Luận văn một số hệ phương trình không mẫu mực

Ch ng minh... H phương trình tương đương.

TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C

M cl c

1.1 H phương trình tuy n tính 4

1.1.1 H hai phương trình tuy n tính

41.1.2 H ba phương trình tuy n tính 5

1.2 H phương trình phi tuy n 6

1.2.1 H phương trình đ i x ng

61.2.2 H hai phương trình đ ng c p 12

1.2.3 H phương trình hoán v 14

1.2.4 H hai phương trình b c 2 t ng quát 16

2 M t s phương pháp gi i h phương trình 18 2.1 Phương pháp c ng đ i s và th 18

2.2 Phương pháp đ t n ph 21

2.3 Phương pháp lư ng giác 24

2.4 Phương pháp s d ng tính ch t c a hàm s 27

2.5 Phương pháp đánh giá 32

3 Gi i m t s h không m u m c 37 3.1 H phương trình đ i s 37

3.2 H phương trình vô t 45

3.3 H phương trình ch a mũ và logarít 48

3.4 H phương trình h n h p 50

H phương trình là m t trong nh ng phân môn quan tr ng c a Đ i s và có nh

ng ng d ng trong các ngành khoa h c và k thu t khi chúng ta c n xem xét nhi u

đ i lư ng S m bi t đư c t xa xưa do nhu c u tính toán c a con ngư i và ngày càng phát tri n theo th i gian đ n nay ch xét trong Toán h c h phương trình đã r t đa d

ng v hình th c như: h phương trình đ i s , h phương trình vô t , h phương trình

có ch a mũ và logarít và ph c t p v cách tìm ra hư ng gi i

Trong nh ng năm g n đây t năm 2002 - 2014 h phương trình không m u m c thư ng xuyên xu t hi n trong các kỳ thi Olympic Toán, VMO, tuy n sinh Đ i h c - Cao đ ng Đây là m t lo i toán khó đòi h i h c sinh ph i v n d ng linh ho t, sáng t

o các ki n th c gi i tích, hình h c và lư ng giác

Tác gi ch n đ tài Lu n văn "M t s h phương trình không m u m c" nh m nghiên c u m t cách h th ng các h phương trình không m u m c và v n d ng chúng trong các đ thi qu c t và qu c gia Trong lu n văn "h phương trình không

m u m c" đư c hi u là h có ch a các l p hàm khác nhau (ch a căn, mũ và logarít,

lư ng giác ) ho c cách gi i c a chúng không th c hi n đư c b ng các bi n đ i thông thư ng c n v n d ng các phương pháp

so sánh, ư c lư ng Lu n văn g m 3 chương v i n i dung như sau

Chương 1 H phương trình cơ b n đưa ra các lo i h phương trình

thư ng g p trong chương trình ph thông và đ c p cách gi i t ng quát

Chương 2 M t s phương pháp gi i h phương trình đ c p các phương pháp

gi i h truy n th ng: phương pháp th và c ng đ i s , phương pháp đ t n ph ,

phương pháp lư ng giác hóa và các phương pháp gi i đ c bi t cho h không m u

m c: phương pháp s d ng tính ch t c a hàm s , phương pháp đánh giá

Chương 3 Gi i m t s h phương trình không m u m c trong chương này ch y

u gi i thi u các h phương trình không m u m c trong các kỳ thi qu c t và qu c gia

2

L i c m ơn

Tác gi xin g i l i c m ơn chân thành và sâu s c đ n PGS.TS Nguy n Xuân Th

o - m t ngư i th y t n tâm v i ngh , th y không ch là ngư i ch p bút cho tác gi hoàn thành xu t s c Lu n văn, mà th y còn cho tác gi ngh l c ph n đ u, m t cái nhìn khác v đ nh hư ng tương lai ngh nghi p

