Luận văn một số quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy trong tài chính

I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN _ Hong Th Phng Tho MT S QU TRèNH NGU NHIấN Cể BC NHY D THO LUN N TIN S TON HC H Ni - 2015 I HC QUC GIA H NI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN _ Hong Th Phng Tho MT S QU TRèNH NGU NHIấN Cể BC NHY Chuyờn ngnh: Lý thuyt xỏc sut v thng kờ toỏn hc Mó s: 62460106 LUN N TIN S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS TS TRN HNG THAO H Ni - 2015 L i cam oan Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn c u c a riờng tụi Cỏc s li u, k t qu nờu lu n ỏn l trung th c v cha t ng c cụng b b t k cụng trỡnh no khỏc Nghiờn c u sinh Hong Th Phng Th o L i c m n Trong quỏ trỡnh h c t p nghiờn c u hon thnh c lu n ỏn Ti n s ny tụi ó nh n c r t nhi u s giỳp t cỏc th y cụ giỏo, b n bố ng nghi p v gia ỡnh tụi Ng i u tiờn tụi mu n g i l i c m n chõn thnh nh t l PGS TS Tr n Hựng Thao, ng i Thy ó v ang h ng d n, o t o tụi nghiờn c u khoa h c r t nhi t tỡnh Thy khụng ch giỳp tụi ngy cng cú thờm ni m say mờ nghiờn c u khoa h c, thy cũn cho tụi r t nhi u l i khuyờn cu c s ng Ti p theo tụi mu n by t nh ng l i c m n t i cỏc thnh viờn B mụn Xỏc su t Th ng kờ , Khoa Toỏn C Tin h c ó th ng xuyờn giỳp tụi, cho tụi nh ng l i khuyờn chõn thnh quỏ trỡnh lm b n lu n ỏn ny c bi t tụi ó c tham gia xờ mi na c a B mụn Xỏc su t Th ng kờ, qua xờ mi na tụi ó trau d i, m r ng thờm ki n th c v cỏc th y b mụn ó luụn cho tụi nh ng l i nh n xột quý bỏu quỏ trỡnh h c t p v nghiờn c u c a mỡnh ng th i, tụi xin g i l i c m n sõu s c n Ban giỏm c i h c Qu c gia H N i, Ban giỏm hi u Tr ng i h c Khoa h c t nhiờn, Ban ch nhi m Khoa Toỏn-C-Tin h c, Phũng sau i h c ó t o nh ng i u ki n thu n l i tụi nghiờn c u t t hn v giỳp tụi hon thnh th t c b o v lu n ỏn Cu i cựng, tụi xin g i l i cỏm n n nh ng ng i thõn gia ỡnh, h hng, b n bố thõn thi t, nh ng ng i ó luụn bờn c nh ng viờn giỳp tụi, tụi hon thnh lu n ỏn ny H n i, 01/2015 NCS: Hong Th Phng Th o M cl c L i cam oan L i c m n B ng ký hi u M u Cỏc ki n th c chu n b 1.1 Quỏ trỡnh i m 1.1.1 1.1.2 1.1.3 Quỏ trỡnh i m m t bi n Quỏ trỡnh i m nhi u bi n Quỏ 12 12 13 13 trỡnh Poisson ng u nhiờn kộp hay quỏ trỡnh Poisson cú i u ki n 14 15 1.2 1.1.4 c trng Wantanabe Quỏ trỡnh Poisson 16 1.3 Quỏ trỡnh Poisson ph c h p 18 1.4 Tớch phõn ng u nhiờn i v i quỏ trỡnh cú b c nh y 21 1.5 Cụng th c Itụ i v i quỏ trỡnh cú b c nh y 22 1.6 1.5.1 Cụng th c Itụ i v i quỏ trỡnh Poisson tiờu chu n 23 1.5.2 Cụng th c Itụ i v i quỏ trỡnh Poisson ph c h p 23 1.5.3 Trong tr ng h p t ng quỏt 24 Quỏ trỡnh ng u nhiờn phõn th 1.6.1 Chuy n ng Brown phõn th 26 26 1.6.2 X p x L2-semimartingale 1.6.3 Tớch phõn ng u nhiờn phõn