Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 209 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
209
Dung lượng
4,92 MB
Nội dung
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC BÀI TOÁN THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM 2022 (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng năm 2022 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Chuyên đề Căn thức tốn liên quan • • Câu Sản 40 đề nhóm zalo thực hiện: https://zalo.me/g/sidqta089 Các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thành có chuyên đề gồm: Bà Rịa – Vũng Tàu ; Bắc Giang ; Bắc Kạn ; Bạc Liêu ; Bắc Ninh ; Bình Định ; Bình Dương ; Bình Phước ; Cao Bằng ; Đà Nẵng ; Điện Biên ; Gia Lai ; Hà Nam ; Hà Nội ; Hải Dương ; Hịa Bình ; Hưng n ; Kon Tum ; Lai Châu ; Lạng Sơn ; Lào Cai ; Long An ; Nam Định ; Nghệ An ; Phú Thọ ; Phú Yên ; Quảng Bình ; Quảng Nam ; Quảng Ngãi ; Quảng Ninh ; Sóc Trăng ; Sơn La ; Tây Ninh ; Thanh Hóa ; Thừa Thiên Huế ; Tiền Giang ; TP Hồ Chí Minh ; Tuyên Quang ; Vĩnh Long ; Yên Bái (hsg Bà Rịa – Vũng Tàu 2021-2022) a a +a−2 − ; với a > 0, a ≠ 1) Rút gọn biểu thức P = : a −1 a +1 a a − a 2) Tính giá trị biểu thức Q = a + b3 với a = + 50 , b = − 50 Lời giải a a +a−2 1 P = − với a > 0; a ≠ : a −1 a +1 a a − a ( a − 1)(a + a + 2) = − : a + a( a − 1) ( a − 1)( a + 1) a + a + −1 = ⋅ a a +1 ( ) a −1 = ( a + 1) ⋅ a( a − 1) = a( a − 1)( a + 1) = a(a − 1) a +1 a = + 50 ; b = − 50 Ta có a + b3 = (7 + 50) + (7 − 50) = 14 ab = (7 + 50)(7 − 50) = 49 − 50 = −1 Đặt x = a + b x3 = a + b3 + 3ab ( a + b ) x3 = 14 − x x3 + 3x − 14 = ⇔ x − x + x + = )( ( ) Mà x + x + = x + + > Suy x = ( ) Do a + b = (a + b) − a b = 22 − 2(−1) = 84 = ( a + b )( a + b3 ) = a5 + b5 + a 3b + a 2b3 84 = Q + a 2b2 (a + b) = Q + b (a + b) = Q + Q = 82 1) Giải phương trình x − x + = x − Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Lời giải x − x + = x − , điều kiện x ≥ ⇔ (2 x − 5)2 + = x − Đặt u = x − u ( ) Ta có phương trình u + = 4u ⇔ u − 2u + + 2u − 4u + = ⇔ u − + 2(u − 1)2 = ⇔ (u − 1)2 (u + 1)2 + = ( ) ( ) Mà (u + 1)2 + > , ta u = x − = ⇔ x = ( thỏa mãn) Vậy S = {} Câu (hsg Bình Dương 2021-2022) Chứng minh rằng: A = + biểu thức: B = + 1 1 + = 1+ − với a > Áp dụng để tính giá trị 2 a ( a + 1) a a +1 1 1 1 + + + + + + + + 2 99 1002 Tính giá trị biểu thức C = ( x 2022 − x 2021 + 11x 2020 ) + ( y 2022 − y 2021 + 11y 2020 ) biết x = + y = − Lời giải Với a > , ta có: 1 1 1 1 + 1 − − 1 + − = 1+ + = 1+ + a ( a + 1) a + a (a + 1) a ( a + 1) a a +1 a Suy + Áp dụng: 1 1 + = 1+ − 2 a ( a + 1) a a +1 B = 1+ 1 1 1 + + + + + + + + 2 99 1002 1 1 1 B = + − + + − + + + − 2 99 100 B = 100 − Ta có: 9999 = 100 100 C = ( x 2022 − x 2021 + 11x 2020 ) + ( y 2022 − y 2021 + 11y 2020 ) C = x 2020 ( x − x + 11) + y 2020 ( y − y + 11) Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Với x = + y = − , ta ( ) ( ) x − x + 11 = + y − y + 11 = − ( ) ( ) − + + 11 = 21 + − 32 − + 11 = − − + 11 = 21 − − 32 + + 11 = Do C=0 Câu (hsg Bình Phước 2021-2022)Cho biểu thức: ( ) x − x + 12 − x − x + − x−9 3− x x +3 P= a Rút gọn biểu thức P b Tìm giá trị x để biểu thức P < Lời giải a ĐK: x ≥ 0; x ≠ Khi ta có ( ) x − x + 12 P= + x−9 ( ) − x 1− x − 3− x x +3 ( ( )( x − 3)( x − x + 12 − − x = ) ( x + 3) x + − 1− x 12 x − x + 12 − 15 − x + x + − x + x = ( x − 3)( x + 3) x ( x + 3) x = = ( x − 3)( x + 3) x − = )( x −3 ) x+3 x ( x −3 )( x +3 ) b Để P < x thỏa mãn ĐK x ≥ 0; x ≠ x x ≠ ta có: x P = − x x -1 P= 4 x ( ( )( x + 1)( x -1 P= 4 x x -1 P= 4 x P= x -1 ( ) x+ x −2 x+3 x +2 − x+3 x +2 x+ x −2 ( ( ) ( x + 2) - ( x +1) ( x + 2) ( x -1) ( x + ) ( x -1) ( x + ) x + ) ( 2 ) ( x -1 - x +1 ) ( x -1) ( x + ) ( )( ) x + x - x +1- x - x -1 ( ( x -1) ( x + ) -4 x ) 1- x x 1- x x b) Với x > x ≠ ta có: P + x = ( )( ⇔ x − 19 x + = ⇔ x − Câu ) x + 2) x +1 x -1 Vậy với x > x ≠ P = Vậy x = x +2 )( x -1)( x +2 x ) -( x + 2) ( x -1 x -1 P= 4 x P= 19 1− x 19 ⇔ 3-3x +9x =19 x ⇔ +3 x = 3 x 6 x -1 = x= x −3 = ⇔ ⇔ 36 (thỏa mãn ĐK) x - = x = ) ; x = giá trị cần tìm 36 (hsg Bắc Kạn 2021-2022) Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh 1) Cho biểu thức A = TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 3a + 9a − a +1 a −2 với a ≥ 0; a ≠ − − a+ a −2 a +2 a −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất giá trị a để A > 2) Tính giá trị biểu thức B = 7+ + 7− + 11 Lời giải 1) a) Với a ≥ 0;a ≠ Ta có A= = = ( ( a − 1)( a + 2) ( 3a + a − )( a − 1)( a +1 − 3a + a − − (a − 1) − (a − 4) ( ( ( )( a −1 )( a − 1)( a +1 b) A > ⇔ a +2 )= a + 2) a +2 ) ) +( a + 2) ( a −1 = )( a − 1)( a −2 ) a + 2) a +2 a+3 a +2 ( )( a −1 a +2 ) a +1 a −1 a +1 − a +3 >2⇔ >0 a −1 a −1 − a + > a − > 1 < a < ⇔ ⇔ ⇔1< a < ∅ − a + < a − < Kết hợp điều kiện ta < a < thỏa mãn 2) B = B2 = = 7+ + − 7+2 11 7+ 5+7− +2 ( + )( − ) + 11 14 + 44 =2 + 11 Vì B > nên B = Câu (hsg Bắc Ninh 2021-2022) Rút gọn biểu thức P = x−2 x x +1 + 2x − x + + , với x x −1 x x + x + x x2 − x x > 0, x ≠ Lời giải Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Ta có x−2 x P= ( )( ) x −1 x + x +1 ( x +1 + ( ) x x + x +1 + 2x − x + ) ( x − )( x + 1) + + x − ( x − )( x + x + 1) x x−2 x + = = Câu ( ( x )( ) x −1 x + x + ( x x+ x −2 x = ( ) )( ) x −1 x + x + )( x + ) = x + ( x − )( x + x + 1) x + x + x −1 (hsg Cao Bằng 2021-2022)Cho biểu thức: x x + x +2 x + : − + A = 1− x + 1 x − x − x − x + Rút gọn biểu thức A Tìm x để biểu thức A có giá trị 0,5 Lời giải ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4, x ≠ x x + x +2 x + : A = 1− − + x + 1 x − x − x − x + x + 1− x x + x +2 : = − + x + x − x −3 = : x +1 = : x +1 = : x +1 = 1 : x +1 x − = x −2 x +1 Vậy A = ( ( )( x − 2)( )−( x − 3) ( x +3 x −3 x −9 ( )( − ) ( x −2 x −3 x − x +2 ( )( x −2 )( x − 2)( x +2 )+ x − 3) ( x −2 x−4 )( x −2 ) + ) ( x −3 x − x +2 )( x −2 ) x − x +2 )( x −2 ) x −3 ( )( x −2 ) x −3 x −2 với x ≥ 0; x ≠ 4, x ≠ x +1 Với x ≥ 0; x ≠ 4, x ≠ ta có A = 0,5 Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 x −2 = 0,5 x +1 ⇔ ⇔ x − = 0, ( ) x +1 ⇔ x − = 0, x + 0,5 ⇔ 0,5 x = 2,5 ⇔ x =5 ⇔ x = 25 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy A = 0,5 