Tác gi xin g i l i c m ơn t i Ban giám hi u, phòng Đào t o Sau đ i h c Khoa Toán - Cơ - Tin h c, các th y cô đã tham gia gi ng d y cho l p Cao h c Toán niên khóa 2013 - 2015, các th y cô và anh ch c a Seminar "Phương pháp Toán sơ c p" trư ng Đ i h c Khoa h c T Nhiên, Seminar "Gi i tích" Vi n Toán tin và ng d ng trư

ng Đ i h c Bách Khoa Hà N i đã t o đi u ki n và giúp đ tác gi trong su t th i gian

h c t p và nghiên c u t i trư ng

Nhân đây tác gi cũng xin g i l i c m ơn các b n h c viên cao h c khóa 2013 -

2015, gia đình và b n bè đã luôn ng h khích l , t o m i đi u ki n thu n l i đ tác gi hoàn thành khóa h c và Lu n văn này M c dù tác gi đã c g ng r t nhi u nhưng k t

qu trong Lu n văn còn khiêm t n và khó tránh kh i nh ng khi m khuy t Tác gi mong nh n đư c s đóng góp quý báu c a các th y cô và các đ c gi đ Lu n văn hoàn thi n hơn

Hà N i, ngày 24 tháng 9 năm 2015

H c viên

Ph m Th Nh n

H phương trình cơ b n

Trong Chương này tác gi khái quát l i m t s h phương trình cơ b n trong

h th ng chương trình THPT, cùng phương pháp gi i t ng quát và các ví d

minh h a cho t ng d ng c th Các ví d trình bày đư c trích trong cu n "B i dư ng

h c sinh gi i môn Toán - Văn Phú Qu c", "Tuy n ch n và gi i h phương trình thư

ng g p trong các kỳ thi Đ i h c và Cao đ ng - Hà Văn Chương"

Chương 1 H phương trình cơ b n

D x

= 0(

D y

= 0)

⇒

h

vô ng

p Gauss

Nhân ho c chia m t phương trình nào đó

c a h v i m t s thích h p, đ khi c ng ho c tr các phương trình khác c a h ta s lo i d n

a x

=

c

−

m y

• D = 0⇔ m = 5 : h có nghi m duy nh t x =

D x , y = D y

2The

o yêu

c u

đ u bài

V y m < −5 ho c m

> −2 th a mãn yêu c u bài toán

23

1.1.2 H

ba phương

−

2

y y

+

−

z z

=

=

12

Chương 1 H phương trình cơ b n

V y nghi m c a h phương trình đã cho là (1;2;3)

1.2.1 H phương trình đ i x ng

a) H hai phương trình đ i x ng lo i 1

Nh n d ng Cho h phương trình f (x, y) = 0 g(x, y) = 0

N u khi ta đ i ch x và y cho nhau, t ng phương trình c a h không thay đ i,

t c là f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x) thì h đã cho đư c g i là h đ i x ng lo i 1 hai n Cách gi i

+ Bi n đ i h đã cho v h ch a x + y và xy

+ Đ t x + y = u, xy = v v i đi u ki n u2 − 4v ≥ 0

+ H đã cho tr thành đơn gi n hơn đ i v i các bi n u, v + Gi i h

đ i v i u, v thu đư c các giá tr u, v

Đ t u = x2 + y2, v = xy H phương trình tr thành

u+v =7

2 2 ⇔ u+v =7 ⇔ u=5

11

+

=9



x

3x

1

1 +

S3 − 3P S = 9

S3 − 3P S = 9 (1.1)

S

3

+3

S

2

+3

S

−

=

64

⇔

S

=3

⇒

P

=2

u

=

2 Su

hoc

x

=1

v=2 v

V y h phương trình đã cho có nghi m là 1; 1 ,

1; 1

88

7

Chương 1 H phương trình cơ b n

+ N u phương trình (1.3) có đúng 3 nghi m, thì h có đúng 6 nghi m + N

u phương trình (1.3) có đúng 2 nghi m thì h có đúng 3 nghi m

+ N u phương trình (1.3) có nghi m duy nh t (nghi m b i 3), thì h có nghi m duy

c) H hai phương trình đ i x ng lo i 2

Nh n d ng

Cho h g m 2 phương trình có hai n x và y Khi ta đ i ch x cho y và y cho x,

phương trình th nh t tr thành phương trình th hai và ngư c l i H như v y g i là h

đ i x ng lo i hai Cách gi i

+ Tr t ng v hai phương trình đư c phương trình h qu + Bi n đ

i phương trình h qu v phương trình tích

+ Ghép t ng phương trình c a phương trình h qu v i m t trong hai phương trình c

a h đã cho, đư c các h m i (là nh ng h không đ i x ng)

Chú ý ngoài quy t c gi i cơ b n trên, trong m t s trư ng h p đ c bi t h phương trình đ i s đ i x ng lo i 2 hai n đư c bi n đ i tương đương v h phương trình m i b

