một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực

Chuyờn bi dng HSG MATHVN.COM MT S PHNG PHP GII H PHNG TRèNH KHễNG MU MC H ỡnh Sinh I DNG BT NG THC Du hiu cho phộp ta s dng phng phỏp ny l thy s phng trỡnh h ớt hn s n Tuy nhiờn cú nhng h s phng trỡnh bng s n ta cng cú th s dng phng phỏp ny Vớ d 1: Gii h phng trỡnh nghim dng: ỡx + y + z = ù ù(1 + x )(1 + y)(1 + z ) = + xyz ợ ( ) ( Gii: VT = + x + y + z + ( xy + yz + zx ) + xyz + 3 xyz + 3 ( xyz)2 + xyz = + xyz ) Du = xy x=y=z=1 Vớ d 2: Gii h phng trỡnh: ỡ x +1 + x + + x + = y -1 + y - + y - ù 2 ù x + y + x + y = 80 ợ Gii: K: x -1;y Ta thy rng nu ta thay x=y-6 thỡ phng trỡnh th nht VT=VP Do ú, ta xột cỏc trng hp sau: Nu x>y-6 thỡ VT>VP Nu x z5 - z + 2z2 ị ( z - 1)( z + z + 2) < 1ử ổ Do z + z + = ỗ z - ữ + ( z + 1)2 + > nờn z1 ị x0 Gii h phng trỡnh ỡ xy = a ù yz = b ù zx = c ợ Gii: Do abc>0 nờn h ó cho tng ng vi Biờn son: Thy H ỡnh Sinh, T Toỏn, trng THPT Hựng Vng Chuyờn bi dng HSG MATHVN.COM ộỡ bc ờùz = a ờù ờù ab ù ờớ y = ộ ỡ xy = a c ờù ờù ờù yz = b ù x = ac ỡ xy = a ù b ờợ ù ù ợ xyz = abc ờ yz = b ỡ xy = a ờỡ bc ù( xyz )2 = abc ờù ợ ờùz = a yz = b ờù ờù ờù ab ù ợ xyz = - abc ờớ y = c ờù ờù ac ờù x = b ờù ởợ Vớ d 2: Gii h phng trỡnh ỡ x + y + xy = ù x + z + xz = ù y + z + yz = ợ (*) HD Gii: ỡ( x + 1)( y + 1) = ù (*) ớ( x + 1)( z + 1) = ù( y + 1)( z + 1) = ợ T õy cỏc em cú th gii tip mt cỏch d dng Vớ d 3: Gii h ỡ x + yz = x ù y + zx = y ù z + xy = z ợ (*) HD Gii: ỡ x + yz = x ỡ x + yz = x ù ù (*) x - y + yz - xz = x - y ớ( x - y)( x + y - z - 1) = ù x - z + yz - xy = x - z ù( x - z )( x + z - y - 1) = ợ ợ T õy cỏc em cú th gii tip mt cỏch d dng BI TP T RẩN LUYN: Gii cỏc h phng trỡnh sau: Bi 1: ỡ xy = ù a) yz = ù zx = ợ ỡ xy + x + y = 11 ù b) yz + y + z = ù zx + z + x = ợ ỡ xy + x + y = ù c) yz + y + z = -3 ù xz + x + z = -5 ợ ỡ xy + xz = ù d) yz + xy = ù xz + zy = -7 ợ Bi 2: Biờn son: Thy H ỡnh Sinh, T Toỏn, trng THPT Hựng Vng Chuyờn bi dng HSG MATHVN.COM ỡ x ( x + y + z ) = - yz ù a) y( x + y + z ) = - xy ù z( x + y + z ) = - xy ợ ỡ xy + y + x + = ù b) yz + z + y = ù xz + z + 3x = ợ ỡ x + xy + y = ù c) y + yz + z = ù z + zx + x = ợ Bi 3: ỡ x + yz = x ù a) y + zx = y ù z + xy = z ợ ỡ y - xz = b ù b)* z - xy = b (a,b ẻ R) ù x - yz = a ợ ỡx2 + y + z = ù c) y + x + z = ùz2 + x + y = ợ ỡxyz=x+y+z ùyzt=y+z + t ù d) ù ztx = z + t + x ùtxy = t + x + y ợ III PHNG PHP T N PH ụi bi toỏn s phc nu ta gii h vi n (x ,y ,z) nhng ch sau mt phộp t a=f(x), b=f(y); c=f(z) thỡ h s n gin hn Vớ d 1: Gii h phng trỡnh: ỡ x ( y + z )2 = (3x + x + 1) y z ù 2 2 y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z ù z ( x + y)2 = (5z + z + 1) x y ợ Gii: Nu x=0 suy c y=z=0 ị ( x; y; z) = (0;0;0) l nghim ca h Vi x 0; y 0; z chia c hai v cho x y z ta thu c ỡổ y + z ử2 1 ùỗ ữ = 3+ + x x ùố yz ứ ù 1 ùổ x + z ớỗ ữ = 4+ y + y ùố xz ứ ù ùổ x + y = + + ùỗ xy ữ z z2 ứ ợố x y t a = ; b = ; c = Ta nhn c z ỡ( a + b )2 = c + c + ù ù ớ( b + c ) = a + a + ù 2 ù( a + c ) = b + b + ợ (1) (2) (3) Ly (2)-(3) ta c: (a-b)[2(a+b+c)+1]=1 Ly (1)- (3) ta c: (b-c)[2(a+b+c)+1)=1 Suy a-b=b-c ị a+c=2b thay vo (3) ta c 3b2 - b - = T õy cỏc em cú th gii tip Vớ d 2: Gii h phng trỡnh sau: ỡ x ( + 21y ) = ù ù x ( y - 6) = 21 ợ Biờn son: Thy H ỡnh Sinh, T Toỏn, trng THPT Hựng Vng Chuyờn bi dng HSG MATHVN.COM HD: Nu gii h vi n (x;y) thỡ õy ta tht khú thy c c phng hng gii z ỡ z = 21y + ù ù y = 21z + ợ Nhng mi chuyn s rừ rng ta t x = Khi ú da v h õy l h i xng loi Cỏc em hóy gii tip Vớ d 3: Gii h phng trỡnh sau: 12 ỡ xy ùx + y = ù 18 ù yz = ùy + z ù xz 36 = ù ợ x + z 13 HD: Nghch o v ca tng phng trỡnh sau ú t n ph Vớ d 4: Gii h phng trỡnh sau: ỡ2 x + x y = y ù ớ2 y + y z = z ù2 z + z x = x ợ Gii: H ó cho tng ng vi: ỡ2 x = y(1 - x ) ù ớ2 y = z(1 - y ) ù2 z = x (1 - z ) ợ Khi x = 1; y = 1; z = khụng l nghim ca h trờn nờn h ó cho tng ng vi ỡ 2x ùy = - x2 ù 2y ù ớz = - y2 ù ù 2z ùx = - z2 ợ (1) (2) (3) pử ổ -p t x = tan a ; ỗ < a < ữ thỡ 2ứ ố 2 tan a = tan 2a - tan a tan 2a (2) z = = tan 4a - tan 2a tan 4a (3) x = = tan 8a = tan a - tan 4a ka ị tan a = tan 8a a = (k ẻ Z ) -p p -p ka p -7 0 ta cú g(x)>g(0)=0 Phng trỡnh (*) vụ nghim Vi x0 "x ẻ R x - x +1 x - x +1 Do ú g (x) l hm ng bin v nhn x = l nghim Vy h phng trỡnh cú nht nghim x = y = z = BI TP T RẩN LUYN: Gii cỏc h phng trỡnh sau: ỡ2 x + = y + y + y ù 1) ớ2 y + = z + z + z ù2 z + = x + x + x ợ ỡ y - x + 27 x - 27 = ù 2) z - y + 27 y - 27 = ù x - z + 27 z - 27 = ợ ỡ2x3 + x - 18 = y3 + y ù 3) ớ2 y + 3y - 18 = z + z (Olympic-2009) ù2 z + 3z - 18 = x + x ợ ỡx = y + y + y - ù 5) y = z + z + z - ùz = x + x + x - ợ ỡ y +1 ùx = + x ù ù z +1 ù 4) y = + (Olympic-2008) y ù ù ùz = + x + ù z ợ ỡ x + x + 3x - = y ù 6) y3 + y + 3y - = z ù z + z + 3z - = x ợ ỡ x3 + x - + ln( x2 - x + 1) = y ù ù Bi 7: y3 + 3y - + ln( y2 - y + 1) = z ù ù z + 3z - + ln( z - z + 1) = x ợ Biờn son: Thy H ỡnh Sinh, T Toỏn, trng THPT Hựng Vng 11 Chuyờn bi dng HSG MATHVN.COM Gii:Ta gi s (x,y,z) l no ca h Xột hm s f (t ) = t + 3t - + ln(t - t + 1) ta cú: f '(t ) = 3t + + 2t - > nờn f(t) l hm ng bin t - t +1 Ta gi s: x=Max{x,y,z} thỡ y = f ( x) f ( y) = z ị z = f ( y) f (z) = x Vy ta cú x=y=z Vỡ phng trỡnh x3 + x - + ln( x2 - x + 1) = cú nghim nht x=1 nờn h ó cho cú nghim l x=y=z=1 ỡ x2 - x + log (6 - y) = x ù ù Bi 8: Gii h: y2 - y + log3 (6 - z) = y (HSG QG Bng A nm 2006) ù ù z - z + log3 (6 - x) = z ợ ỡ x ùlog3 (6 - y) = ù x2 - x + ỡ f ( y) = g( x) ù y ù ù Gii: H ớlog3 (6 - z) = f ( z) = g( y) y - 2y + ù ù f ( x) = g( z) ợ ù z ùlog3 (6 - x) = ù z2 - z + ợ Trong ú f (t ) = log (6 - t ) ; g (t ) = Ta cú f(t) l hm nghch bin, g '(t ) = t t - 2t + 6-t (t - 2t + vi t ẻ (-Ơ;6) ) > "t ẻ (-Ơ;6) ị g(t) l hm b Nờn ta cú nu (x,y,z) l nghim ca h thỡ x=y=z thay vo h ta cú: log (6 - x) = x x - 2x + phng trỡnh ny cú nghim nht x=3 Vy nghim ca h ó cho l x=y=z=3 Ngi biờn son: H ỡnh Sinh Email: sinhqluu@gmail.com Gi ng www.mathvn.com Biờn son: Thy H ỡnh Sinh, T Toỏn, trng THPT Hựng Vng 12