th v phng trỡnh 27 vi phõn ng u nhiờn phõn th 28 Quỏ trỡnh cú b c nh y v bi toỏn r i ro tớn d ng 2.1 Mụ hỡnh cú b c nh y i u n b i m t martingale 30 Poisson 2.1.1 2.3 Phỏ s n t i th i i m t cụng ty cú m t kho n n L 33 Phỏ s n cú n kho n n L1, L2, , Ln 34 Brown v m t quỏ trỡnh Poisson 36 2.2.1 Xỏc su t phỏ s n cụng ty cú m t kho n n 38 2.2.2 Phỏ s n cụng ty cú nhi u kho n n 39 2.1.2 2.2 32 Mụ hỡnh cú b c nh y i u n b i m t chuy n ng Mụ hỡnh cú b c nh y i u n b i m t chuy n ng Brown v m t quỏ trỡnh Poisson ph c h p 42 2.3.1 Cụng ty cú m t kho n n 44 2.3.2 Tr ng h p cụng ty cú nhi u kho n n Quỏ trỡnh cú b c nh y v quỏ trỡnh phõn th 3.1 Cỏc quỏ trỡnh phõn th cú b c nh y 3.1.1 59 Phng trỡnh vi phõn ng u nhiờn phõn th cú b c nh y 3.2 56 Quỏ trỡnh Ornstein-Uhlenbeck phõn th cú b c nh y 3.1.3 55 55 Chuy n ng Brown phõn th hỡnh h c cú b c nh y 3.1.2 47 61 c l ng bi n ng ng u nhiờn phõn th v i quan sỏt l quỏ trỡnh cú b c nh y 66 3.2.1 67 3.2.2 X p x ng u nhiờn phõn th c l ng Vt ,1 70 3.2.3 c l ng Vt ,2 v Vt 73 3.2.4 3.2.5 S h i t c a Vt t i nghi m Vt c l ng bi n ng Vt 74 75 Danh m c cỏc cụng trỡnh khoa h c c a tỏc gi liờn quan n lu n ỏn 78 Ti li u tham kh o 79 B ng ký hi u P- h.c.c S h i h u ch c ch n L2(, , P ) T p h p cỏc l p tng ng cỏc hm bỡnh phng kh tớch Chu n khụng gian L2(, , P ) () Hm Gamma (0, 1) Bi n ng u nhiờn cú phõn ph i chu n t c L2 lim S h i t L2 C(S) Khụng gian cỏc hm ng u nhiờn liờn t c trờn khụng gian S Cb(S) [x] Khụng gian cỏc hm ng u nhiờn b ch n trờn S Ph n nguyờn c a x M u M t quỏ trỡnh cú b c nh y l m t quỏ trỡnh ng u nhiờn m cỏc qu o c a nú b giỏn o n b i cỏc b c nh y V m t l ch s thỡ u tiờn, ng i ta nghiờn c u cỏc h ng l c ng u nhiờn i u n b i chuy n ng Brown m l i gi i l cỏc quỏ trỡnh cú qu o liờn t c Tuy nhiờn cỏc ng d ng th c t thỡ nhi u cỏc h ng l c y khụng ph n ỏnh ỳng s th c nh ng s ki n quan sỏt c Thay vo ú ng i ta nh n th y cỏc quỏ trỡnh cú b c nh y ỏp ng c t t hn s mụ t cỏc hi n t ng ú Ch ng h n, cỏc quỏ trỡnh cú b c nh y úng vai trũ h t s c quan tr ng t t c cỏc lnh v c ti chớnh úng gúp cho s phỏt tri n c a cỏc mụ hỡnh ng u nhiờn cú b c nh y ph i k n nh ng thnh t u c a lý thuy t Semimartingale v c nng l c tớnh toỏn hi n i c a cụng ngh thụng tin Quỏ trỡnh cú b c nh y n gi n nh t l quỏ trỡnh cú m t b c nh y G i T l m t th i i m ng u nhiờn, thụng th ng ú l m t th i i m d ng ng v i m t b l c (t, t 0) no ú Xt = 1{Tt , } quỏ trỡnh ny cú giỏ tr b ng tr c m t s ki n no ú x y t i th i i m T v b ng sau ú Nú cng mụ t th i i m phỏ s n c a m t cụng ty vi c mụ hỡnh húa r i ro tớn d ng Ti p theo l cỏc quỏ trỡnh cú giỏ tr nguyờn v cú c b c nh y ch b ng 1, g i l quỏ trỡnh m (Xt, t 0) ú l quỏ trỡnh mụ t s cỏc bi n c x y kho ng th i gian t n t Quỏ trỡnh