Chương 1 H phương trình cơ b n

M t khác, g(0) = 0 nên x = 0 nghi m duy nh t c a phương trình g(x) = 0 V y h phương trình đã cho có nghi m duy nh t là (0; 0)

H có d ng đ i x ng lo i hai 3 n là h khó Cách gi i ph i linh ho t, tùy theo t ng h

có nh ng đ c đi m khác nhau, ta ch n cách gi i cho phù h p

Ví d 1.7 (Đ thi vào trư ng Đ i h c Ngo i Thương 1996) Gi i h phương trình

Chương 1 H phương trình cơ b n

Do x > y > z⇒ f(x) > f(y) > f(z)⇒ z > x > y trái v i đi u gi s

Thay x = −1 vào (1.7) và (1.8) ta đư c

Các trư ng h p y = z ho c z = x làm tương t cũng đư c hai nghi m như trên TH2

Ba s x, y, z đôi m t khác nhau (x > y > z) Xét hàm s f(t) = t3 + t2 + t trên R

V y h không có nghi m (x; y; z) trong đó x, y, z đôi m t khác nhau

Các trư ng h p khác làm tương t , cũng đư c k t qu như trên (h vô nghi m) V y h

(vì y = 0 không là nghi m c a phương trình)

V i x + 1 = 0⇔ y = −2x th vào phương trình th nh t c a h ta đư c

y2

x2 − 4x2 + 12x2 = 9⇔ x2 = 1⇔ x = ±1⇒ y = ±2

12

Chương 1 H phương trình cơ b n

V i x + 3 = 0⇔ y = −8x th vào phương trình th nh t c a h ta đư c

+ Xét trư ng h p x = 0, y = 0, nhân t ng v c a hai phương trình ta đư c

(2x + 3y)(x2 + 2y2) = (x2 + 3xy + y2)(x + 2y)

Ch ng minh Không gi m t ng quát gi s x

H đư c vi t l i dư i d ng f (y) = z f (z) = x

D dàng ch ng minh đư c x = y = z th vào phương trình th nh t c a h ta

3 15

Ch ng minh tương t ta suy ra x = y = z

T đó suy ra h phương trình có nghi m (3; 3; 3)

1.2.4 H hai phương trình b c 2 t ng quát

H phương trình b c hai 2 n có d ng t ng quát

a1x2 + b1xy + c1y2 + d1x + e1y + f1 = 0 a2x2 +

b2xy + c2y2 + d2x + e2y + f2 = 0 Trong đó a

16

b) H ch a m t phương trình thu n nh t b c 2

N u m t trong hai phương trình c a h không ch a h ng t b c nh t và s

h ng t do, ch ng h n n u d1 = e1 = f1 = 0 thì h có th đưa v phương trình

b c hai b ng cách đ t y = tx r i thay vào phương trình thu n nh t đ tìm đư c

t, t đó thay vào phương trình th 2 đ tìm x, y tương ng

Phương pháp này cũng có th áp d ng đ gi i h g m 2 phương trình bán đ ng

c p b c hai

a1x2 + b1xy + c1y2 + f1 = 0 a2x2 +

b2xy + c2y2 + f2 = 0 Trong trư ng h p t ng quát, phép gi i h b c 2 hai n s d n đ n gi i m t

phương trình b c cao ≥ 4 Nhưng v i m t s h phương trình, ta có th đưa v h bán đ ng b

ng cách đ t x = u + a; y = v + b trong đó u, v là n m i

(phương pháp t nh ti n nghi m) Ta c n tìm h ng s a, b đ h ng t b c nh t hai

phương trình b tri t tiêu, như v y h thu đư c là h đ ng c p

Ví d 1.13 Gi i h phương trình

x2 + 3y2 + 4xy − 18x − 22y + 31 = 0 2x2 + 4y2+ 2xy + 6x − 46y + 175 = 0

phương trình cơ b n, đưa ra phương pháp gi i t ng quát và các ví d minh h a cho

t ng d ng Qua đây cho th y đ gi i m t h phương trình b t kỳ luôn đưa v các h cơ

b n b ng các công c và k thu t bi n đ i khác nhau

17

18

Chương 2 M t s phương pháp gi i h phương trình

Do x , y > 0 nên y = 3x Thay y = 3x vào phương trình (2.1) ta đư c

6x − 2 = 3x − y + 3y y

Chương 2 M t s phương pháp gi i h phương trình

Đi m m u ch t c a phương pháp này là ph i phát hi n n ph u = f(x, y) và v = g(x, y) ngay trong t ng phương trình c a h ho c sau các phép bi n đ i Thông thư ng các phép bi n đ i thư ng xoay quanh vi c c ng, tr 2 phương trình c a h ho c chia các v c a phương trình cho m t s h ng khác không có s n trong các phương trình c a h đ tìm ra nh ng ph n chung mà sau đó ta đ t thành n ph

