de thi hoc sinh gioi toan thcs cap tinh nam 2020 2021 so gddt son la

SỞ GD&ĐT SƠN LA ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 14/3/2021 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu (4,0 điểm) Cho hai biểu thức A  x   11 x  B  9 x x 3 x  x 3 x 3 x 1 (với x  0; x  ) a) Tính giá trị B x   45  2021    45  2021  b) Rút gọn A c) Tìm tất số nguyên x để P = A.B nhận giá trị nguyên Câu (4,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng  d  : y   2m  1 x  2m parabol  P  : y  x ( m tham số) a) Tìm tọa độ giao điểm  d   P  m  b) Tìm m để  d   P  cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức E  x12  x22  x1 x2 đạt giá trị nhỏ Câu (4,0 điểm) 2  y  xy  x  x  a) Giải hệ phương trình   y  x  x  x  b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x  y  xy  y   Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A tù Vẽ đường trịn  O  đường kính AB đường trịn  O ' đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường tròn  O ' điểm thứ hai D, đường thẳng AC cắt đường tròn  O  điểm thứ hai E a) Chứng minh bốn điểm B, C , D, E nằm đường tròn b) Gọi F giao điểm thứ hai hai đường tròn  O   O ' ( F khác A ) Chứng minh ba điểm B, F , C thẳng hàng FA phân giác góc EFD c) Gọi H giao điểm AB EF Chứng minh BH AD  AH BD Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn biểu thức P  1    Tìm giá trị nhỏ a b c b2c2 c2a a 2b   a (b  c ) b(c  a ) c (a  b ) -Hết - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………… Số báo danh: ………… SỞ GD&ĐT SƠN LA HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC (HD chấm có 04 trang) Câu Ý Nội dung Điểm Ta có: x 1.a     45  2021  45  2021    45  2021  90  2021  90  2021    2025  2021  45  2021  45  2021  45  2021 0,5 180 9 20 Thay x  vào biểu thức B ta được: x 3 3 33 B   0 x 1 1 1 x x   11 x A   9 x x 3 x 3   1.b  x    x  1 x  3  11  x  3 x  3 x 3  0,5 x 3 x  x  x  x  x   11 x   x  x  3 3x  x    x  x  x  x         Ta 1.c 0,5 x 3  P  A.B  có: 0,5 x 3 x x 3 x  x 1 x với x  0, x  x 3 = x = x 1   x 1  x 1 3 x 1  P số nguyên  Hay   số nguyên  3 x 1   x 1 x   Ư(3) = {  ;  }  x  0; 4 2.a Khi m  đường thẳng (d) có dạng: y  x  Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x  x2  5x   x  5x     x  Với x   y  1; x   y  16 0,5 = 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 Vậy tọa độ giao điểm  d   P  là: (1;1) ;  4;16  0,25 Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: x   2m  1 x  2m  x   2m  1 x  2m  0,25 Tính    2m  1 0,25 * (P) (d) cắt hai điểm phân biệt     m  2b 0,5  x  x  2m  * Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:   x1.x2  2m 0,5 Do đó: E  x12  x22  x1.x2   2m  1  3.2m  4m  2m  0,5 0,5 1 3    2m     , với m   2 4  Min E  0,5 m  4  y  xy  x  x  (1) a)  (2)  y  x  x  x  Từ phương trình (1) cộng vào vế với x , ta được: 0,5 y  xy  x  x  x    x  y    x  1   x  y    x  1  2 2   x  y  x  1 x  y  x  1   1  x  y  x  y  1  3a 0,5 1  x  y   y  1 2x   4 x  y    y  4x 1 + Trường hợp 1: y  x  vào phương trình (2) ta được:  x  1  x3  x  x   16 x  x   x  x  x  x   x3  x  x    x    x  0,5 Ta tìm nghiệm  x; y  (0; - 1); (1; 3); (7; 27) + Trường hợp 2: y   x vào phương trình (2) ta được: 1  x   ( x  x  x  1) 0,5 x   x  x   x  x  x   x  x  x    x  1   x  3 3 Tìm nghiệm  x; y  là: (0; 1); (-1; 3); (-3; 7) Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là: S   0; 1 ;  0;1 ; 1;3 ;  1;3 ;  7;27  ;  3;7  Biến đổi phương trình: x  y  xy  y     x  xy  y   y  y   0,5   x  y    y  1 y      y  1 y      x  y   3b 0,5    y  1, y nguyên nên y   4;  3;  2; 1; 0; 1 0,5 Suy cặp  x; y  nguyên thỏa mãn phương trình là:  4;   ;  1; 1 ;  5;  3 ; 1;  3 ;  2;  ;  2;  Hình vẽ đúng: 0,5 x E D A H 4a B 0,5 O' O F C Lập luận có  AEB  900 Lập luận có  ADC  900 4b 0,5 0,5 Suy bốn điểm B, C, D, E nằm đường trịn đường kính BC Ta có  AFB   AFC  900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) suy  AFB   AFC  1800 Suy ba điểm B, F, C thẳng hàng    ACD  (cùng chắn  AFE   ABE (cùng chắn  AE ) AFD AD )    Mà ECD  EBD (cùng chắn DE tứ giác BCDE nội tiếp)  Suy ra:  AFE   AFD => FA phân giác góc EFD 4c C/m EA phân giác tam giác DHE suy 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 AH EH  AD ED 0,5 (1) Xét tam giác HED có EA phân giác tam giác Mặt khác BE  EA nên BE phân giác tam giác HED BH EH EB phân giác tam giác DHE suy  (2) BD ED AH BH Từ (1), (2) ta có:   AH BD  BH AD AD BD 1 Ta có: P    1 1  1   a   b   c   a  c b  c a b  1 Đặt  x;  y;  z x  y  z   x, y , z  a b c 2 x y z x y z      2 2 y z z x x y x (1  x ) y (1  y ) z (1  z ) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho số dương ta có: P 5 0,5 0,5 0,5 0,5 x (1  x )  x (1  x )(1  x )  2 0,5 2  x2   x2   x2     2  27 x2 3  x(1  x )    x x(1  x ) 3 Tương tự: y2 3  y y (1  y ) Từ (1); (2); (3) ta có P  (2); 0,5 (1) z2 3  z z (1  z ) (3) 3 3 (x  y2  z2 )  2 Đẳng thức xảy  x  y  z  Vậy giá trị nhỏ P hay a  b  c  3 0,5 3 xảy a  b  c  (Lưu ý: Học sinh làm theo đáp án khác giáo viên chấm điểm đối đa) -Hết - ... SƠN LA HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC (HD chấm có 04 trang) Câu Ý Nội dung Điểm Ta có: x 1.a     45  2021? ??  45  2021. .. Ta có: x 1.a     45  2021? ??  45  2021    45  2021  90  2021  90  2021    2025  2021? ??  45  2021  45  2021  45  2021 0,5 180 9 20 Thay x  vào biểu thức B ta được: x 3...  ACD  (cùng chắn  AFE   ABE (cùng chắn  AE ) AFD AD )    Mà ECD  EBD (cùng chắn DE tứ giác BCDE nội tiếp)  Suy ra:  AFE   AFD => FA phân giác góc EFD 4c C/m EA phân giác tam giác