m i n hỡnh l quỏ trỡnh Poisson (Nt, t 0), ú Nt cú phõn ph i Poisson v i tham s (1) t Ng i ta cng cú th mụ t quỏ trỡnh ú b ng cỏch cho kho ng th i gian gi a hai b c nh y l bi n ng u nhiờn c l p cựng phõn b m v i tham s S m r ng ti p theo l cỏc quỏ trỡnh Poisson ph c h p (Xt, t 0), t c l cỏc quỏ trỡnh v i gia s c l p, d ng v cú c b c nh y khụng ph i l n a m l cỏc bi n ng u nhiờn cú phõn b xỏc su t no ú Xt = Nt k=1 Yk, (2) ú (Y1, Y2, ) l dóy cỏc bi n ng u nhiờn c l p cựng phõn ph i M t ng d ng i n hỡnh c a quỏ trỡnh Poisson ph c h p l mụ t t ng s ti n m cụng ty b o hi m ph i tr cho khỏch hng t i th i i m t, t i th i i m y s khỏch hng ũi tr b o hi m l bi n ng u nhiờn cú phõn b Poisson Bờn c nh ú ng i ta cng chỳ ý n quỏ trỡnh i tr ng c a Xt, t c l quỏ trỡnh Xt E[Xt] N u phõn ph i cú k v ng h u h n thỡ vỡ Xt cú gia s c l p, d ng nờn ta cú E[Xt] = tE[X1] v ú ta cú bi u di n Xt = (Xt E[Xt]) + tE[X1] (3) Quỏ trỡnh i tr ng (Xt E[Xt]) l m t martingale nờn t ng c a (3) l t ng c a m t martingale v m t d ch chuy n n tớnh tE[X1] Bi u di n (3) trờn g i ý n m t nh ngha t ng quỏt v quỏ trỡnh semimartingale Xt = X + V t + M t , ú V = (Vt, t 0) l m t quỏ trỡnh thớch nghi, cdlg v cú bi n phõn h u h n, cũn M = (Mt, t 0) l m t martingale a phng Cng cú nh ng quỏ trỡnh khụng ph i l semimartingale, m t vớ d quan tr ng ú l quỏ trỡnh chuy n ng Brown phõn th H th c (4) núi chung khụng ph i l nh t, nú s l nh t v i (4) m i n h ng ta bi t r ng th c t nghi m Vt ,1 l m t quỏ trỡnh OrnsteinUhlenbeck, ú l m t quỏ trỡnh Markov v n a nhúm c a nú rng ta th y r ng lim(Ptf )(x) = f G (x) ú Vt ,1 l m t quỏ trỡnh ) t a uFeller Do ú cng theo [38] toỏn t ( sinh c c vi tng ng A c cho t fsb m t h cỏc toỏn t si e Rc n (Pt, t 0) trờn cỏc t hf f )(x) = bxf (x) + ( )2 f h hm Borel b c h r u(x) l ý C h n g m i n h C h ỳ c xỏc nh b i o nn n f g t ( x e m [ ] ) úc àt r lờ n R l : ( o2 R 1(P (Atf )(x) = lim t t t0 2 b ( Theo nh lý 3.5, c l ng t(f ) cho quỏ trỡnh h th ng Feller t quỏ trỡnh quan sỏt i m Yt = 0t sds + Mt c cho b i t t(f ) = 0(f ) + t + 0 s(Af )ds 1()[s(f ) s(f )s()]dms, s t ú mt = Yt = t ( )ds, s c l ng tr ng thỏi cha chu n húa t(f ) theo nh lý 3.6 s l t t(f ) = 0(f ) + t s(Af )ds + [s(f ) s(f )]dàs, v i àt = Yt t B ng cỏch thay Af nh ng phng trỡnh ny b i bi u th c (3.2.9) ta cú c i u ph i ch ng minh H qu V ,1 3.1 Ta cú, f l hm ch tiờu, f = I thỡ = V0 , t bV , t ds + s t 0 ,1 V [ V ,1 V ,1](dY ds) (3.2.10) s s ,1 := t(I) = V0 t bV ,1ds + s t 3.2.3 s s s s t s [s Vs ,1](dYs ds) (3.2.11) c l ng Vt ,2 v Vt T (3.2.6) ta th y r ng t ,2 ,2 [bVs ,2 + s]ds (3.2.12) [bVs ,2 + s]ds (3.2.13) Chỳ ý 3.1 Th c t cỏc phng trỡnh (3.2.12), (3.2.13) trờn cú nghi m Vt = V + v Vt ,2 t ,2 = V0 + hi n nh sau: V ,2 t = V0 ,2ebt t 73 e ) b(ts ds s v V t ,2 = V0 , e bt t e ) b(ts ds s T cỏc phng trỡnh (3.2.10), (3.2.11) v (3.2.12), (3.2.13) ta cú H q u t , , V t = V t + V t = V b Vs ds +1 h i + V =t V V + V =r V [ b Vn ds g V t , = V + V [ , V1 ( ds + (3.2.1 5) V 00 , V , ] ( d Y t , r o S n = h g Vi t ú vc t a a V g i t V n g h i t i ( n gV 3s m m i V n t h V V GT s t i thi a tr ) ng ch Vt ú d v i s Vt l cỏc t + nghi V mc t a (3.2 | u 1) | v V (3.2 tt B 3), h H ta = e cú o m b t B n H h , s a u t , || V h C h [ | | , T v ] M t n t T t || V ú ||.|| l chu n thụng th ng L2(, , P ) p d ng b Gronwall cho (3.2.16) ta s thu c k t qu sau ||Vt Vt || C() + e bt V t ú ta d dng th y r ng sup ||Vt Vt || C() + e bT (3.2.17) 0tT Do v y ta cú Vt Vt u theo t [0, T ] L2(, , P ) 3.2.5 c l ng bi n ng Vt V i cỏc k t qu ó cú trờn chỳng ta cú th tỡm c c l ng cho bi n ng ng u nhiờn tuõn theo mụ hỡnh (3.2.1) nh nh lý sau õy nh lý 3.7 c l ng tr ng thỏi Vt c a bi n ng ng u nhiờn Vt l gi i h n L2 c a Vt = Vt ,1 + Vt ,2 v s h i t ny l h i t u theo t [0, T ] Ch ng minh Theo tớnh ch t c a kỡ v ng cú i u ki n ta cú Nu Vt L2 Vt L2 thỡ E(Vt |tY ) L2 E(Vt|tY ) V ỏnh giỏ nh (3.2.17) ta cú s h i t u nh nh lý 75 K t lu n v ki n ngh K t lu n: Nh m nghiờn c u m t s d ng c a cỏc quỏ trỡnh ng u nhiờn cú b c nh y, m t m t chỳng tụi xột m t s quỏ trỡnh v n l l i gi i c a cỏc phng trỡnh vi phõn ng u nhiờn cú b c nh y v ng d ng m r ng mụ hỡnh Merton v r i ro ti chớnh, m t khỏc chỳng tụi cng a cỏch xõy d ng cỏc quỏ trỡnh cú b c nh y g n v i quỏ trỡnh phõn th v xột cỏc quỏ trỡnh vi phõn ng u nhiờn phõn th cú b c nh y, ng th i kh o sỏt bi toỏn c l ng tr ng thỏi t i u c a bi n ng ng u nhiờn phõn th v i quan sỏt l quỏ trỡnh cú b c nh y Cỏc k t qu thu c g m cú: M r ng mụ hỡnh Merton c i n v r i ro tớn d ng thnh mụ hỡnh i u n b i m t martingale r i r c l martingale Poisson hay quỏ trỡnh Poisson i tr ng Tỡm c xỏc su t phỏ s n cho mụ hỡnh ny tr ng cú m t ho c nhi u kho n n Ti p t c m r ng Merton cho tr ng h p mụ hỡnh c i u n b i hai ngu n ng u nhiờn g m m t chuy n ng Brown v m t quỏ trỡnh Poisson Xỏc su t phỏ s n c c l ng cho hai tr ng h p cú m t v nhi u kho n n ph i tr M r ng hn n a cho mụ hỡnh i u n b i hai ngu n ng u nhiờn l mụ hỡnh c i u n b i m t chuy n ng Brown v m t quỏ trỡnh Poisson ph c h p v cng xỏc nh c xỏc su t phỏ s n, ngoi cũn xột cỏc tr ng h p riờng ng v i cỏc tr ng h p riờng 76 c a quỏ trỡnh Poisson ph c h p Xõy d ng c cỏc quỏ trỡnh ng u nhiờn phõn th cú b c nh y cỏc tr ng h p t ng quỏt v xột c hai tr ng h p c th l quỏ trỡnh chuy n ng Brown hỡnh h c phõn th cú b c nh y v quỏ trỡnh Ornstein-Ulhenbeck phõn th cú b c nh y Xỏc nh c phng trỡnh cho tr ng thỏi t i u c a bi n ng ng u nhiờn c a m t h ng l c trờn c s quan