Ví d 2.4 (VMO 2001, b ng B) Gi i h phương trình

√7x + y + 2x + y = 5 2x + y + x − y = 2

L i gi i Đi u ki n min{7x, 2x} ≥ −y

Đ t u = √7x + y, v = √2x + y H phương trình tr thành

u+v =5 v+x−y =2

(2.3) (2.4)

Nh n th y u2 − v2 = 5x K t h p v i (2.3) suy ra v = 5 − x

2Thay vào (2.4) ta đư c

5 − x + x − y = 2⇔ x = 2y − 1 2

L i gi i H phương trình tương đương

⇒ h phương trình vô nghi m

3

√

t

3 = 8 3

2.3 Phương pháp lư ng giác

Chú ý đ n m t s cách đ t n ph là hàm lư ng giác như sau

• N u bài toán ch a (x − a)(x − b) thì đ t x = a + (b − a) sin2 t

• N u bài toán có ch a xy + yz + zx = 1 thì ta đ t x = tan A , y = tan B , z =

C , A, B, C ∈ (0; π)

tan 2

Nh n xét

- L i th c a phương pháp này là đưa phương trình ban đ u v m t phương trình lư

ng giác cơ b n đã bi t cách gi i và đi u ki n nh n ho c lo i nghi m cũng d dàng hơn r t nhi u

- Ngoài ra, trong quá trình gi i bài t p chúng ta c n có s quan sát tinh t đ phát

hi n các h th c lư ng trong tam giác có liên quan đ n bài toán Đi u đó s thu n l i hơn cho chúng ta trong quá trình s d ng phương pháp này

T phương trình th nh t c a h phương trình suy ra x, y, z cùng d u

N u (x; y; z) là nghi m c a h thì (-x; -y; -z) cũng là nghi m c a h

24

Gi s x, y, z đ u dương Đ t x = tan A; y = tan B ; z = tan C , A, B, C ∈ (0; π)

Phương trình th hai c a h phương trình tr thành

tan A tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1

16x5 − 20x3 + 5x + 512y5 − 160y3 + 10y + 2 = 0

L i gi i Đ t t = 2y, thay vào h ta đư c

sin 5α = 16 sin5α − 20 sin3α + 5 sin α

cos 5α = 16 cos5α − 20 cos3α + 5 cos α

25

sin β − cos β − sin β cos β − 1 = 0 (2.8)

Đ t t = sin β − cos β; t ∈ [− 2; 2] Phương trình (2.8) tr thành

3 y = 1 ⇔

x=0 y=1

Nghi m này không th a mãn yêu c u đ u bài

V y h phương trình đã cho vô nghi m

x(z2 + 1) = 1 − z2⇔ x = 1 − z2 2

1+z

26

Đ nh lý 2.2 N u hàm s y = f(x) đ ng bi n (ho c ngh ch bi n) trên mi n xác đ nh và hàm s y = g(x) ngh ch bi n (ho c đ ng bi n) trên mi n xác đ nh thì s nghi m trên mi

n xác đ nh c a phương trình f(x) = g(x) không nhi u hơn m t

Đ nh lý 2.3 Cho hàm s y = f(x) có đ o hàm c p n và phương trình f(k)(x) = 0 có m

nghi m, khi đó phương trình f(k−1)(x) = 0 có nhi u nh t là m + 1 nghi m

Như v y, b n ch t c a v n đ chính là vi c phân tích

g(x) = h(y)⇔ f (p(x)) = f (q(y))

