Câu (4 d) H F G A E N M I C B 1800 Bổ đề: Tứ giác có tổng hai góc đối nội tiếp đường trịn (Nếu học sinh khơng chứng minh bổ đề mà sử dụng cho điểm tối đa) 0,25 a)Gọi BI ∩ CF = { N } ; CI ∩ BE = {M } ∆IBE cân I =  (1) ⇒ IEB I BM 0,5 0,25  + BIM = IBM 900    ICN (2)  ⇒ IBM =  + CIN = ICN 900  0,75  = ICN  Từ (1) (2) suy IEB =  + GEI ⇒ ICG 1800 0,25 ⇒ tứ giác CIEG tứ giác nội tiếp 0,5 0,25 b) Chứng minh tứ giác AFCI nội tiếp 0,25  + BCA  180 −  ABC BAC  + ICA  = 1800 −  (vì  = = IAC AFC = AIC ) 2 Chứng minh tứ giác AEIB nội tiếp 0,25 )    (vì EAI = IFC = ICF = IBE   Do tứ giác CIEGvà AFCI nội tiếp, nên EGI = ECI =  AFI  = FAI  suy ∆GEI đồng dạng với  = IEB  nên GEI Hơn nữa, IAB ∆FAI Suy Câu EG EG AF HG AF AI = = ⇒ = = BI EI AI GE GE BI 0,25 0,25  Nhưng HGE =  AEB =  AIB suy ∆HGE đồng dạng ∆AIB 0,25  CAB   = BAI = Từ EHG 0,25 Ta chứng minh ( x + y + 1) ≥ ( xy + x + y ) , với ∀ x, y Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với ( x + y + + xy + y + x ) ≥ ( xy + x + y ) ⇔ ( x − y ) + ( x − 1) + ( y − 1) ≥ Dấu “=”xảy ⇔ x = y =1 2 0,25 , với ∀x, y > Dấu “=” xảy ≥ xy + x + y x + y + ⇔ x = y =1 Tương tự ta suy 1 3 + + ≥ + + xy + x + y yz + y + z zx + z + x x + y + y + z + z + x + (1) Dấu “=” xảy ⇔ x = y =z =1 Do 1 + + ≥ , ∀ m, n, p > m n p m+n+ p Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với n p m p m n 1+ + + +1+ + + +1 ≥ m m n n p p 0,25 Ta chứng minh:  n m  p m  p n  ⇔  + + + + +  ≥ m n  m p  n p Theo bất đẳng thức Cô si ta thấy bất đẳng thức Dấu “=”xảy ⇔ m =n =p Do 3 (2) + + ≥ = x + y +1 y + z +1 z + x +1 2( x + y + z ) + Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Dấu “=”xảy ⇔ x = y =z =1 0,25 0,25 ... thí sinh: Số báo danh: Cán coi thi số (Họ tên ký) Cán coi thi số (Họ tên ký) Trang 3/3 - Mã đề thi 101 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH. .. GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020- 2021 MƠN THI: TỐN – LỚP Ngày thi: 06/3 /2021 (Bản hướng dẫn chấm gồm 05 trang) HDC I PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm- Mỗi... đường thẳng AC AB cho CB với A so với đường thẳng BC Các đường thẳng BE CF cắt G a) Chứng minh bốn điểm C , E , I G nằm đường tròn b) Trên đường thẳng qua G song song với AC lấy điểm H cho HG