PHỊNG GD&ĐT THỊ XÃ KỲ ANH TRƯỜNG THCS SƠNG TRÍ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2017 - 2018 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐỀ THI CÁ NHÂN Mơn: TỐN LỚP Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi có 01 trang) I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh cần ghi kết vào tờ giấy thi) Câu Tính giá trị biểu thức: A = 1+ + 3+ + 1− − 3− x +1 + x −1 a = Tính giá trị f( a ) x +1 − x −1 3+ Câu Tìm nghiệm nguyên x, y phương trình: 6x2 y3 + 3x2 −10 y3 = −2 1 ab bc ca Câu Cho + + = Tính giá trị biểu thức: P = + + a b c c a b Câu Tìm số hạng thứ dãy số sau 1; 2; 3; 7; 37; Câu Giải phương trình : x − + x −1 = Câu Cho f ( x ) = Câu Tìm số tự nhiên k số 2k + 24 + 27 số phương Câu Tìm hai số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức: x ( ) ( 18 − 17 + y ) 18 + 17 = 183 − 173 Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường phân giác AD.Biết BH = 63 cm; CH = 112 cm Tính HD Câu 10 Tam giác ABC có A = 1050 , B = 450 , BC = 4cm Tính độ dài AB AC II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11 Cho số thực x, y thỏa mãn x + − y3 = y + − x3 Tìm GTNN biểu thức: P = 4x2 − 3xy + y2 + x + y +1 Câu 12 a) Giả sử D điểm nằm tam giác nhọn ABC cho ADB = ACB + 900 AB.CD = AC.BD = AD.BC Chứng minh AC.BD b) Cho tam giác ABC Biết tồn hai điểm M,N cạnh AB, BC cho BM BN = BNM = ANC Chứng minh tam giác ABC vuông AM CN - HẾT Lưu ý: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay; - Thí sinh làm vào tờ giấy thi - Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ KỲ ANH TRƯỜNG THCS SƠNG TRÍ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn: TỐN - Phần thi: CÁ NHÂN Hướng dẫn chấm Lưu ý: - Từ câu đến câu 10 thí sinh cần ghi kết quả, khơng trình bày lời giải - Mọi cách giải khác đáp án, ngắn gọn cho điểm tương ứng Câu Câu 1.5đ Câu 1.5đ Câu 1đ Đáp án A Đáp số: A = − Trước hết tính = −1 A = − 2 Đáp số: f( a ) = + ( ) Điểm 1.5đ x +1 + x −1 x +1 + x −1 x + + x −1 + x2 −1 Cho f ( x ) = = = ( x + 1) − ( x − 1) x +1 − x −1 = Nên f( a ) = + = x + x2 − a = 3+ Đáp số: Các nghiệm nguyên (x,y) (2;-1) (-2;-1) 6x2 y3 + 3x2 −10 y3 = −2 6x2 y3 + 3x2 −10 y3 − = −7 ( ) ( ) ( )( ) 3x 2 y3 + − y3 + = −7 3x − y3 + = −7 1.5đ 1đ Suy ra, nghiệm nguyên (x,y) (2;-1) (-2;-1) Đáp số: Câu 1đ Câu 1đ Câu 1 + + = a b c 1 ab bc ca abc abc abc + 3+ 3= Do p = + + = + + = 3 a b c c a b a b abc c Đáp số: 1159 Quy luật an+2 = an2+1 − an+1 an + an2 với n 1, n Ta có: x + y + z = x3 + y3 + z3 = 3xyz nên Đáp số: x = 10 ĐK: x 1đ Vì ( x − 2) + x − + 2 x − + x −1 = x − 10 1đ 1đ Suy a6 = a − a5 a4 + a = − 7.37 + 37 = 1159 Câu 1đ ( x − 2)2 + x − + ( ) ( x−2 −2 + ) x −1 − = + x − 