MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

Sáng kiến MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC là một tài liệu hot dành tặng các em học sinh THPT chuẩn bị cho kì thi Đại học sắp tới. Tài liệu này giới thiệu đến các em học sinh cách nhìn nhận vấn đề nhanh chóng khi đứng trước một hệ phương trình, đặc biệt là những hệ phương trình không mẫu mực.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Người thực hiện: Mai Thị Bích Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán THANH HÓA NĂM 2015 A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình THPT học sinh biết số hệ phương trình: hệ phương trình bậc hai ẩn, hệ đối xứng loại 1; hệ đối xứng loại 2; hệ mũ, lôgarit Tuy nhiên thực tế giải hệ phương trình đề thi học sinh giỏi, đề thi trung học phổ thông quốc gia đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức; kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Chính lẽ nhiều học sinh bỏ qua câu giải hệ dẫn đến kết điểm thi hạn chế Từ thực tiễn đó; trình giảng dạy với tham khảo ý kiến đồng nghiệp; mạnh dạn đưa sáng kiến: “Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực ” Qua sáng kiến mong muốn phần giúp em học sinh định hướng cách quy hệ phương trình hệ quen thuộc phân tích toán để tìm cách giải B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận Trước hết tìm hiểu lại số hệ phương trình quen thuộc Hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ phương trình ẩn có phương trình bậc Hệ phương trình đối xứng loại Khi thay x y y x biểu thức phương trình không đổi, hệ phương trình không đổi Hệ phương trình đối xứng loại Khi thay x y y x pt thứ biến thành pt thứ hai ngược lại Hệ phương trình không đổi Hệ đẳng cấp: Hệ biến x ; y bậc đẳng cấp Trong giới hạn SKKN này; hướng dẫn học sinh số ví dụ hệ phương trình không mẫu mực với phương pháp mà chương trình sách giáo khoa chưa đề cập được: *) Phương pháp hàm số *) Phương pháp đánh giá *) Phương pháp: Phương trình bậc hai II Thực trạng vấn đề Trong chương trình sách giáo khoa hành phần hệ phương trình trình bày lớp 10 hạn hẹp, phần tập đưa sau học hạn chế Tương tự lớp 12 em làm số dạng đơn giản chủ yếu đưa hệ phương trình dạng học lớp 10 Như số tiết phân phối chương trình cho phần nên trình giảng dạy, giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh III Một số giải pháp: Phương pháp hàm số Nhận xét 1: Hàm số y = f(t) đồng biến ( nghịch biến) (a, b) , t1 , t ∈ (a, b) thì: f (t1 ) = f (t ) ⇔ t1 = t Nhận xét 2: Hàm số y = f(x) liên tục đồng biến ( nghịch biến) (a, b) Nếu x0 ∈(a; b) thỏa mãn f(x0) = x0 nghiệm pt f(x) =  f (u ) = f (v) Để sử dụng phương pháp cần phải biến đổi hệ có dạng  ,  f (u , v) = c f (t ) hàm số đơn điệu liên tục miền xác định suy u = v vào pt lại Ví dụ 1: ( Đề HSG 2015) Giải hệ phương trình 20 − x − 17 − y − x − x + y − y =  2 x + y + + 3 x + y + 11 = x + x + 13 Nhận thấy pt(1) có x − x ; Phân tích: (1) (x; y∈ R) (2) − x y − y ; − y ta nghĩ đến việc nhóm chúng lại để xuất dạng f(u) = f(v) Lời giải: ĐK: x ≤ 6; y ≤ 5;2 x + y + ≥ 0;3 x + y + ≥ (1) [ 3(6 − x) + ] − x = 3(5 − y ) + ] − y (3) Xét hàm số f(t) = (3t +2) t với ∀t ≥ f ’(t) = t + 3t + > với ∀t >0 => Hàm số f(t) đồng biến với ∀t ≥ t (3) – x = – y y = x – thay vào pt(2) 3x + + x + = x + x + 13 (*) ⇔ 2[ x + − ( x + 2)] + 3[ x + − ( x + 3)]=x + x −2 x( x + 1) x( x + 1) ⇔ − = x2 + x 3x + + x + 5x + + x + 3 ⇔ x( x + 1)[ + + 1] = 3x + + x + 5x + + x + ⇔ x( x + 1) = ⇔ x = 0; x = −1 ( Vì [ + + 1] > với x thuộc TXĐ 3x + + x + 5x + + x + Hướng dẫn học sinh giải pt (*) ta nhẩm nghiệm dò nghiệm SHIFT SOLVE FX 570ES: Có x = nghiệm ta tạo nhóm: x + = 2( x + 2);3 x + = 3( x + 3) ) Với x = y = - (tmđk) ; Với x = -1 y = - (tmđk) Vậy hệ có nghiệm: (0; -1) ; (-1; -2) Ví dụ 2: ( Đề ĐH Khối A 2012) Giải hệ phương trình:  x − 3x − x + 22 = y + y − y   2 x + y − x + y =  (1) (2) Phân tích: Nhận thấy pt(1) hệ số x y có bậc nhau; mặt khác biểu thức x3 - 3x2 y3 + 3y2 ta nghĩ đến việc biến đổi đẳng thức bậc Từ ta biến đổi để có dạng f(u) = f(v) Lời giải: (1) (x3 – 3x2 + 3x – 1) - 12x + 12= (y3 + 3y2 + 3y +1) – 12y -12 (x- 1)3 – 12(x – 1) = (y + 1)3 – 12(y+ 1) (3) Xét hàm số f(t) = t3 – 12t Ta cần tìm điều kiện t Từ (2) ta có: 1 1 (2) ( x − x + ) + ( y + y + ) = ( x − ) + ( y + ) = 4 2   ( x − ) ≤ − ≤ x − ≤ =>   ( y + ) ≤ − ≤ y + ≤   2 3 2 => t ∈ [ − ; ] 3 2 3 2 Ta có f ’(t) = 3t2 – 12 < ∀t∈ [ − ; ] => Hàm số nghịch biến [ − ; ] (3) x- 1= y +1 y = x – Thay vào (2) => 2x2 – 4x + 3 = x = ; x = 2 2 Vậy hệ có nghiệm: ( ; − ) ; ( ; − ) Ví dụ 3: (Đề thi HSG 2012) Giải hệ phương trình 2 x− y − x+ y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) x − y (1) ( ∀ x , y ∈ R )  ( 2) 3 y − 2( x − 1) + = Phân tích: Nhận thấy pt(1) nhiều lần (2 x − y ) ( x + y ) Ta nhóm chúng lại thấy pt có dạng f (u ) = f (v) Lời giải: Đk: x + y ≥ 0;2 x − y ≥ (1) ⇔ 22 x − y + (2 x − y) x − y = x + y + ( x + y) x + y , ∀x, y ∈ R (3) Xét hàm số f (t ) = 2t + t t , ∀t ≥ f ' (t ) = 2t ln + t + t t > , ∀t > => Hàm số f (t ) đồng biến t ≥ Từ pt (3) ta có (3) ⇔ x − y = x + y ⇔ x = y , thay vào (2) pt Đặt y + = 2(2 y − 1)3 (3) t = (2 y − 1) y = 2t − 1, pt (3) có dạng   y = (2t − 1) Trừ vế với vế hai pt , biến đổi ta ( ( t − y) [ 2(2 y − 1) + 2(2 y − 1)(2t − 1) + 2(2t − 1) + ] =0 t – y = t = y 2 (Vì g (t , y ) = [ 2(2 y − 1) + 2(2 y − 1)(2t − 1) + 2(2t − 1) + ] > 0, ∀y, t t = y ⇒ y = (2 y − 1)3 ⇔ y = ⇒ x = (tmđk) Vậy hệ có nghiệm: (2; 1) Bài tập Giải hệ phương trình sau:  x + + x − − y + = y  ( ĐH Khối A 2013)  x + x( y − 1) + y − y + =  x3 − x = y − y  x + y = ( x + 2) x + x + + y y + + x + y + =   x + y + = x − y + Phương pháp đánh giá Nhận xét 1: Để giải pt f(x) = g(x) phương pháp đánh giá Ta chứng minh: f(x) ≤ g(x) f(x) ≥ g(x) từ tìm điều kiện để xảy dấu Nhận xét : Nếu f ( x) ≤ m; ∀x ∈ D f , x0 ∈ D f f ( x0 ) = m g ( y ) ≥ m; ∀y ∈ Dg ; y0 ∈ Dg g ( y ) = m  x = x0 ⇒ f ( x) = g ( y ) = m ⇔   y = y0 Nhận xét 3: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy phương trình hệ có chứa Với hai số a, b không âm ta có: a+b ≤ ab Dấu xảy a = b Nhận xét 4: Sử dụng bất đẳng thức: Với số a; b; x; y ta có: (ax + by ) ≤ (a + b2 )( x + y ) Dấu xảy a b = x y Ví dụ 1: (Đề ĐH Khối A 2014) Giải hệ phương trình  x 12 − y + y (12 − x ) = 12   x − x − = y − (1) (2) Phân tích: Nhận thấy pt(1) đánh giá thức có y ; 12- x2 có 12- y Ở có tích a.b ta nghĩ đến bđt ab ≤ a + b2 làm đại lượng x; y triệt tiêu ĐK: −2 ≤ x ≤ 3;2 ≤ y ≤ 12 Lời giải: Ta có x 12 − y ≤ x + 12 − y y (12 − x ) ≤ y + 12 − x 2 => VT (1) ≤ 12  y = 12 − x (1)  x ≥ vào (2) ta (2) => x − x − + 2(1 − 10 − x ) = ( x − 3)[x + 3x + + ]=0 10 − x + Với x = => y = x = ( Vì [x + x + + ] > 0∀x ≥ 