27

Sau đó ta s xét tính đ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm đ c trưng f(x) Trong đó đ ti n cho vi c đánh giá thì ta thư ng bi n đ i hàm đ c trưng f(x) thành m t

hàm đa th c Và đ làm đư c đi u đó chúng ta c n s d ng khéo léo các k thu t bi

n đ i, đ t n ph

Chú ý hàm s đ c trưng f(x) không có tính duy nh t, t c là n u t m t phương trình nào đó ta rút ra đư c m t hàm s đ c trưng thì ch c ch n còn có th tìm đư c hàm s th 2, v n đ chúng ta là làm sao tìm đư c m t hàm s đơn gi n v m t ý tư ng, cũng như đơn gi n trong vi c đánh giá (xét tính đơn đi u) c a nó trong bài toán

Chương 2 M t s phương pháp gi i h phương trình

Ví d 2.13 (Đ thi Đ i h c kh i A - 2010) Gi i h phương trình

√

(4x2 + 1)x +√y − 3) 5 − 2y = 0 ( 4x2 + y2 + 2 3 − 4x = 7

L i gi i Đi u ki n x ≤ 3, y ≤ 5

T phương trình th nh t c a h ta có

3 (5 − 2y)3 √5 − 2y (4x2 + 1)x = (3 − y)

8 cos3 u − 4 cos2 u − 4 cos u + 1 = 0

Nhân sinu vào 2 v c a phương trình ta thu đư c

 u= π



7u = 57π

V y h phương trình đã cho có nghi m

2 cos π ; 2 cos π ) , 2 cos 37π ; 2 cos 37π , 2 cos 57π ; 2 cos 57π

> 0, ∀t ∈π; 54π

⇒ f (t) đ ng bi n trên π; 54π

Khi đó (2.14) có d ng

f (x) = f (y)⇔ x = y

31

Thay x = y vào phương trình hai c a h ta đư c

g(x) ≥ a v i a là h ng s Nghi m c a phương trình là các giá tr x th a mãn f(x) = g(x) = a

2) Bi n đ i phương trình v d ng h(x) = m (m là h ng s ) mà ta luôn có h(x) ≥ m ho c

h(x) ≤ m thì nghi m c a phương trình là các giá tr x làm cho d u c a đ ng th c x y ra

M t s phương pháp hay đư c s d ng là đưa v bình phương đúng, s d ng tính đơn đi u c a hàm s đ đánh giá m t cách h p lý, s d ng m t s b t đ ng th c AM -

Chương 2 M t s phương pháp gi i h phương trình

Đ ng th c x y ra khi và ch khi các b s t l v i nhau

V ý tư ng, dùng b t đ ng th c trong phương trình và h phương trình là tương t Nhưng trong nhi u bài h , vi c đánh giá các n s ph c t p hơn nhi u

Đi u này mâu thu n V y trong trư ng h p này h vô nghi m

+ N u đúng hai trong các s x, y, z l n hơn 0 (gi s x, y > 0) thì ta có

2x3 + 1 > 0 > 3xz

Đi u này mâu thu n V y trong trư ng h p này h có nghi m

+ N u x, y, z < 0, gi s x = max{x, y, z} thì ta có

2x3 + 1 ≥ 2z3 + 1⇒ 3xz ≥ 3yz⇒ x ≤ y

Như v y x = y Ch ng minh tương t cu i cùng ta thu đư c x = y = z

Do đó trong trư ng h p này h có nghi m −1; −1; −1

222

V y h phương trình đã cho có nghi m là (1; 1; 1) ; −1; −1; −1

222

34

Chương 2 M t s phương pháp gi i h phương trình

Chương 2 M t s phương pháp gi i h phương trình

tr ng c a qu c t và qu c gia Qua m i ví d cho th y không có m t mô típ c

th cho các bài toán, đòi h i m t tư duy logic và sáng t o trong quá trình gi i

36

Chương 3

Gi i m t s h không m u m c

Trong ph n đ u c a Lu n văn đã gi i thi u v h phương trình, ta bi t r ng các bài

t p v h r t phong phú và đa d ng nên vi c v n d ng ki n th c, phương pháp gi i các

h đó ph i linh ho t và sáng t o Trong ph n này Lu n văn s trình bày m t s ví d đi

n hình xu t hi n trong các kỳ thi qu c t và qu c gia Tác gi chia thành 4 m c chính: h phương trình đ i s , h phương trình vô t , h phương trình ch a mũ và logarít, h phương trình h n h p cho ta th y d ng c a h không m u m c không tuân theo c u trúc c th nào cũng như vi c áp d ng phương pháp gi i đ c bi t đ i v i m t