Luận văn một số hệ phương trình không mẫu mực

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C Ph m Th Nh n M T S H PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG M U M C Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60.46.01.13 LU N VĂN TH C S KHOA H C NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: PGS.TS NGUY N XUÂN TH O Hà N i - Năm 2015 M cl c M đ u l i c m ơn H phương trình b n 1.1 H phương trình n tính 1.1.1 H hai phương trình n tính 4 41.1.2 H ba phương trình 61.2.2 H hai phương trình đ ng 12 14 quát 16 n tính 1.2 H phương trình phi n 1.2.1 H phương trình đ i x ng cp 1.2.3 H phương trình hoán v 1.2.4 H hai phương trình b c t ng M t s phương pháp gi i h phương trình 2.1 Phương pháp c ng đ i s th 2.2 Phương pháp đ t n ph 2.3 Phương pháp lư ng giác 2.4 Phương pháp s d ng tính ch t c a hàm s 2.5 Phương pháp đánh giá Gi i m t s h không m u m 3.1 H phương trình đ i s 3.2 H phương trình vô t 3.3 H phương trình ch a mũ 3.4 H phương trình h n h p c logarít 18 18 21 24 27 32 37 37 45 48 50 K T LU N 53 Tài li u tham kh o 54 M đu H phương trình m t nh ng phân môn quan tr ng c a Đ i s có nh ng ng d ng ngành khoa h c k thu t c n xem xét nhi u đ i lư ng S m bi t đư c t xa xưa nhu c u tính toán c a ngư i ngày phát tri n theo th i gian đ n ch xét Toán h c h phương trình r t đa d ng v hình th c như: h phương trình đ i s , h phương trình vô t , h phương trình có ch a mũ logarít ph c t p v cách tìm hư ng gi i Trong nh ng năm g n t năm 2002 - 2014 h phương trình không m u m c thư ng xuyên xu t hi n kỳ thi Olympic Toán, VMO, n sinh Đ i h c Cao đ ng Đây m t lo i toán khó đòi h i h c sinh ph i v n d ng linh ho t, sáng t o ki n th c gi i tích, hình h c lư ng giác Tác gi ch n đ tài Lu n văn "M t s h phương trình không m u m c" nh m nghiên c u m t cách h th ng h phương trình không m u m c v n d ng chúng đ thi qu c t qu c gia Trong lu n văn "h phương trình không m u m c" đư c hi u h có ch a l p hàm khác (ch a căn, mũ logarít, lư ng giác ) ho c cách gi i c a chúng không th c hi n đư c b ng bi n đ i thông thư ng c n v n d ng phương pháp so sánh, c lư ng Lu n văn g m chương v i n i dung sau Chương H phương trình b n đưa lo i h phương trình thư ng g p chương trình ph thông đ c p cách gi i t ng quát Chương M t s phương pháp gi i h phương trình đ c p phương pháp gi i h truy n th ng: phương pháp th c ng đ i s , phương pháp đ t n ph , phương pháp lư ng giác hóa phương pháp gi i đ c bi t cho h không m u m c: phương pháp s d ng tính ch t c a hàm s , phương pháp đánh giá Chương Gi i m t s h phương trình không m u m c chương ch y u gi i thi u h phương trình không m u m c kỳ thi qu c t qu c gia L i c m ơn Tác gi xin g i l i c m ơn chân thành sâu s c đ n PGS.TS Nguy n Xuân Th o - m t ngư i th y t n tâm v i ngh , th y không ch ngư i ch p bút cho tác gi hoàn thành xu t s c Lu n văn, mà th y cho tác gi ngh l c ph