Một vài phương pháp tìm GTLN, GTNN áp dụng trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS đông thịnh

MỤC LỤC Nội dung: Mở đầu…………………………………………………………….… Trang 1.1 Lý chọn đề tài………………………………………………… Trang 1,2 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………… Trang 1.3 Đối tượng nghiên cứu……………………………………………… Trang 1.4 Phương pháp nghiên cứu… ………………………………………Trang 2,3 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm….………………………………… Trang 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm …………………………Trang 3,4 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……Trang 4,5 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề ………… ……………………………………… Trang - 16 2.4 Hiệu sáng SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường…… ………………………Trang 16,17 Kết luận kiến nghị……………………………………………Trang 17,18 - Kết luận .Trang 17,18 - Kiến nghị……………………………………………… Trang 18 Tài liệu tham khảo.………………………………………………… Trang 19 1.Mở đầu 1.1.Lý chọn đề tài Việc đổi phương pháp dạy học trường phổ thông nhằm đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng yêu cầu xã hội thời kỳ hội nhập quốc tế, đòi hỏi người giáo viên phải trọng đến việc thiết kế hướng dẫn học sinh thực dạng tập phát triển tư rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến khích, tạo hội điều kiện cho học sinh tham gia cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào trình khám phá lĩnh hội nội dung học, ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm kĩ có học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động thái độ tự tin học tập học sinh, góp phần phát triển tối đa tiềm thân Trong dạng tốn tìm GTNN GTLN vấn đề ngành toán học nhằm giúp em HS THCS có khả tư lập luận em có khả áp dụng vào sống có ứng dụng nhiều ngành khoa học khác Các toán cực trị phong phú đa dạng, tương đối khó học sinh THCS Để giải toán cực trị học sinh phải biến đổi tương đương biểu thức đại số, phải sử dụng nhiều đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp phải tổng hợp kiến thức kỹ tính tốn, tư sáng tạo Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn trường THCS Tơi nhận thấy, phát bồi dưỡng nhân tài vấn đề quan trọng dạy học, môn khoa học tự nhiên đặc biệt mơn Tốn Nhằm phát huy lực tư học sinh q trình giải tốn phát học sinh có lực tốn Ai thấy rằng: học thuộc học hồn tồn khơng đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức rèn luyện kĩ việc giải toán Chuẩn bị cho việc vận dụng kiến thức tốn vào thực tiễn cơng tác sau Số tốn nhiều khơng kể xiết, mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, cần rèn luyện óc phân tích tốn nắm vững tính đặc thù dạng Vậy làm để học sinh định hướng hướng đi, hay hình thành ''phương pháp giải'' gặp toán cực trị đại số Cụ thể cách tìm GTLN, GTNN? Với thực tế yêu cầu chung đó, việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng giáo viên cần thiết Trong tài liệu xin giới thiệu đề tài: “Một vài phương pháp tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn trường THCS Đơng Thịnh” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Khi viết sáng kiến kinh nghiệm cố gắng hệ thống, xây dựng cô đọng đầy đủ phương pháp giải, phát triển toán nhằm phát triển tư học sinh - Ứng dụng kết toán vào giải số toán thực tế khác - Rèn luyện cho học sinh khả tư duy, phân tích toán, tránh sai lầm, ngộ nhận suy luận logic, phát bồi dưỡng học sinh có khiếu toán - Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, thường có tốn tìm cực trị đại số nên tài liệu cho giáo viên tham khảo giúp ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi - Đáp ứng nhu cầu học hỏi tìm hiểu học sinh làm cho em u thích mơn tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp giải toán tìm GTLN, GTNN chương trình tốn THCS - Nghiên cứu tài liệu có liên quan - Giáo viên dạy toán THCS học sinh THCS đặc biệt học sinh khối 7,8, 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết - Đọc tài liệu có liên quan - Tạp chí tốn tuổi thơ - Phương pháp dạy học mơn tốn ; - Sách giáo khoa - Sách giáo viên - Sách tham khảo 1.4.2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Điều tra nắm tình hình dạy giáo viên nhà trường - Điều tra mức độ tiếp thu vận dụng đề tài “Một vài phương pháp tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn trường THCS Đơng Thịnh” học sinh - Chất lượng học sinh trước sau thực 1.4.3 Phương pháp phân tích Phân tích yêu cầu, kĩ giải tập 1.4.4 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Rút học cho thân đồng nghiệp để dạy tốt trình dạy học Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Trong năm gần đây, kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT đặc biệt thi vào trường THPT chuyên thường gặp toán yêu cầu tìm GTNN, GTLN đại lượng Các toán gọi chung toán cực trị Các toán cực trị phong phú đa dạng, mang nội dung vô sâu sắc việc giáo dục tư tưởng qua mơn tốn Đi tìm tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài tốn Để hình thành cho học sinh thói quen tìm giải pháp tối ưu cho cơng việc sống sau Các toán cực trị Đại số bậc THCS có ý nghĩa quan trọng em học sinh Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải cách giải thông minh, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức tốn học bậc học để giải loại toán Các toán cực trị đại số bậc THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện tư cho học sinh Việc hướng dẫn học sinh nắm phương pháp giải toán cực trị vấn đề quan trọng Để từ phát triển tư duy, kích thích khả học mơn tốn em học sinh khá, giỏi 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Hiện thực tế việc dạy giáo viên việc học học sinh trường phần kiến thức có nhiều vấn đề cần quan tâm Đó sách giáo khoa toán 8; toán đưa phần nhỏ phương pháp giải tốn Vì ơn tập giáo viên chưa có đủ thời gian để hệ thống phương pháp giải cách lôgic đầy đủ khoa học cho học sinh tài liệu tham khảo cho học sinh GTNN GTLN viết đưa ví dụ tốn liên quan đến nhiều kiến thức mà học sinh trường chưa tiếp cận đến, gặp dạng tốn học sinh trường thường không làm làm giải thích chưa cặn kẽ Thời lượng chương trình dành cho học dạng tốn khơng có mà thơng qua tập 2.2.1 Đối với giáo viên Giáo viên đầu tư thời gian nghiên cứu ít, việc dạy tự chọn phần đơi bỏ qua cho khó với học sinh sách giáo khoa nói đến Vì ơn tập cho học sinh lớp thi học sinh giỏi thi vào phổ thông trung học giáo viên nhặt nhạnh vài thấy dạy dẫn đến học sinh ngơ ngác chẳng hiểu Trong trình lên lớp “GTLN GTNN” khơng