sỏt l m t quỏ trỡnh cú b c nh y t ng quỏt, ú l quỏ trỡnh i m ng u nhiờn M t s ki n ngh : Trong th i gian t i chỳng tụi s ti p t c nghiờn c u nh ng v n sau: M r ng bi toỏn Merton cho m t s mụ hỡnh t ng quỏt hn Tớnh toỏn r i ro phỏ s n c a m t t ch c ti chớnh d a trờn m t d li u cú s n: ki m tra s phự h p mụ hỡnh, l p trỡnh cỏc cụng th c Tỡm cỏc c l ng bi n ng cho m t s mụ hỡnh cú b c nh y 77 Danh m c cỏc cụng trỡnh khoa h c c a tỏc gi liờn quan n lu n ỏn Thao H T P (2013), "Valuing Default Risk for Assets Value Jumps Processes", E ast-West J of Mathematics, 15(2),pp 101106 Thao H T P (2014), "A Note on Jumps-Fractional Processes", E ast-West Journal of Math., 16 (1), pp 14-24 Thao H T P and Thao T H (2012), "A Note on A Model of Merton Type for Valuing Default Risk", Applied Mathematical Sciences, 6(89-92), pp 4457-4461 Thao H T P and Thao T H (2012), "Estimating Fractional Stochastic Volatility", T he International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 82(38), pp 1861 - 1869 Thao H T P and Hoang V Q (2015), "A Merton Model of Credit Risk with Jumps", J ournal of Statistics Applications & Probability Letters, 2(2), pp 1-7 78 Ti li u tham kh o [1] Alũs E., Mazet O., and Nualart D (2000), "Stochastic calculus with respect to fractional Brownian motion with Hurst paramenter less than 1", Stochastic Processes and Their Applications 86(1), pp 1212 139 [2] Berg T (2010), "From actual to risk-neutral default probabilities: Merton and Beyond", T he Journal of Credit Risk 6(1), pp 55-86 [3] Biagini F., Hu Y., ỉksendal B., Sulem A (2002), "A stochastic maximum principle for processes driven by a fractional Brownian motion", Stoch Proc Appl 100, pp 233-254 [4] Bielecki T., Jeanblan M and Rutkowski M (2009), Credit Risk Modeling, Center for Study of Insurance and Finance, Osaka University [5] Bystrom H (2007), "Merton for Dummies: A Flexible Way of Modelling Default Risk", Research Paper Series, 112, Quantitative Finance Research Centre, University of Technology, Sydney [6] Carmona P., Coutin L., and Montseny G (2003), "Stochastic integration with respect to fractional Brownian motion", Ann Inst H Poincarộ Probab Statist 39(1), pp 27-68 79 [7] Coutin L (2007), "An Introduction to Stochastic Calculus with Respect to Fractional Brownian motion", Sộminaire de Probabilitộs XL, Springer-Verlag Berlin Heidelberg pp 3-65 [8] Cont R., Tankov P (2003), Financial Modelling With Jump Processes, Chapman and Hall, CRC Press [9] Cyganowski S., Grume L., Kloeden P E (2012), "MAPLE for Jump-Diffusion Stochastic Differential Equations in Finance", Prepient, Feb [10] Decreusefond L and Ustă ă unel A S (1999), "Stochastic analysis of the fractional Brownian motion", Potential