n đ u, m t nhìn khác v đ nh hư ng tương lai ngh nghi p Tác gi xin g i l i c m ơn t i Ban giám hi u, phòng Đào t o Sau đ i h c Khoa Toán - Cơ - Tin h c, th y cô tham gia gi ng d y cho l p Cao h c Toán niên khóa 2013 - 2015, th y cô anh ch c a Seminar "Phương pháp Toán sơ c p" trư ng Đ i h c Khoa h c T Nhiên, Seminar "Gi i tích" Vi n Toán tin ng d ng trư ng Đ i h c Bách Khoa Hà N i t o u ki n giúp đ tác gi su t th i gian h c t p nghiên c u t i trư ng Nhân tác gi xin g i l i c m ơn b n h c viên cao h c khóa 2013 2015, gia đình b n bè ng h khích l , t o m i u ki n thu n l i đ tác gi hoàn thành khóa h c Lu n văn M c dù tác gi c g ng r t nhi u k t qu Lu n văn khiêm t n khó tránh kh i nh ng m khuy t Tác gi mong nh n đư c s đóng góp quý báu c a th y cô đ c gi đ Lu n văn hoàn thi n Hà N i, ngày 24 tháng năm 2015 H c viên Ph m Th Nh n Chương H phương trình b n Trong Chương tác gi khái quát l i m t s h phương trình b n h th ng chương trình THPT, phương pháp gi i t ng quát ví d minh h a cho t ng d ng c th Các ví d trình bày đư c trích cu n "B i dư ng h c sinh gi i môn Toán - Văn Phú Qu c", "Tuy n ch n gi i h phương trình thư ng g p kỳ thi Đ i h c Cao đ ng - Hà Văn Chương" 1.1 H phương trình n tính 1.1.1 H hai phương trình n tính H hai phương trình n tính có d ng ax + by = c ax+by =c Cách gi i Cách S d ng phương pháp Cramen Tính đ nh th c D= ab ab = ab − a b Dx = cb cb = cb − c b Dy = ac ac = ac − a c TH1 a = a' = b = b' = + N u c = c' = h vô đ nh + N u c = ho c c = h vô nghi m TH2 Trong h s a, a', b, b' có nh t m t h s khác không + H có nghi m nh t ⇔ D = Chương H phương trình b n Nghi m nh t c a h (x, y) = D=0 Dx ; Dy DD + D x = Dy = ⇒ h + vô đ nh (có vô s nghi m) D = Dx = 0( Dy = 0) ⇒ h vô ng hi m Các h Sd ng phư ơng phá p Ga uss Nhân ho c chia m t phương trình c a h v i m t s thích h p, đ c ng ho c tr phương trình khác c a h ta s lo i d n đư c n a x + by = c Ti p t c làm trên, ta s bi n đ i h cho v h tam giác T h tam giác ta rút đư c nghi m a x = c Ngoài ra, ta có th gi i h phương trình b c nh t hai n b ng lo i máy tính b túi CASIO fx - 500 MS, CASIO fx - 570 E, SHARP EL - 506W Tìm m đ h phương trình có Ví d 1.1 (Đ i h c Giao Thông = m2 − 20, Dy = m2 + m − 12 nghi m (x; y) th a mãn x − y < L i gi i Ta có D = −2m − 5, Dx V n T i - 1995) Cho h •D=0⇔ phương trình m = : Dx = nên h ( vô nghi m m + • D = ⇔ m = : h có Dx , y = Dy ) x nghi m nh t x = The D  ( − 20) − + m − 12) < m (m2 Dx − Dy < ⇔ ⇔ m  < −2 D − m o yêu cu − đu m y x − y< ⇔ = > − x − y V y m < − ho c m > − th a mãn yêu c u toán = m 1.1.2 H ba phương trình n tính Cách gi i Gi ng h hai phương trình n tính r ì n h V   − í x + d y − z = −  G i x x − i − h p h n g y y + − z z = = t − Chương H phương trình b n L i gi i H phương trình tương đương − ⇔ ⇔ −  2y + x + z =  2x + y − 3z = −9  −  2x + y − 3z = −9   x − 6y + 3z==−012 xx − 6y − z  =1 ⇔ x  − 5y = −9 −  2y2+ x = −3 y= x − 2y = −3 y  = z=3 V y nghi m c a h phương trình cho (1;2;3) 1.2 1.2.1 H phương trình phi n H phương trình đ i x ng a) H hai phương trình đ i x ng lo i f (x, y) = g(x, y) = Nh n d ng Cho h phương trình N u ta đ i ch x y cho nhau, t ng phương trình c a h không thay đ i, t c f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x) h cho đư c g i h đ i x ng lo i hai n Cách gi i + Bi n đ i h cho v h ch a x + y xy + Đ t x + y = u, xy = v v i u ki n u2 − 4v ≥ + H cho tr thành đơn gi n đ i v i bi n u, v + Gi i h đ i v i u, v thu đư c giá tr u, v + Gi i h x+y =u xy = v ta thu đư c nghi m (thư ng dùng đ nh lí Viét đ o) Ví d 1.3 (Đ i h c Sư ph m Hà N i 2000) Gi i h phương trình x2 + y2 + xy = x4 + y4 + x2y2 = 21 L i gi i H phương trình tương đương x2 + y2 + xy = (x2 + y2) − x2y2 = 21 Đ t u = x2 + y2, v = xy H phương trình tr thành u+v =7 u2 − v2 = 21 ⇔ u+v =7 u−v =3 ⇔ u=5 v=2 46 Chương Gi i m t s h không m u m c L i gi i Đi u ki n x + y − ≥ 0, xy + z ≥ Đ t u = x + y − ≥ 0, v = z2 − 8z + 14 = −2 + (z − 4)2 ≥ −2 Phương trình th nh t c a h tr thành √ u + + v u = ⇔ u + = −v u √ Mà −v√u ≤ 2√u nên √ √ √ u + ≤ u ⇔ ( u − 1)2 ≤ ⇔ u = ⇔ u = Suy v = Khi đó, ⇔ x+y−2=1 z2 − 8z + 14 = −2 x+y =3 z=4 ⇔ x=3−y z=4 (3.5) Thay (3.5) vào phương trình th nh t c a h ta đư c 2(3 − y) + 5y + (3 − y)y + = ⇔ = y2 + 3y +  − 3y − −3y − ≥ y ≤ −1 2 ⇔ −y + 3y + = + 18y + 9y ⇔ 2y + 3y + = ⇔ ⇔ y = −1 y  ≤ −1    y = −1 V y h phương trình có nghi m (4; −1; 4) Ví d 3.17 (Đ i h c kh i A năm 2006) Gi i h phương trình x + y − √xy = √ √ x+1+ y+1=4 L i gi i Đi u ki n x ≥ −1, y ≥ −1, xy ≥ Đ t t = √xy ≥ T phương trình th nh t c a h ta có x+y =3−t Bình phương hai v c a phương trình sau ta đư c x+y+2+2 xy + x + y + = 16 (3.6) Thay x + y = t − vào (3.6) ta đư c t2 + + t + = 16 ⇔ t2 + t + = 11 − t ⇔ ≤ t ≤ 11 ≤ t ≤ 11 4(t2 + t + 4) = (11 − t)2 3t2 + 26t − 105 = 3+t+2+2 ⇔ T tìm đư c nghi m c a h (x; y) = (3; 3) ⇔t=3 47 Chương Gi i m t s h không m u m c 3.3 H phương trình ch a mũ logarít Ví d 3.18 Gi i h phương trình  log   log 2x + = √4x2 + 4x + − (x − y)2 + − 3x2 + y2 − 4x − 2xy − (2xx − yx2 − √4x2 + = − √2 )+4 L i gi i T phương trình th nh t c a h ta có (2x + 1)2 + 1−(2x+1)2−log3(2x+1) = Xét hàm s f(t) = Ta có f (t) = √ 2t √ t +1 (x − y)2 + 1−(x−y)2−log3(x−y) (3.7) t2 + − t2 − log3 t t ∈ (0; +∞) − 2t − t ln < ⇒ f (t) hàm ngh ch bi n (0; +∞) Khi (3.7) có d ng f (2x + 1) = f (x − y) ⇔ 2x + = x − y ⇔ y = −x − √ Xét hàm s g(x) = log3(2x) + 4x2 − 4x2 + v i x ∈ (0; +∞) D dàng ch ng minh g(x) hàm đ ng bi n (0; +∞) Nh n th y f = − √ Do x = nghi m nh t c a phương trình g(x) = V y h phương trình có nghi m 1; − 22 Ví d 3.19 Gi i h phương trình log2 √x + y = log32( x − y + 2) √ x2 + y + − x2 − y = L i gi i Đi u ki n x − y > 0, x + y ≥ H phương trình tương đương √x + y = + √x − y x2 + y + − x2 − y = Đ t a = √x + y, b = √x − y, a ≥ 0, b ≥ Suy x = a + b ,y = a − b 