0) (tmđk) 10 − x + Vậy hệ có nghiệm: (3; 3)  x + y = (1) Ví dụ : Giải hệ phương trình  x 2 + x = y + x (2) Phân tích : Từ (1) ta có nhận xét x ≤ ; y ≤ Suy x ≥ x Từ ta đánh giá pt (2) Lời giải Từ (1) suy ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ (3) ⇒ x ≥ x2 x Do + x ≥ 20 + x ≥ 1+ x ⇔ y + x ≥ 1+ x ⇔ y ≥ (4) Kết hợp (3) (4) ⇒ y =1, thay vào x=1 Vậy hệ phương trình có nghiệm : (1; 1)  x + + y + + z + = Ví dụ : Giải hệ phương trình  (2)  x + y + z = Lời giải (1) ĐK: x ≥ -1; y ≥ - 1; z ≥ - VT (1) = x + + y + + z + Ta có (1 x + + y + + z + )2 ≤ 3( x+ +y +1 +z +1) Từ (2) có x + y +z = nên (1 x + + y + + z + )2 ≤ 36 => x +1 + y +1 + z +1 ≤ Dấu xảy hay (1) thỏa mãn x = y = z = (tmpt(2) hệ ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm : (3; 3; 3) Bài tập : Giải hệ phương trình sau  x + y =   x + y = xy  x + = x2 + y  x − 2x +   xy y + = y2 + x  y − 2y +  Phương pháp: Phương trình bậc hai Khi giải phương trình, hệ phương trình bậc cao thường nghĩ đến việc có đưa phương trình tích không; việc đưa tích thường gặp khó khăn có cách giải đưa phương trình bậc x ( phương trình bậc y) Giải phương trình tìm x theo y ( tìm y theo x) Hoặc tìm điều kiện ràng buộc x, y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 x + xy − y − x + y + =  2 x + y + x + y − = (1) (2) Phân tích: Nhìn vào pt(1) có tích xy bậc x y bậc hai, ta xem pt bậc hai ẩn x ẩn y Lời giải: 2 (1) y − ( x + 1) y − x + x − = (3) Coi pt (3) phương trình bậc ẩn y tham số x ∆ = ( x + 1) − 4(−2 x + x − 2) = (3 x − 3) ≥ với x∈ R => y = y= x + − (3 x − 3) ⇒ y = 2−x x + + (3 x − 3) ⇒ y = 2x − Với y = - x kết hợp (2) (x, y) = (1; 1)   Với y = 2x – kết hợp (2) ( x, y ) = (1;1);( x; y ) =  − ; − 13  ÷ 5  13  Vậy hệ có nghiệm (1;1);  − ; − ÷  5 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình  x + y + y − xy − =  (2) y − x = (1) Lời giải: 2 (1) ⇔ x − xy + y + y − = (3) Coi pt(3) phương trình bậc ẩn x, tham số y ∆' = y − (5 y + y − 3) = − y − y + Pt(1’) có nghiệm ⇔ ∆' ≥ ⇔ −3 ≤ y ≤ 10 ⇒ y3 ≤ ⇒ y − x ≤ pt(2) vô nghiệm ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  6 x + 15 y − 25 + y − − x + = 19 ( y − 2)( x + 1)  (2)  3 x + − y − = Phân tích: Pt(1) có (1) x + 1; y − 2; ( x + 1)( y − 2) ta nghĩ đến việc biến đổi biểu thức 6x +15y= 6(x+1) + 15(y- 2) +24 Tiếp đến không nên sử dụng phương pháp hàm số có tích ( x + 1)( y − 2) , ta nghĩ biến đổi để hệ đơn giản cách đặt ẩn phụ: a = x + ; b = y − Lời giải:  x ≥ −1 ĐK:  y ≥ (1) ⇔ 6( x + 1) + 15( y − 2) − + y − − x + = 19 ( y − 2)( x + 1) Đặt a = x +1 , b = (3) y − (a, b ≥ 0) ; pt(3) trở thành: 6a + 15b − + 2b − a = 19ab ⇔ 6a − (19b + 1) a + 15b + 2b − = (4) Coi pt(4) phương trình bậc ẩn a, tham số b ∆ = (19b + 1) − 4.6.(15b + 2b − 1) = (b − 5) => a = 3b + 5b − ; a= Với cách đặt pt(2) thành: 3a – 5b = (2’) Với a = 3b + kết hợp (2’) được: Với a = 5b − kết hợp (2’) a =  x = 3(tm) ⇒  b =   y = 3(tm) ⇒ Hệ vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm: (3; 3) Bài tập: Giải hệ phương trình sau 11 2  x − y − 2x + y =  2  2 x + y = 14 2   x + x + 2( y − 1) x + xy + y =    x + (2 x + y ) y = 2   x − xy + y + x =   8 y − x = IV Kết thực nghiệm Trong khuôn khổ viết đưa phương pháp ; với hướng dẫn giáo viên ; em học sinh tìm tòi lời giải cho toán Sau hướng dẫn em phương pháp thấy học sinh phấn chấn, tự tin gặp giải hệ phương