x = 25 Câu (hsg Gia A = (x + 1) + x − Lai (x − 1) 2021-2022)Rút g ọn biểu thức + x 4x + + 4x + Lời giải (x + 1) A1 = + x2 − (x − 1) + x = 2x + 2x + − 2x − 2x + A2 = 4x + + 4x + = 4x + + 4x + 4x + − 4x 2 ( ) = 4x + + 2x + − (2x ) = 2x + 2x + + 2 )( ) + 2x + 2x − 2x + + 2x − 2x + ( = (2x 2x + 2x + + 2x − 2x + ⇒ A = A1.A2 = ( ) = 2x + 2x + + 2x − 2x + 2x + 2x + − 2x − 2x + )( 2x + 2x + + 2x − 2x + ) = 2x + 2x + − 2x + 2x − = 4x + − x2 ( + x ) − Câu 10 (hsg Hà Nam 2021-2022) Xét biểu thức Q = + − x2 kiện x để Q xác định rút gọn Q (2 − x) Tìm điều Lời giải 4 − x ≥ x2 ≤ Điều kiện xác định: 2 + x ≥ ⇔ x ≥ −2 −2 ≤ x ≤ 2 − x ≥ x ≤ + − x2 P= = ( + − x2 )( + x − − x + − x2 ) + − x2 ( 2+ x − 2− x ) Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh = = = x = x 2 ( ( ) ( 2+ x + 2− x 2+ x + 2− x )( TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 2+ x − 2− x 2+ x − 2− x ) ) x +4 x +5 Câu 11 (hsg Hịa Bình 2021-2022)Cho biểu thức A = + : 1 − (với x − x + x−4 x ≥ 0, x ≠ ) Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên ≥ ( x − 1) A Tìm x cho Lời giải A= = = x +4 ( x −2 )( x +2 x +6 ( x −2 )( + ) ( : x + 2− x −5 x +2 x + x +2 x −2 )( ) x +2 x + − x −3 ) 2− x A = số nguyên − x ∈ U ( ) = {±1; ±2} 2− x ( ) Vậy x ∈ {0;1;9;16} 2− x x −2 ≥0⇔ ≥0⇔ ≤0 ( x − 1) x −1 ( x − 1) A x − ≥ x ≥ (KTM) x − < x < ⇔ ⇔ ⇔1< x ≤ x ≤ x − ≤ x − > x > Kết hợp với điều kiện cho, ta được: < x < Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Câu 12 (hsg Hưng Yên 2021-2022) Cho hai biểu thức A = x −2 , B= x +1 x +3 x −3 36 − − x −3 x +3 x −9 với x ≥ 0, x ≠ Tìm x để A = B Lời giải x +3 x − 36 B= − − = x −3 x +3 x −9 = 12 x − 36 ( x −3 )( A = B x +3 ) ( x +3 )( ) ( x − 3)( ( x − 3)( x + 3) x −3 − ) x + − 36 12 x +3 = 12 x −2 = 12 x + = x + x +1 ( ) ( )( x +3 x −2 ) 7x − x − 18 = ( )( ) x − x + = x − = ( x + ≠ ) x = x = ( TMĐK) Câu 13 (hsg Hải Dương 2021-2022)Cho a , b , c số thực dương thỏa mãn a + b + c = a b c 10 + + = a+5 b+5 c+5 ( a + 5)(b + 5)(c + 5) a + b + c = Chứng minh rằng: Lời giải Từ giả thiết ta có: ( a+ b+ c ) = 16 ab + bc + ca = Suy a + = a + ab + bc + ca = ( a+ b )( a+ c ) Tương tự ta có: ( ca = ( )( a )( ) b) • b + = b + ab + bc + ca = b+ c b+ a • c + = c + ab + bc + c+ c+ Do đó: a b c a b c + + = + + a + b + c + ( a + b )( a + c ) ( b + c )( b + a ) ( c + a )( c + b ) = Vậy a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) 2( ab + bc + ca ) 10 = = ( a + b )( b + c )( c + a ) ( a + 5)(b + 5)(c + 5) ( a + 5)(b + 5)(c + 5) a b c 10 + + = a+5 b+5 c+5 ( a + 5)(b + 5)(c + 5) Câu 14 (hsg Kon Tum 2021-2022)Khơng dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức P = + − 29 − 12 Lời giải Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Chứng minh rằng: S AGMI + SBDMK + SCEMH ≤ S ABC ( S diện tích) Lời giải Ta có tam giác ABC ,GDM , MKH , IME đồng dạng Gọi S , S1, S2 , S diện tích tam giác ABC ,GDM , MKH , IME S1 + S + S Ta có = S1 S S DM + KH + ME = =1 BC S2 + S S3 + S DM KH ME + + BC BC BC = ⇒ S1 + S + S = S Ta có ( ) +( S +S )≥( S + S1 − S (S1 + S 2 ) + ( S − S ) ≥ khai triển ta + S ) ⇒ S +S +S ≥ S − S3 S2 3 Vậy S AGMI + SBDMK + SCEMH ≤ S ABC Câu 48 (hsg Hà Nam 2021-2022)Cho tam giác nhọn ABC tiếp đường tròn ( I ) Đường thẳng AI ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn ( O ) , ngoại cắt ( O ) điểm thứ hai M Đường tròn ( I ) tiếp xúc với hai cạnh BC , CA hai điểm D E Gọi T giao điểm hai đường thẳng BI DE Chứng minh MB = MC = MI Chứng minh tứ giác AITE nội tiếp đường tròn Kẻ đường kính AP ( O ) đường cao AH tam giác ABC Đường thẳng MP cắt hai đường thẳng AH , BC hai điểm N , K Chứng minh MI = MN MK Đường thẳng PI cắt ( O ) điểm thứ hai Q , hai đường thẳng AQ BC cắt điểm S Chứng minh chu vi tam giác ABC 3BC I trọng tâm tam giác AKS Lời giải Chứng minh MB = MC = MI Ta có AM phân giác BAC BAM = CAM sñ BM = sñCM MB = MC (1) Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 60 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 MBC = MAC ( = sñ MC ) MBC = MAB Lại có BI phân giác góc ABC ABI = IBC MBI = MBC + CBI = MAB + ABI Mà MIB = MAB + ABI (tính chất góc ngồi tam giác) MBI = MIB ∆MBI cân M MB = MI ( 2) Từ (1) ( ) suy MB = MC = MI (đpcm) Chứng minh tứ giác AITE nội tiếp đường trịn Ta có CD CE hai tiếp tuyến ( I ) ∆CDE cân C CDE = CED = 180° − ACB ( ) Trong ∆TBD , có TBC + BTD = EDC (tính chất góc ngồi tam giác) Mà BI phân giác ABC TBC = ABC 1 1 180° − ACB = ABC + BTD BTD = 180° − ACB + ABC = BAC = IAE 2 2 ( ) ( ) Mà BTD + ITE = 180° EAI + ITE = 180° Vậy tứ giác AITE nội tiếp đường tròn Kẻ đường kính AP ( O ) đường cao AH tam giác ABC Đường thẳng MP cắt hai đường thẳng AH , BC hai điểm N , K Chứng minh MI = MN MK Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 61 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Ta có AP đường kính ( O ) PAC + APC = 90° Mà APC = ABC ( = sñ AC ) PAC + ABC = 90° Lại có BAH + ABC = 90° PAC = BAH Vì AI phân giác BAC NAM = PAM Mặt khác AM ⊥ NP ∆ANP cân A MN = MP ( 3) Gọi AI cắt BC L Ta có MCL = MAC ( = MAB ) ∆MCL ∼ ∆MAC (g-g) MC = MA.ML ( ) 1 Ta có MKB = sđ BM − CP = sđ MP = MAP 2 ( ) ∆MAP ∼ ∆MKL (g-g) MA.ML = MP.MK ( 5) Từ ( 3) , ( ) ( ) MC = MN MK , mà MC = MI Vậy MI = MN MK (đpcm) Đường thẳng PI cắt ( O ) điểm thứ hai Q , hai đường thẳng AQ BC cắt điểm S Chứng minh chu vi tam giác ABC 3BC I trọng tâm tam giác AKS ∆INK , có IM ⊥ NK MI = MN MK (chứng minh trên) NIK = 90° Lại có AH ⊥ BC NHK = 90° Suy tứ giác NHIK nội tiếp IHK = INK Mà INK = IPM QAM = QPM ( = sñQM ) IHK = QAM , mặt khác IHK + IHS = 180° QAM + IHS = 180° AIHS tứ giác nội tiếp AIS = AHS = 90° Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 62 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Gọi U trung điểm AS ∆AUI cân U UAI = AIU Ta lại có INK = MIK (cùng phụ với IKN ) AIU = MIK nên ba điểm U , I , K thẳng hàng hay điểm I ∈ UK BI phân giác ABL IA AB = IL LB AL phân giác BAC LB AB LB AB AB = = = LC AC BC AB + AC BC (Vì AB + AC + BC = 3BC AB + AC = BC ) LB = IA AB = 2 IL Áp dụng hệ định lý Thales, tam giác ASL với cát tuyến UIK Ta có UA KS IL = KS = KL hay L trung điểm SK US KL IA Vậy I trọng tâm