Anal.,10(2), pp 177-214 [11] Duncan T E., Hu Y., Duncan P B (2000), "Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion", SIAM Control and Optimization 38(2), pp 582-612 [12] Feyel D., De la Pradelle A (1996), "Fractional integrals and Brownian processes", Potential Analysis, 10, pp 273-288 [13] Gihman I I., Skorohod A.V (1972), Stochastic Differential Equations, Springer [14] Giesecke K and Lisa R G (2004), "Forecasting Default in Face of Uncertainty", T he Journal of Derivatives, Fall, pp 11-25 [15] Ito K (1951), "Multiple Wiener integral", J Math Soc Japan, 3, pp 157-169 [16] Jacques J., Manca, R (2007), Semi-Markov Risk Models For Finance, Insurance and Reliability, Springer [17] Kloeden P E and Platen E (1995), Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer 80 [18] Lamberton D., Lapeyre B (2000), Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman & Hall/CRI [19] Lộon (1993), "Fubini theorem for anticipating stochastic integrals in Hilbert space", Appl Math Optim 27(3), pp 313-327 [20] Lin S M., Ansell J., Andreeva G (2010), "Merton Models or Credit Scoring: Modelling Default of A Small Business", W orking pa- per, Credit Reseach Centre, Management School Longleftarrow & E conomics, The University of Edinburgh, U.K [21] Loốve M (1963), Probability Theory, D.Van Nostrand Company, third Edition [22] Lyons T (1994), "Differential Equations Driven by Rough Signals (I): An Extension of an Inequality of L.C Young", Mathematical Research Letters 1, pp 451-464 [23] Mandelbrot B., van Ness J (1968), "Fractional Brownian motions, Fractional Noises and Applications", J SIAM Review 10(4), pp 422-437 [24] Nualart D., Alũs E., Mazet O (2000), "Stochastic Calculus with respect to Fractional Brownian Motion with Hurst Parameter less than 1/2", J Stoc Proc Appl.86, 131-139 [25] Nualart D., Rá u A (2002), "Differential equations driven by scan fractional Brownian motion", Collectanea Mathematica 53, pp 55- 81 [26] Privault N (2003), "Notes on Stochastic http://www.ntu.edu.sg/home/nprivault/indext.html Finance", [27] Protter P (1990), Stochastic Integration and Differential Equations, Berlin-Springer 81 [28] Revuz D and Yor M (1999), Continuous martingales and Brownian motion, Springer, Berlin Heidelberg New York, third edition [29] Roger M (2004), "Merton Robert C on putting theory into practice", CFA Magazine, July-August, pp 34-37 [30] Tr n Hựng Thao (2003), "A note on Fractional Brownian Motion", V ietnam J Math.31(3), 255-260 [31] Tr n Hựng Thao (1991), "Optimal State Estimation of a Markov from Point Process Observations", Annales Scientifiques de l'Universitộ Blaise Pascal, Clermont-Ferrand II Fasc 9, pp 1-10 [32] Tr n Hựng Thao (2013), "A