trình em tự giác tìm cách phân tích toán để tìm lời giải Với học sinh lớp 12G dạy, chưa đưa cho em phương pháp kết học sinh giải 1/42 (2,4% ) Sau hướng dẫn em phương pháp số học sinh giải ví dụ 11/42 (26,2%) C KẾT LUẬN Hệ phương trình nội dung quan trọng chương trình môn toán lớp 10 nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại phần tương đối khó, phần mà nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài mong muốn phần giúp em có thêm số kỹ giải hệ phương trình, trình giảng dạy phát triển khả phán đoán ; tư duy, phân tích vấn đề học sinh Trong thời gian có hạn đề tài không tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tôi mong bổ sung góp ý đồng nghiệp để đề tài hoàn chỉnh có ý nghĩa Tôi xin chân thành cảm ơn 12 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2015 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Mai Thị Bích 13 [...]... tìm tòi các lời giải cho bài toán Sau khi hướng dẫn các em các phương pháp này tôi thấy học sinh phấn chấn, tự tin hơn khi gặp các bài giải hệ phương trình và các em tự giác tìm cách phân tích bài toán để tìm lời giải Với học sinh lớp 12G tôi dạy, khi chưa đưa ra cho các em phương pháp này thì kết quả học sinh giải được là 1/42 (2,4% ) Sau khi hướng dẫn các em phương pháp này số học sinh giải được các... dụ trong bài là 11/42 (26,2%) C KẾT LUẬN Hệ phương trình là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung Nhưng đối với học sinh lại là một phần tương đối khó, đây cũng là phần mà nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài của tôi mong muốn một phần nào giúp các em có thêm một số kỹ năng giải hệ phương trình, và trong quá trình giảng dạy sẽ phát triển khả năng phán... pt(2) vô nghiệm ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  6 x + 15 y − 25 + 2 y − 2 − x + 1 = 19 ( y − 2)( x + 1)  (2)  3 x + 1 − 5 y − 2 = 1 Phân tích: Pt(1) có (1) x + 1; y − 2; ( x + 1)( y − 2) ta nghĩ đến việc biến đổi biểu thức 6x +15y= 6(x+1) + 15(y- 2) +24 Tiếp đến không nên sử dụng phương pháp hàm số vì có tích ( x + 1)( y − 2) , ta nghĩ biến đổi để hệ đơn giản bằng cách... 3(tm) ⇒  b = 1   y = 3(tm) ⇒ Hệ vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm: (3; 3) Bài tập: Giải các hệ phương trình sau 11 2 2  x − y − 2x + 4 y = 3 1  2 2  2 x + 3 y = 14 4 3 2 2   x + x + 2( y − 1) x + xy + y = 0 2  4 2   x + (2 x + y ) y = 1 2 2   x − 2 xy + y + 2 x = 0 3  3 2  8 y − x = 1 IV Kết quả thực nghiệm Trong khuôn khổ của bài viết này tôi chỉ đưa ra 3 phương pháp ; cùng với sự hướng dẫn... hệ đơn giản bằng cách đặt ẩn phụ: a = x + 1 ; b = y − 2 Lời giải:  x ≥ −1 ĐK:  y ≥ 2 (1) ⇔ 6( x + 1) + 15( y − 2) − 1 + 2 y − 2 − x + 1 = 19 ( y − 2)( x + 1) Đặt a = x +1 , b = (3) y − 2 (a, b ≥ 0) ; pt(3) trở thành: 6a 2 + 15b 2 − 1 + 2b − a = 19ab ⇔ 6a 2 − (19b + 1) a + 15b 2 + 2b − 1 = 0 (4) Coi pt(4) là phương trình bậc 2 ẩn a, tham số b ∆ = (19b + 1) 2 − 4.6.(15b 2 + 2b − 1) = (b − 5) 2 => a... tích vấn đề ở học sinh Trong thời gian có hạn đề tài của tôi không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tôi rất mong được sự bổ sung và góp ý của đồng nghiệp để đề tài này được hoàn chỉnh và có ý nghĩa hơn Tôi xin chân thành cảm ơn 12 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2015 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác Mai Thị Bích 13