tam giác AKS (đpcm) Câu 49 (hsg Hịa Bình 2021-2022)Cho đường tròn ( O, R ) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn, kẻ tiếp tuyến MA , MB đến ( O ) ( A, B tiếp điểm) Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn ( O ) E ( E khác A ) Đường thẳng ME cắt đường tròn ( O ) F ( F khác E ) Đường thẳng AF cắt MO N Gọi H giao điểm MO AB Chứng minh MN = NA.NF Chứng minh HFN = 90° MN = NH Chứng minh HB EF − = HF MF Lời giải Xét ∆ANM ∆MNF , có: + Góc N chung (1) + Trong đường trịn ( O ) : MAN = AEF = sñ AF ; Lại có AE // MO nên FMN = AEF (so le trong) Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 63 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Suy MAN = FMN (2) Từ (1) (2) suy ra: ∆ANM ∼ ∆MNF ( g.g ) Suy AN MN = MN = NA.NF MN NF Ta có AE // MO Mà MO ⊥ AB nên AE ⊥ AB Suy BE đường kính ( O ) + Chứng minh tứ giác MFHB nội tiếp ( MFB = MHB = 900 ) Suy HFE = HBM (góc ngồi đỉnh F góc đỉnh đối diện) (3) + AFE = ABE = sñ AE (4) Từ (3) (4) suy HFA = 900 Áp dụng hệ thức lượng tam giác AHN vuông H , đường cao HF , ta có NH = NA.NF (5) Mà MN = NA.NF ( chứng minh phần 1) Vậy NH = NM Ta có HA = HB (Vì MA, MB tiếp tuyến ( O ) ) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng AHN , ta có: HB = HA2 = AF AN HF = FA.FN HB AN FA Suy = = 1+ (6) HF FN FN Lại có AE // MN FE FA = (7) FM FN Từ (6) (7) suy HB FE − = HF FM Câu 50 (hsg Hưng Yên 2021-2022)Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh CD ( E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vuông góc với AE A cắt đường thẳng CD K Chứng minh rằng: cosAKE = sin EKF.cosEFK + sin EFK.cosEKF Lời giải Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 64 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 A K B E D H C F Kẻ đường cao EH ∆KEF 1 KE.FC = KE.EF.cosEFC = KE.EF.cos AKE ( Vì EFC = AKE ) 2 1 Lại có SKEF = EH.KF = EH.( KH + HF ) 2 EH.KH + EH.HF Suy KE.EF.cos AKE = eh.( KH + HF ) cos AKE = KE.EF EH KH EH HF => cos AKE = + = sin EFK.cos EKF + sin EKF.cos EFK EF EK KE EF Ta có SKEF = Câu 51 (hsg Nam Định 2021-2022)Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC ), có AH đường cao Lấy D điểm thuộc miền tam giác AHC cho AH qua trung điểm BD Gọi E , F theo thứ tự giao điểm AH với đường thẳng CD BD Qua E kẻ đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đường kính CD điểm M ( A M thuộc nửa mặt phẳng có bờ CD ) Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳng BD với đường trịn đường kính CD Chứng minh rằng: 1) Tứ giác ABCN nội tiếp đường tròn ANB + CAH = 900 2) Tam giác EMD đồng dạng với tam giác ECM MD.AB = MC ED.BF BN EC 3) Ba điểm A, M , N thẳng hàng Lời giải 1) 2) Tứ giác ABCN nội tiếp đường tròn ANB + CAH = 900 Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 65 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Theo giả thiết ta có BAC = BNC = 900 Suy A N nhìn BC góc vng nên A, B,C , N thuộc đường trịn đường kính BC hay tứ giác ABCN nội tiếp đường tròn Do ACB, ANB hai góc nội tiếp chắn cung AB đường trịn đường kính BC nên ACH = ACB = ANB (1) Trong tam