2 2 2 48 Chương Gi i m t s h không m u m c H phương trình tr thành  a  =2+b   a2 + b    2 a2 − b2 + + − ab = a=2+b ⇔ 1√2a4 + 2b4 + − ab =  a ⇔  − b =2  (a2 + b2)2 − 2a2b2 + − 2ab = a ⇔  + b2 = 2ab + 2  (a2 + b2)2 − 2a2b2 + − 2ab = a2 + b2 = 2ab + ⇔ (2ab + 4)2 − 2a2b2 + − 2ab = a2 + b2 = 2ab + ⇔ √ 22 4a b − 32ab + 36 − 2ab = a2 + b2 = 2ab + ⇔ √22 a b − 8ab + = ab + ⇔ a2 + b2 = 2ab + a2b2 − 8ab + = a2b2 + 6ab + ⇔ a2 + b2 = 2ab + ab = ⇔ a2 + b = ab = ⇔ (a + b)2 − 2ab = ab = ⇔ a+b=2 ab = ⇔ a=0 b=2 a ≥ 0, b ≥ Do đó, x=2 √x + y = √ x−y =2 ⇔ V y h phương trình cho có nghi m (2, -2) y = −2 49 Chương Gi i m t s h không m u m c 3.4 H phương trình h n h p Ví d 3.20 (VMO 2013) Gi i h phương trình   1+ sin2 x   cos2 y + cos2 y = 20y x+y cos2 x + cos12 x = 20x x+y si n2 x +    sin y + + sin y L i gi i Đi u ki n x = mπ , y = nπ (m, n ∈ Z), xy > 0, x + y = 2 C ng v theo v c a hai phương trình ta đư c cos y + cos y 1+ sin x + sin x 2 sin2 y + + 1+ sin2 y 20y + x+y cos2 x + cos12 x = 20x (∗) x+y Áp d ng b t đ ng th c Minkowsky, AM - GM, Cauchy - Schwarz ta đư c 1+ sin x sin x + cos2 x + cos12 x 2 ≥ (| sin x| + | cos x|) + 1+1 | sin x| | cos x| 12 = ≥ √ = (| sin x| + | cos x|)2 + (| sin x| + | cos x|)2 + (| sin x| + | cos x|)2 12 2 2 2 (| sin x| + | cos x|) (| sin x| + | cos x|) + (1 + )(sin x + cos2 x) 10 √ D u "=" x y ⇔ | sin x| = | cos x| = 22 Ch ng minh tương t ta đư c sin y + √ ⇒ V T (∗) ≥ 10 √ 1+ sin2 y cos2 y + cos2 y ≥ 10 √ D u "=" x y ⇔ | sin x| = | cos x| = | sin y| = | cos y| = 22 M t khác theo b t đ ng th c Cauchy - Schwarz ta có V P (∗) = 20x + x+y 20y ≤ x+y 50 20x + 20y x+y x+y √ = 10 Chương Gi i m t s h không m u m c D u "=" x y ⇔ x20xy = x20yy ⇔ x = y + + √ Phương trình (*) th a mãn ⇔ ⇔ x = y = π + kπ | sin x| = | cos x| = | sin y| = | cos y| = 22 x=y V y h phương trình có nghi m π + kπ; π + kπ 24 Ví d 3.21 (THTT T8/415) Gi i h phương trình log2 x = 2y+2 √ + x + xy Đi u ki n x > + y2 = √ Nh n th y n u y ≥ ⇒ + x + xy + y2 > ⇒ h vô nghi m Phương trình th hai c a h tương đương √ + x = −xy + y2 > ⇔ 16(1 + x) = x2y2(4 + y2) ⇔ 4x2y2 − 16x + x2y4 − 16 = ⇔ (xy2 − 4)(4x + xy4 + 4) = ⇔ xy2 − = ⇔ x = y42 Thay x = y42 vào phương trình th nh t c a h ta đư c (3.8) log2 y42 = 2y+2 ⇔ 4.2y + log2(−y) − = Nh n th y y = −1 nghi m c a (3.8) Xét hàm s f(y) = 4.2y + log2(−y) − , ∀y < Ta có f (y) = 4.2 ln − y ln > 0, ∀y < ⇒ f (y) đ ng bi n (−∞; 0) y ⇒ phương trình (3.8) có nghi m nh t y = −1 V y h phương trình có nghi m (4; −1) Ví d 3.22 Gi i h phương trình xy+1 = (y + 1)x √ −4x2 + 18x − 20 + 2x2 − 9x + = y + 2x − 9x + √ ; x, y ∈ R Chương Gi i m t s h không m u m c y > −1 y  +1>0 ⇔ − L i gi i Đi u ki n  4x2 + 18x − 20 ≥ 2x2 − 9x + 2≤x≤ 2 8=0 √ Đ tt= Ta có −4x2 + 18x − 20 = −4 x− 4 ⇒0≤t≤ −4x2 + 28x − 20 + 2x2 − 9x + = t + + t2 4 = f (t), t ∈ 0; 2x − 9x + + 8t ⇒ f (t) = − (t2 + 4)2 > 0, ∀t ∈ 0; √ Suy y + ≥ ⇒ y + ≥ ⇒ = f (0) ≤ f (t) ≤ f (1) = 83 < 34 Ta có xy+1 = (y + 1)x ⇔ lnxx = ln(y+ 11) ⇔ g(x) = g(y + 1) + (3.9) y Trong g(t) = lnt t, g (t) = −t2ln t ⇒ g (t) > ⇔ t < e Vì x < e < y + nên g(x) ngh ch bi n, g(y + 1) đ ng bi n Do đó, (3.9) n u có nghi m nghi m có nh t c p nghi m Nh n th y x = 2; y = m t nghi m c a h V y h có nghi m nh t (2; 3) Tóm l i Chương III tác gi t ng h p đư c m t s ví d n hình, cách gi i h không tuân theo m t phương pháp nh t đ nh Đ gi i đư c c n ph i h p r t nhi u k thu t bi n đ i, phương pháp gi i khác Ví d h phương trình xu t hi n th c ta ph i kh th c, có ch a mũ logarít ta bi n đ i mũ logarít đ quy v phương trình đ i s Cách đánh giá tinh t đòi h i s khóe léo nh y bén đ i v i t ng h phương trình khác 52 K T LU N Lu n văn t p trung nghiên c u h phương trình không m u m c Các k t qu c a lu n văn - Trình bày m t s d ng h phương trình b n chương trình ph thông, đưa ví d minh h a l i gi i chi ti t cho t ng d ng - Trình bày m t s phương pháp gi i thông d ng vi c gi i h phương trình ph c t p xu t hi n kỳ thi Olympic Toán, VMO, đ n sinh Đ i h c - Cao đ ng - Đi sâu khai thác m t s h phương trình không m u m c đ thi qu c t qu c gia Cho th y s đa d ng v hình th c m i quan h ph c t p gi a bi n s h , tìm l i gi i d a s h phương trình b n m t s phương pháp gi i h thư ng áp d ng Ki n ngh hư ng nghiên c u ti p theo - Khai thác phương pháp gi i khác gi i h phương trình không m u m c như: Phương pháp tham bi n, phương pháp s d ng tính ch t c a đa th c, phương pháp s d ng ki n th c hình h c, phương pháp s d ng tính ch t c a s ph c - Nghiên c u hư ng đ thi Olympic Toán, VMO, THPT Qu c gia nh ng năm t i 53 Tài li u tham kh o [1] Hà Văn Chương (2012), Tuy n ch n gi i h phương trình thư ng g p kỳ thi Đ i h c Cao đ ng, NXB Đ i h c Qu c Gia Hà N i [2] Nguy n Anh Huy (2012) Di n đàn MATHSCOPE Chuyên đ Phương trình - H phương trình, boxmath.com [3] Nguy n Văn M u (2006) B t đ ng th c đ nh lí áp d ng, NXB Giáo d c [4] Nguy n Vũ Lương, Ph m Văn Hùng, Nguy n Ng c Th ng (2014) H phương trình phương trình ch a th c, NXB Đ i h c Qu c gia Hà N i [5] Văn Phú Qu c (2014) B i dư ng h c sinh gi i môn Toán, NXB Đ i h c Qu c Gia Hà N i [6] T8/415, (2012)T p chí Toán h c tu i tr , NXB Giáo d c [7] Lê Trung Tín (2012) Chuyên đ toán ph thông, Tuy n t p h phương trình, boxmath.com 54 ... tính 1.2 H phương trình phi n 1.2.1 H phương trình đ i x ng cp 1.2.3 H phương trình hoán v 1.2.4 H hai phương trình b c t ng M t s phương pháp gi i h phương trình 2.1 Phương pháp... t phương trình b c nh t Ta bi u di n x theo y ho c ngư c l i t m t phương trình, thay vào phương trình l i đ có m t phương trình b c m t n 16 Chương H phương trình b n b) H ch a m t phương trình. .. phương pháp gi i h phương trình Đ tìm hư ng gi i cho toán phương trình khó, đ i v i h phương trình ph c t p Chương II Lu n văn trình bày m t s phương pháp gi i h thư ng áp d ng cho h phương trình