10 = x − 10 = x −1 + + với x Do x = 10 x −1 + 1.5đ Đáp số: k = Giả sử: 2k + 24 + 27 = a2 ( a N ) 2k = a2 − 144 = ( a + 12)( a − 12) Đặt: a +12 = 2m ; a −12 = 2n Với m, n N ; m n m + n = k Ta ( ) 1đ 2m − 2n = 24 = 8.3 2n 2m−n − = 8.3 Suy n = ; m = ; k = Thử lại 28 + 24 + 27 = 400 = 202 Đáp số: x = 17,5; y = 0,5 Câu x ( ) ( 18 − 17 + y ) 18 + 17 = 183 − 173 x 18 − x 17 + y 18 + y 17 = 18 18 −17 17 18 ( x + y − 18) = 17 ( x − y − 17 ) 1đ 1đ x = 17,5 Nếu: ( x + y − 18) = ( x − y − 17 ) = y = 0,5 x = 17,5 Nếu: ( x − y − 17 ) = ( x + y − 18) = y = 0,5 18 x − y − 17 (Vơ lí VT số vơ tỉ, VP số hữu = 17 x + y − 18 Nếu : ( x + y − 18) tỉ) Vậy x = 17,5; y = 0,5 Đáp số: DH = 12 cm Câu 1.5đ AB2 BH BC BH 63 A = = = = AC HC.BC HC 112 16 AB = Áp dụng tính chất đường phân AC AB BD C = = giác, ta B H D AC DC BD CD BD + CD 175 = = = = 25 BD = 75 Từ đó: DH =75 –63 = 12cm 7 Đáp số: AB = Câu 10 1đ ( ) − cm, AC = ( ) − cm Kẻ AH ⊥ BC Đặt AH = HB = x Ta có : HC = AH tan 600 = x Do BC = BH + HC x + x = x = = − cm 1+ ( Nên AB = x = − ĐK: x −5; y −5 1.đ ( ) ) cm, AC = x = ( − 1) cm Nếu: x = y = −5 P = 4(−5)2 − 3(−5)(−5) + (−5)2 + (−5) + (−5) +1 = 41 Xét x −5; y −5 x −5; y −5 x− y Ta có: x + − y = y + − x3 + x3 − y = x+5 + y +5 Câu 11 3đ 1.5đ 2đ ( x − y) + x2 + xy + y = ( x − y ) A = ( x − y ) = x+5 + y +5 Do ( Do A > x,y -5 x −5 y −5 ) x = y 0.5đ 1 1 1 Khi đó: P = x + x + = x + + ; P= x = y = Vậy Min 2 2 2 1 P= x = y = 2 Câu 12a 3đ a)Về phía ngồi ABC dựng BCE vng cân C Ta có : ADB = ACB + 900 = ACE AD AC AC = = BD BC CE Vậy: ADB ACE (c.g.c) AD AB AD AC = = AC AE AB AE BAD = CAE BAE = CAD Do đó: ABE ADC (c.g.c) 0.5đ A D B 1đ C 1đ E AB AD = hay AB.CD = AD.BE BE DC Trong tam giác vng cân CBE có BE = BC theo giả thiết suy ra: AB.CD = AD.BC = AC.BD AB.CD = Vậy: AC.BD Suy ra: Câu 12b Gọi P trung điểm AM Gọi Q giao điểm AN với CP Ta có: BM BM BN =2 = MN CP MP MA CN Do đó: QCN = MNB = ANC QN = QC 0.25đ 0.5đ 0.25đ B 0.5đ M N P 2đ 0.5đ Q A C Mặt khác ta có PM = PA PQ // MN suy QA = QN nên QC = QN = QA 0.5đ Vậy tam giác ACN vng C Do tam giác ABC vuông C 0.5đ - HẾT - ... GD&ĐT THỊ XÃ KỲ ANH TRƯỜNG THCS SƠNG TRÍ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018 Mơn: TỐN - Phần thi: CÁ NHÂN Hướng dẫn chấm Lưu ý: - Từ câu đến câu 10 thí sinh cần ghi kết quả, khơng... : ADB = ACB + 90 0 = ACE AD AC AC = = BD BC CE Vậy: ADB ACE (c.g.c) AD AB AD AC = = AC AE AB AE BAD = CAE BAE = CAD Do đó: ABE ADC (c.g.c) 0.5đ A D B 1đ C 1đ E AB AD = hay AB.CD = AD.BE... 1đ Vì ( x − 2) + x − + 2 x − + x −1 = x − 10 1đ 1đ Suy a6 = a − a5 a4 + a = − 7.37 + 37 = 11 59 Câu 1đ ( x − 2)2 + x − + ( ) ( x−2 −2 + ) x −1 − = + x − 10 = x − 10 = x −1 + + với x