giác vuông AHC (vuông H ) có ACH + CAH = 900 Nên từ (1) ta ANB + CAH = 900 3) Tam giác EMD đồng dạng với tam giác ECM MD.AB = MC ED.BF BN EC Xét hai tam giác EMD ECM có góc CEM chung (2) Hơn EMD = ECM (vì sđ MD đường trịn đường kính CD ) (3) Nên từ (2) (3) ta có ∆EMD ∽ ∆ECM Do EM ED MD MD ED = = ⇒ = (4) EC EM CM EC MC BNC Xét hai tam giác BHF ∆BHF ∽ ∆BNC có CBN chung BHF = BNC = 900 nên Từ suy BH BC = BF BN với tam giác ABC vng A có đường cao AH ⇒ AB = BH BC = BF BN (5) Nhân vế (4) (5) ta MD AB ED.BF BN MD.AB = ⇔ = EC MC MC ED.BF BN EC 4) Ba điểm A, M , N thẳng hàng Trong tam giác ABC vuông A có đường cao AH ⇒ AC = CH BC nên kết hợp với (5) AB BH BC HB = = ta (6) CH BC HC AC Gọi K giao điểm thứ hai BC đường trịn đường kính CD ⇒ AH / /DK (cùng vng góc với BC ) Kết hợp với giả thiết FB = FD suy HB = HK (7) Từ (6) (7) suy Ta AB AC = AB AC = HK HK ED với = (do AH / /DK ) HC HC EC ED (8) EC Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 66 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 AB AB MD MD = ⇔ = Từ (4) (8) ta 2 AC MC AC MC Kết hợp với BAC = DMC = 900 ⇒ ∆ACB ∽ ∆MCD ⇒ BCA = DCM = ECM Hay ECM = BNA (do (1)) (9) Mặt khác ECM = BNM (cùng sđ MD đường trịn đường kính CD ) nên từ (9) ta BNA = BNM hay ba điểm A, M , N thẳng hàng Câu 52 (hsg Tây Ninh 2021-2022) Cho tam giác ABC vng A có trọng tâm G BD đường phân giác góc ABC ( D thuộc cạnh AC ) Biết GDC = 900 Tính ABC Lời giải Hình vẽ Đặt M trung điểm BC E trung điểm AG Do ED = AG nên ∆EAD cân E , suy EDA = EAD (1) Do AM = BC nên ∆MAC cân M , suy MAC = MCA (2) Từ (1) (2) suy EDA = MCA Khi ED //MC Do tính chất phân giác, ta có DA EA = = DC EM AB DA AB = = hay ABC = 600 Suy BC DC BC Câu 53 (hsg Đà Nẵng 2021-2022)Cho hình vuông ABCD tâm O Lấy điểm E đoạn AB ( E khác B A ), gọi F giao điểm CE DA , đường thẳng DE cắt đường tròn ( O ; OA ) điểm K ( K khác D ) Qua K kẻ tiếp tuyến KH với đường tròn O ; ( O ; OA ) nằm khác phía với AB ( H thuộc D qua FC ) a)Chứng minh tứ giác KHDA hình thang cân b)Chứng minh F , K , H thẳng hàng Lời giải Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 67 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 F K' K A E G B H N O D C a)Gọi G tiếp điểm KH với O ; AB gọi N trung điểm AD ON ⊥ AD Suy OG = ON KH = DA (tính chất khoảng cách từ tâm đến dây) ADH = KHD (các góc nội tiếp chắn cung nhau) Lại có: KAH = AHD (các góc nội tiếp chắn cung nhau) Mà KAH AHD vị trí so le AK // DH Tứ giác KHDA hình thang cân b)Ta có: AD = DC = KH HKD = CDK (các góc nội tiếp chắn cung nhau) HKD + KHC = CDK + KHC = 180° (tứ giác CDKH nội tiếp) Hai góc HKD KHC vị trí phía HC // DK KHCD hình thang cân 1 sđ KB = (sđ KH − sđ BH ) 2 1 HDC = sđ HC = (sđ BC − sđ BH ) 2 Có: KAB = KAB = HDC 1 sđ AD = sđ DC = DHC 2 EK AE FE ∆AEK # ∆DCH ( g g ) = = CH DC FC Mặt khác: AKD = (1) Giả sử DE cắt HF K ′ Khi theo định lý Thalès ta có: EK ′ FE = CH FC ( 2) Từ (1) ( ) K ′ ≡ K F , K , H thẳng hàng Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 68 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Câu 54 (hsg