Practical Approach to Fractional Stochastic Dynamics", J Comput., Nonlinear Dyn 8,pp 1-5 [33] Tr n Hựng Thao (2006), "An approximate approach to fractional analysis for finance", Nonlinear Analysis 7, pp 124-132 [34] Tr n Hựng Thao (2013), "On some Classes of Fractional Stochastic Dynamical Systems", E ast-West J of Math 15(1), 54-69 [35] Tr n Hựng Thao, Christine T A (2003),"Evolution des cours gouvernộe par un processus de type ARIMA fractionaire", S tudia Babes-Bolyai, Mathematica 38(2), 107-115 [36] Tr n Hựng Thao, Nguy n Ti n Dng (2010), "A Note on Optimal State Estimation for A Fractional Linear System", Int J Contemp Math Sciences 5(10), pp 467-474 [37] Tr n Hựng Thao Tr n Tr ng Nguyờn (2003), "Fractal Langevin Equation", Vietnam Journal of Mathematics 30(1), pp 89-96 [38] Tr n Hựng Thao, Plienpanich T (2007), "Filtering for Stochastic Volatility from Point Process Observation", VNU Journal of Science 23, pp 168-177 82 [39] Hong Th Phng Th o (2014), "A Note on Jumps-Fractional Processes", E ast-West Journal of Math., 16 (1), pp 14-24 [40] Hong Th Phng Th o (2013), "Valuing Default Risk for Assets Value Jumps Processes", E ast-West J of Mathematics 15(2),pp 101-106 [41] Hong Th Phng Th o, Tr n Hựng Thao (2012), "A Note on A Model of Merton Type for Valuing Default Risk", Applied Mathematical Sciences 6(89-92), pp 4457-4461 [42] Hong Th Phng Th o, Tr n Hựng Thao (2012), "Estimating Fractional Stochastic Volatility", T he International Journal of Contemporary Mathematical Sciences 82(38), pp 1861 - 1869 [43] Hong Th Phng Th o, Vng Quõn Hong (2015), "A Merton Model of Credit Risk with Jumps", J ournal of Statistics Applications & Probability Letters 2(2), pp 1-7 [44] ỉkendal B (2008), Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications, Springer [45] ỉksendal B (2003), Stochastic Differential Equations, Sixth edition, Springer [46] Shiryaev A N (1999), Essentials of Stochastic Finance Facts, Models, Theory,World Scientific [47] Shiryaev A N (1996), Probability, New York-Springer, 2nd edition [48] Skorohod A V (1975), "On a generalization of the stochastic integral", Teor Verojatnost Primenen 20(2), pp 223-238 [49] Shreve S R (2003), Stochastic Calculus for Finance II, Springer 83 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN _ Hoàng Thị Phương Thảo MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN... ng u nhiên mà trình h th ng m t trình ng u nhiên phân th trình quan sát m t trình m Lu n án g m chương Chương nêu nh ng v n đ chung v trình ng u nhiên có bư c nh y trình m, trình Poisson, trình. .. 1.1 Quá trình m 1.1.1 1.1.2 1.1.3 Quá trình m m t bi n Quá trình m nhi u bi n Quá 12 12 13 13 trình Poisson ng u nhiên kép hay trình Poisson có