đơn giản chút Ngồi phương pháp giảng dạy giáo viên chưa quan tâm rèn kĩ cho HS Dạng tốn tìm GTNN GTLN tốn khó THCS mà năm gần thầy cô quan tâm đến nhiều phương pháp dạng toán cụ thể nhằm rèn luyện khả tư sáng tạo cho học sinh khả làm tốn tìm GTNN GTLN, mà dạng toán thường hay thi HSG thi vào lớp 10 2.2.2 Đối với học sinh - Học sinh thấy phần kiến thức khó nên khơng đầu tư học nhiều - Học sinh chưa biết cách vận dụng tổng hợp kiến thức liên quan học vào vận dụng vào giải toán GTNN GTLN nên gặp loại tốn học sinh bí tắc cách giải - Tài liệu tham khảo cho học chưa đưa phương pháp cụ thể học sinh trung học sơ dễ tiếp cận 2.2.3 Kết khảo sát chất lượng học sinh Cụ thể khảo sát dạy nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh lớp 7,8,9 tìm GTLN, GTNN số em vận dụng kiến thức học vào làm làm tốt đạt 25% , số em biết vận dụng vào làm tập đạt 55% , số em chưa vận dụng kiến thức thành thạo vào làm tập 20% Từ thực trạng để học sinh hiểu vận dụng làm tốt mạnh dạn đưa vào chủ đề tự chọn buổi học bồi dưỡng HS giỏi để giảng dạy phần GTNN GTLN 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số cách đưa dạng A(x) �0 (hoặc A(x) �0) - Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) �k với k số + Chỉ dấu "=" xảy - Để tìm giá trị lớn biểu thức A(x) ta cần: + Chứng minh A(x) �k với k số + Chỉ dấu "=" xảy Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = (x - 1)2 + (x-3)2 Giải A(x) = (x-1)2 + (x-3)2 = x2-2x+1+x2-6x+9 = 2(x2-4x+5) = 2(x-2)2+2 �2 Vì (x-2)2 �0 với  x Vậy Min A(x) = x = Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) =-5x2 - 4x+1 Giải Từ B(x) = -5x2 - 4x+1 ta có B(x) = -5(x2+ x)+1 2 2 �2 � �2 � �2 �� � 2� � � 2� x  x  � � � ��  5 � = 5 � �x  � �  5 �x  � �5 � �5 �� � � 25 � � 5� � � 2 � 2� � 2� Vì �x  ��0 với x �R nên 5 �x  � �0 � 5� � 5� � 2� 9 � B(x)  5 �x  � � � 5� 5 x   5 Max B(x) = 2.3.2 Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số cách đưa dạng A(x) A(x) �0 �0 k k2 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn biểu thức đại số A(x)  3x  6x  10 x  2x  Giải 3x  6x  10 Từ A(x)  x  2x  Ta có A(x) = 3x  6x   3(x  2x  3)  1   3 2 x  2x  x  2x  (x  1)  Vì (x+1)2 �0 với  x nên (x+1)2+2 �2 với  x 1 Do đó: (x  1)  �2 1 Vậy A(x) =  (x  1)2  �3   Max A(x) = (x+1)2 = � x= -1 2x  16x  41 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ B(x) = với x �R x  8x  22 Giải Từ B(x) = 2x  16x  41 2(x  8x  22)  3   2 2 x  8x  22 x  8x  22 (x  4)  Vì (x- 4)2 �0 với x nên (x- 4)2+6 �6 3 �  Nên (x  4)  6 � B(x)   3 �2   2 (x  4)  Min B(x) = (x- 4)2 = � x=4 2.3.3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức đại số cách áp dụng bất đẳng thức CôSi - Bất đẳng thức CôSi cho số Cho a, b không âm, ta có bất đẳng thức ab �2 ab Dấu đẳng thức xảy a=b - Bất đẳng thức CôSi cho n số: Cho n số a1, a2, an khơng âm, ta có bất đẳng thức: a1  a   a n n � a1 , a a n n Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Bài toán: a Chứng minh rằng, hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số b Chứng minh rằng, hai số dương có tổng khơng đổi tích chúng đạt giá trị lớn hai số Giải a Ta cần chứng minh với x>0; y> xy = k (khơng đổi) x+y đạt giá trị nhỏ x=y Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương ta có: �x  y � � � �xy � (x  y) �4xy hay x  y �2 xy � � mà xy=k (khơng đổi) Nên ta có: x+y �2 xy  k (1) Vậy tổng P = x+y lấy giá trị nhỏ x+y = k x = y b Tương tự hai số dương x y có x+y = k (hằng số) k Từ (x+y)2 �4xy � xy � k2 Vậy tích Q = xy lấy giá trị lớn x = y Chúng ta vận dụng kết hai bất đẳng thức để giải tốn cực trị đại số Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn A(x) = (x2 - 3x+1)(21+3x-x2) Giải Các biểu thức x2-3x+1và 21+3x-x2 có tổng khơng đổi (bằng 22) nên tích chúng lớn x2-3x+1 = 21+3x-x2 � x2-3x-10=0 � x1=5; x2 = -2 Khi A = 11.11=121 Vậy Max A = 121 � x = x = -2 Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ B(x) = 16x  4x  với x > 2x Giải Từ B(x) = 1 16x  4x  Ta có B(x) = 8x+2+ Hai số 8x hai số dương, 2x 2x 2x có tích khơng đổi (bằng 4) nên tổng chúng nhỏ 8x = � 16x2 =1 � x = 2x (x>0) 111 6�x Vậy Min B = 2.3.4 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức chứa nhiều biến số Ví dụ 7: Tìm giá trị m p cho: A = m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p +28 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ Giải A = (m2 -4mp + 4p2 ) + (p2 -2p + 1) + 27 + 10m - 20p = (m-2p)2 + (p-1)2 + 27 + 10(m-2p) Đặt X = m-2p Ta có A=X2 + 10X + 27 + (p-1)2 = (X2 + 10X + 25) + (p-1)2 + = (X+5)2 + (p-1)2 + Ta thấy: (X + 5)2 �0 với  m, p; (p-1)2 �0  p Do đó: A đạt giá trị nhỏ khi: X5  X  5 m  2p  5 m  3 � � � � �� hay � �� � p 1  p 1 p 1 � � � p 1 � Vậy Min A=2 m=-3; p=1 Ví dụ 8: Tìm giá trị x, y, z cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + Giải Khi gặp biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu thức cho tổng biểu thức khơng âm Ta có: P(x, y, z) = (9x2 + 36xy + 36y2) + (18y2 - 24yz+8z2) +(8x2 16xy+8z2) + 2x2 + = 9(x+2y)2 + 2(3y - 2z)2 + 8(x-z)2 + 2x2 + Ta thấy: (x+2y)2 �0 với  x, y (3y-2z)2 �0 với  y, z (x-z)2 �0 với  x, z x2 �0 với  x, y Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ hạng tử (x+2y) 2, (3y-2z)2; (x-z)2, x2 đạt giá trị nhỏ lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồng thời 0, nghĩa hệ phương trình sau có nghiệm �x  2y  �x  � 3y  2z  � � � �y  � �x  z  � z0 � � x  � Vậy Min P(x,y,z) = x = 0, y = 0, z = Tổng quát: Khi gặp P = A + B + C + + Với A �k12, B �k22, C �k32, ta kết luận P đạt giá trị nhỏ A, B, C đạt giá trị nhỏ lúc P(min) = k12+k22+k32+ Để tìm biến số tương ứng với P(min) ta giải hệ phương trình: �A  k12 � �B  k � C  k 32 � � � Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 7x  5y  2z  3x  xy  yz  xz  2000  t  t  2005 Trong x;y;z;t số hữu tỉ Giải � 1� Ta có : A = 7x  5y  2z  3x  xy  yz  xz  2000  �t  � 2004 � 2� � 1� Vì  �0  �Q �t  � �0 nên A �2004 � 2� Dấu đẳng thức xảy 7x  5y  � � 2z  3x  � � �xy  yz  zx  2000  � � 1� � �t  �  � � 2� � (1) (2) (3) (4) 10 Từ (1) ta có: y = x Từ (2) ta có: z  x Thay vào (3) ta được: 21 x  x  x  2000  5x  2000 10 x2 = 400 x = � 20 - Với x = 20 ta có y = 28; z = 30 - Với x = -20 ta có y = -28; z = -30 Ngồi ra, từ (4) ta có: t = Vậy giá trị nhỏ A 2004 , đạt (x;y;z;t) = (20;28;30; 1 ); Hoặc (x;y;z;t) = (-20;-28;-30; ) 2 2.3.5 Giải toán cực trị đại số phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki a Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cho 2n số a1, a2 , an; b1, b2, bn ta có: (a1b1 + a2b2+ + anbn) �(a12 + a22 + + an2)(b12 + b22 + + bn2) Dấu xảy khi: a1 a a    n b1 b bn b Các ví dụ Ví dụ 10: Tìm giá trị x, y, z để cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ P = x2 + y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ biết x + y + z = 1995 Giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số: (1, 1, 1); (x, y, z) Ta có: (x.1+y.1+z.1)2 �(12 + 12 + 12) (x2 + y2 + z2) Hay: (x+y+z)2 �3(x2 + y2 + z2) (x  y  z) Từ ta có P = x + y + z � mà x + y + z = 1995 => Ta có: 2 19952 với  x, y, z P = x2 + y2 + z2 � 11 x y z 19952 Pmin =   hay x = y = z 1 Mà x + y + z = 1995 x = y = z = 1995 = 665 Ví dụ 11: Cho x2 + y2 = 52 Tìm giá trị lớn A = 2x  3y Giải Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki cho số (2, 3); (x,y) ta có: (2.x+3.y)2 �(22 + 32)(x2 + y2) (2x+3y)2 �13.52262 2x  3y �26 Max A = 26 Thay y  x y 3x  �y 3x 9x 2 2  52 � x  �4 vào x + y = 52 ta có x + Vậy Max A = 26 x = 4; y = x = - 4; y = - 2.3.6 Phương pháp giải toán cực trị đại số thoả mãn hệ điều kiện Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P (x,y) = 6x + 4y thoả mãn điều kiện: �xy  216 � �x  �y  � Giải Từ P(x,y) = 6x+4y với x>0; y > 6x > 0; 4y > => [P(x,y)]2 = (6x+4y)2 �4.6x.4y=96.xy Vì xy = 216(gt) => [P(x,y)]2 �96.216=20736 P( x,y) �144 � � P( x,y) �144 � Min P(x,y) = 144 x = 12; y = 18 12 Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn A(x,y,z) = xyz (x+y)(y+z)(z+x) Biết x, y, z �0 x + y + z =1 Giải Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho số không âm x, y, z ta có: = x+y+z �3 xyz (1) = (x+y)+(y+z)+(z+x) �3 (x  y)(y  z)(z  x) (2) Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm) �9 � �� Ta có: �9 A  A �� � �2 � Max A = � �khi x = y = z = �9 � 2.3.7 Phương pháp dùng tam thức bậc hai a Đổi biến để đưa tam thức bậc hai biến Ví dụ 14: Tìm giá trị lớn A = x +  x Giải Điều kiện x �2 Đặt  x = y �0 Ta có y2 = 2-x � 1� 9 A = 2-y + y =  �y  � � � 2� 4 Max A = 1 � y    x   x  4 b Đổi biến để đưa bất phương trình bậc hai biến Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 Biết x2(x2 + 2y2 -3) + (y2 - 2)2 =1 Giải Từ x2(x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 = => (x2 + y2)2 - 4(x2 + y2) +3 = -x2 �0 Do đó: A2 - 4A + �0 (A-1)(A-3) �0 �A �3 Min A = x = y = �1 Min A = x = y = � 13 c Đưa phương trình bậc hai sử dụng điều kiện  �0 x2  x  Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ A = x  x 1 Giải Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm a = x2  x  (1) x2  x  � 1� Do x + x + = �x  �  x � 2� Nên (1) ax2 + ax + a = x2 - x+1 (a-1)x2 + (a-1)x + a-1 = 0(2) Trường hợp 1: Nếu a =1 (2) có nghiệm x = Trường hợp 2: Nếu a �1 để (2) có nghiệm, cần đủ  �0 =>  = (a+1)2 -4(a-1)2 �0 (a+1+2a-2)(a+1-2a+2) �0 (3a-1)(a-3) �0 �a �3 (a �1) Với a = (a  1) a 1 a = nghiệm (2) x = 2(a  1)  2(1  a) Với a = x = 1; với a = x = -1 Gộp hai trường hợp ta có: Min A= x =1 Max A=3 x=-1 2.3.8 Một vài phương pháp đăc biệt (Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức biết quan hệ biến -Tìm cực trị có điều kiện) 14 Ở dạng thường dùng biểu thị ẩn qua ẩn (qua việc giải hệ phương trình phương pháp thế).Trên sở điều kiện để biến đổi đưa biểu thức dạng Ví dụ 17: Tìm cực trị biểu thức C 2 x  y  z (*) biết x, y, z 0  x  y  3z 6 (1) thỏa mãn hệ phương trình:   3x  y  3z 4 (2) Giải Theo phương trình (1) (2), tìm được: x x  y 2  y 2  x ; z   3 thay vào (*) ta được: x C  3 ( x, y, z có vai trò nhau) + Dựa vào điều kiện: x 0, y 0, z 0 để lập luận tìm yêu cầu C 2 (khix 0) suy C đạt giá trị nhỏ x = 3 + Sử dụng điều kiện: y 0  x     x 2 z 0  x   Do đó: x 2 (kết hợp với điều kiện) nên học sinh tìm được: x C    suy C đạt giá trị lớn x = 3 3 2.3.9 Những sai lầm thường gặp giải tốn cực trị Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức A= x  x  17 Lời giải sai: Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 +  Min(x2 – 6x + 17) =  x = 15 Vì A có tử khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ Vậy Max A = x = Phân tích sai lầm: Tuy đáp số khơng sai lập luận sai khẳng định: “A có tử khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” mà chưa nói rõ điều kiện tử mẫu dương Chẳng hạn xét biểu thức B = với lập luận “Phân thức B có tử khơng x  đổi nên có GTLN mẫu nhỏ nhất” mẫu nhỏ -4 x = nên MaxB = - 1  x = Điều khơng không giá trị lớn 4 B Chẳng hạn x = B = 1  Mắc sai lầm khơng nắm vững tính chất bất đẳng thức, máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên sang phân số có tử mẫu số ngun Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức A = x2 + y2 biết x + y = Lời giải sai: Ta có A = x2 + y2  2xy Do A nhỏ  x2 + y2 = 2xy  x = y = Khi Min A = 22 + 22 = Phân tích sai lầm: Đáp số không sai lập luận mắc sai lầm, ta chứng minh f(x,y)  g(x,y) chưa chứng minh f(x,y)  m với m số Chẳng hạn với lập luận trên, từ bất đẳng thức x2  4x – suy x2 nhỏ  x2 = 4x –  (x – 2)2 = 0, Minx2 =  x = 2, dễ thấy kết phải minx2 =  x = Cách giải đúng: x + y = suy x2 + 2xy + y2 = 16 (1) Ta lại có (x – y)2 suy x2 – 2xy + y2  (2) 2 2 Từ (1) (2) suy 2(x + y )  16; x + y  Nên MinA = x = y = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sáng kiến kinh nghiệm đề tài: “Một vài phương pháp tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn trường THCS Đông Thịnh” 16 thử nghiệm áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi trường dạy Trong thời gian áp dụng đề tài cho thấy học sinh tiếp thu nhanh vận dụng vào giải tập nhanh, khoa học, xác Nhiều em đề xuất hướng giải khác tổng quát hóa tốn Mức độ u thích mơn tốn nói chung nâng lên, em khơng thấy ngại dạng tốn tìm GTLN GTNN môn đại số mà trở nên hứng thú học tìm hiểu nhiều Đa số em nắm phương pháp tìm GTLN GTNN, biết sử dụng phương pháp vào giải toán cụ thể Học sinh bước khai thác tốn khó dựa vào kiến thức học để mở rộng kiến thức rèn luyện kĩ giải tốn tìm GTLN GTNN Các em ngày u thích mơn tốn mà học sinh giỏi mơn tốn cấp trường ngày tăng số lượng chất lượng Sau giảng dạy đề tài tiến hành làm kiểm tra kết thống kê sau: Khối Điểm Số lượng 15 12 34 56 SL TL SL TL SL TL 33,4 % 78 SL TL 53,3% 910 SL TL 13,3% Đặc biệt sáng kiến kinh nghiệm có trình bày sai lầm phân tích tìm GTLN GTNN Bởi sai lầm, ngộ nhận trình suy luận logic mà em cần phải tránh làm Việc vận dụng bất đẳng thức Côsi, Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm cực trị khó học sinh THCS Chính giáo viên cần phải quan tâm đầu tư phương pháp nhằm trao dồi, rèn luyện tìm cách suy luận, gợi mở tạo hứng thú học tập cho em, để em học tập hiệu Tuy nhiên bên cạnh số học sinh chưa chịu khó nghiên cứu tài liệu trao dồi học hỏi bạn bè, nên đơi lúng túng việc vận dụng phương pháp Do trình giảng dạy đề tài tơi ln kiểm tra, 17 đánh giá cụ thể bài, em giai đoạn để việc giảng dạy, bồi dưỡng tốt Kết luận kiến nghị KẾT LUẬN Phương pháp tìm cực trị việc giải tốn vấn đề lớn, đòi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư tốt kỹ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt Chính lẽ đó, q trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất cách vận dụng Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo em Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic khác Nghiên cứu đề tài “Một vài phương pháp tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn trường THCS Đơng Thịnh” khơng giúp cho học sinh u thích học mơn tốn, phát triển tư cho học sinh, mà sở giúp cho thân có thêm kinh nghiệm giảng dạy Mặc dù cố gắng thực đề tài, song tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong quan tâm đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến để đề tài hoàn thiện KIẾN NGHỊ Đối với cấp quản lí: Cần tổ chức sinh hoạt chuyên đề đề tài tìm cực trị đại số nói riêng nhiều đề tài khác nói chung để giáo viên có điều kiện trao dồi, nghiên cứu nhiều Đối với giáo viên: Phải tự học tự nghiên cứu nắm vững nội dung tìm cực trị đại số tốn THCS để việc giảng dạy áp dụng tốt Trên kinh nghiệm thu qua việc tự học, tự bồi dưỡng, áp dụng vào việc giảng dạy trường thấy chất lượng dạy nâng lên rõ rệt Tôi mạnh dạn đưa trao đổi đồng nghiệp Rất mong hội đồng khoa học đồng nghiệp góp ý để sáng kiến tơi hồn thiện 18 Tơi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 05 tháng năm 2019 Tôi cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người trình bày Nguyễn Thị Hồng Nguyên 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách giáo khoa Đại số 8; Nhà xuất giáo dục 1) Sách nâng cao Đại số Vũ Hữu Bình 2) Sách nâng cao Đại số Vũ Hữu Bình 3) Sách nâng cao Đại số Võ Đại Mau 4) Sách nâng cao Đại số Võ Đại Mau 5) Tuyển tập toán sơ cấp Vũ Hữu Bình 6) Tuyển tập tốn sơ cấp Võ Đại Mau 7) 36 đề ôn thi tốt nghiệp THCS Võ Đại Mau 8) Bài tập nâng cao số chuyên đề: Lớp 6,7,8,9 Bùi Văn Tuyên 9) Tạp trí tốn học trẻ 20 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT ĐƠNG SƠN TÊN ĐỀ TÀI MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ÁP DỤNG TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN Ở TRƯỜNG THCS ĐƠNG THỊNH Người thực hiện: Nguyễn Thị Hồng Nguyên Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Đông Thịnh SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2019 21 ... tiếp thu vận dụng đề tài Một vài phương pháp tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn trường THCS Đơng Thịnh học sinh - Chất lượng học sinh trước sau... trường Sáng kiến kinh nghiệm đề tài: Một vài phương pháp tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn trường THCS Đông Thịnh 16 thử nghiệm áp dụng để bồi. .. Một vài phương pháp tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn trường THCS Đơng Thịnh khơng giúp cho học sinh u thích học mơn tốn, phát triển tư cho học