Hưng Yên 2021-2022)Cho ∆ABC không tam giác cân, ngoại tiếp đường tròn ( I;R ) Gọi H, K, N tiếp điểm đường tròn ( I;R ) với cạnh BC, AC, AB Đường thẳng AH cắt đường tròn ( I;R ) P ( P không trùng với H), Gọi Q trung điểm KN Trên tia đối tia IA lấy điểm M cho IM > R Từ điểm M kẻ tiếp tuyến MD, MJ với đường tròn ( I;R ) Qua điểm I, vẽ đường thẳng vng góc với đoạn thẳng IM cắt tia MD, MJ theo thứ tự hai điểm E F a)Chứng minh tứ giác PQIH nội tiếp b)Tìm vị trí điểm M cho diện tích ∆MEF nhỏ Lời giải A P K Q N I B C H a), Nối P với N, H với N Xét ∆APN ∆ANH có: ANP = AHN ( AN tiếp tuyến) NAH góc chung AP AN = AP.AH = AN (1) AN AH Theo giả thiết AN ⊥ NI nên ∆ ANI vng N, Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có A, I, Q thẳng hàng NQ ⊥ AI Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ∆ ANI ta có => ∆APN ∽ ∆ANH ( g − g ) => AN2 = AQ.AI (2) Từ (1) (2) ta có AP.AH = AQ.AI AP AI = AQ AH Xét ∆APQ ∆AHI có: AP AI = AQ AH HAI góc chung => ∆APQ ∽ ∆AIH ( c − g − c ) => AQP = AHI Suy tứ giác PQIH nội tiếp Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 69 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 A P K Q E N I F D J B C H M b), Vì ∆IME vng I đường cao ID nên DM.DE = ID = R ( khơng đổi) Lại có ME = MD + DE ≥ MD.DE = R = 2R ( BĐT Cauchy)(1) Dấu “ = “ xảy DM = DE ∆IME tam giác vuông cân IM = ID = R 2 Mặt khác SMEF = 2.SMIE = ID.ME = ID.ME = R.ME ≥ 2R ( theo (1)) Vậy IM = R diện tích ∆MEF nhỏ Câu 55 (hsg Tây Ninh 2021-2022)Cho hình vng ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB BC, E giao điểm CM DN Chứng minh tam giác AED cân Lời giải Hình vẽ Đặt P trung điểm CD, H giao điểm AP DN Ta có: tứ giác APCM hình bình hành (vì AM = CP AM //CP ) nên PH //CE Suy PH đường trung bình tam giác CDE hay H trung điểm DE Do AH đường trung tuyến tam giác AED (3) Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 70 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Ta lại có: PAD = NDC (vì ∆PAD = ∆NDC ) Mà PAD + APD = 900 Suy NDC + APD = 900 hay AH ⊥ DE (4) Từ (3) (4) suy ∆AED có AH vừa trung tuyến vừa đường cao nên ∆AED cân H Câu 56 (hsg Tiền Giang 2021-2022)Cho hình thoi ABCD có AB = AC = a Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt BD E khác B AE cắt CD M c)Chứng minh DA, DC tiếp tuyến ( O ) tính CM theo a d)Từ M vẽ tiếp tuyến MF đến ( O ) ( F thuộc ( O ) F khác C ) DF cắt ( O ) K Chứng minh C , O, K thẳng hàng tính DF EF cắt AD G CF cắt AE H Chứng minh tứ giác AGFH nội tiếp đường tròn GH ⊥ BD Lời giải A K G F H B D E O M C a) COA = 2CAB = 2.45° = 90° (cùng chắn AC ) Do ABCD hình thoi AB = AC nên hai tam giác ABC ACD Suy DCA = ABC = 600 DAC = ABC = 600 Do DA, DC tiếp tuyến ( O ) Ta có ∆ABC nội tiếp ( O ) có BE đường kính nên E điểm cung AC Suy CAE = DAE (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung nhau)Suy AE tia phân giác CAD Do ∆ACD nên AE ⊥ CD hay AM ⊥ CD M trung điểm CD 1 Vậy CM = CD = 2a = a 2 Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 71 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 b) Ta có M giao điểm tiếp tuyến nên MF = MC Xét tam giác CFD có M trung điểm CD nên MF = MC = MD Suy CFD vuông F hay CFD = 900 Lại có CFK = 900 góc nội tiếp nên CK đường kính ( O ) Suy C , O, K thẳng hàng Ta có ∆ABC có cạnh 2a nên có bán kính đường trịn ngoại tiếp R = Suy CK = 2 a 2a = 3 4a 3 4a 2a 21 Xét ∆DCK vng C có DK = DC + CK = ( 2a ) + = 2 Ta có DFK cát tuyến ( O ) DC tiếp tuyến ( O ) nên DF DK = DC Suy DF = 4a 2a 21 DC = = DK 2a 21 c) Xét tứ giác AGFH có GAH = DAE = sd AE (góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung AE ) HFE = CFE = sdCE (góc nội tiếp chắn cung CE ) Mà E lả điểm cung AC nên GAH = HFE Suy tứ giác AGFH nội tiếp (góc ngồi góc khơng kề với nó) Do AGFH nội tiếp nên GHF = GAF Mà GAF = ACF (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung) Suy GHF = ACF (2 góc đồng vị) Suy GH / / AC mà AC ⊥ BD nên GH ⊥ BD Câu 57 (hsg Tây Ninh 2021-2022) Cho điểm A nằm đường tròn (T ) , tâm O Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB, AC với (T ) ( B C tiếp điểm) Gọi M trung điểm AB, CM cắt (T ) điểm D ( D khác C ) Tính CD.CM BC Lời giải Hình vẽ Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 72 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 Đặt E điểm đối xứng C qua M Do ACE = BEC ( BCAE hình bình hành) ACE = CBD (cùng chắn cung CD ) Suy CBD = BEC hay ∆CBD đồng dạng ∆CEB BC CD CD.CM = BC = CD.CE BC = 2CD.CM = EC CB BC 2 Câu 58 (hsg Tây Ninh 2021-2022)Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có trọng tâm G có diện tích 2022 Xét đường thẳng d thay đổi qua điểm G cắt cạnh AB, AC tam giác ABC D E Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích tam giác BDE CDE Lời giải Hình vẽ Đặt M trung điểm BC Kẻ BI , CK song song với d ( I , K thuộc AM ) Kẻ BP, AH , MT , CQ vng góc với d ( P, H , T , Q thuộc d ); dt: diện tích Ta có: ∆MIB = ∆MKC nên MI = MK Ta lại có: AB AC AI AK AM − IM + AM + MK AM + = + = = =3 AD AE AG AG AG AG Khi đó: dt ∆BDE + dt ∆CDE = Suy 1 DE ( BP + CQ ) = DE.MT = DE AH = dt ∆ADE 2 dt ∆BDE + dt ∆CDE AD AE = dt ∆ABC AB AC Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 73 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021-2022 AD AE AB AC AB AC = Mà ≤ + = , đẳng thức xảy AB AC AD AE AD AE Suy dt ∆BDE + dt ∆CDE 2696 ≥ ⇔ dt ∆BDE + dt ∆CDE ≥ dt ∆ABC Hay dt ∆BDE + dt ∆CDE = 2696 AD AE = hay d //BC AB AC Vây giá trị nhỏ tổng diện tích tam giác BDE CDE Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ 2696 Trang 74 ... tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021- 2022 Chuyên đề Căn thức tốn liên quan • • Câu Sản 40 đề nhóm zalo thực hiện: https://zalo.me/g/sidqta0 89 Các đề thi học sinh. .. https://vungocthanh 198 4.blogspot.com/ Trang 20 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021- 2022 Chuyên đề • • Câu Hàm số Sản 40 đề nhóm zalo thực hiện:... https://vungocthanh 198 4.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 40 đề hsg cấp tỉnh TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – 2021- 2022 Chuyên đề • • Câu Phương trình Sản 40 đề nhóm zalo thực hiện: