CHUYÊN đề PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HAY và KHÓ

Tập hợp các bài phương trình lượng giác hay và khó với những lời giản độc đáo, đơn giản. Đây sẽ là một tài liệu quý giã cho các em học sinh trung học phổ thông cũng như các em đang ôn đại học và sẽ là tài liệu Bồi dưỡng Học sinh giỏi quý giá cho các thầy cô

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình: + (sinx + cosx) + sin2x + cos2x = Phương trình cho tương đương với ( s inx + sin x) +  cos x + (1 + cos2 x)  = ⇔ ( s inx + 2s inx.cos x) + ( cos x + 2cos x) = ⇔ s inx( + cos x) + cos x( + cos x) =  cos x = − ⇔ ( + cos x)(s inx + cos x) = ⇔  s inx = − cos x 5π  5π x = ± + k 2π    x = ± + k 2π ⇔    x = − π + kπ  t anx = −1  ,k ∈ Z Vậy nghiệm phương trình là: x = ± 5π π + k 2π x = − + kπ với k ∈ Z π  2sin  − x ÷+ 2sin x + Bài Giải phương trình 3  = 4cos x cos x Với điều kiện : cos x ≠ , Phương trình cho tương đương : cos x + sin x + = 4cos x cos x ⇔ ( 2cos x − 1) + 2sin x cos x + cos x = 4cos x ⇔ cos x + sin x = 2cos x (vì cos x ≠ ) π  ⇔ cos  x − ÷ = cos x (1) 6  Giải phương trình (1) đối chiếu ĐK, kết luận nghiệm phương trình cho là: π k 2π π k 2π x=− + ; x= + 18 30 π  Bài Giải phương trình: cos x + cos 3x = + sin  x + ÷  ⇔ cos 2x cos x = + sin 2x + cos 2x 4 ⇔ cos 2x(2 cos x − 1) = + 2sin x cos x ⇔ (cos2 x − sin x)(2 cos x − 1) = (cos x + sin x)2  cos x + sin x = ⇔ (cos x − sin x)(2 cos x − 1) = cos x + sin x (1) (2)  π π π (1) ⇔ sin  x + ÷ = ⇔ x + = kπ ⇔ x = − + kπ 4 4   π  cos x = x = + kπ   (2) ⇔ cos x(cos x − sin x − 1) = ⇔  ⇔  π cos  x + ÷ =  π π  x + = ± + k2π 4   4 π π Vậy pt có nghiệm x = − + kπ , x = + kπ , x = k2π Bài Giải phương trình: cos3 x − cos x = ( + sin x ) sin x + cos x ĐK: sin x + cos x ≠ Khi PT ⇔ ( − sin x ) ( cos x − 1) = ( + sin x ) ( sin x + cos x ) ⇔ ( + sin x ) ( + cos x + sin x + sin x.cos x ) = ⇔ ( + sin x ) ( + cos x ) ( + sin x ) = sin x = −1 ⇔ cos x = −1 (thoả mãn điều kiện) π  x = − + k 2π  ⇔   x = π + m2π ( k , m ∈ Z) π Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = − + k 2π x = π + m2π ( k , m ∈ Z) Bài Giải phương trình 2sin x.cos x + sin x.cos x + = cos x + sin x + sin x TXĐ: D= R (1) ⇔ sin x.sin x − sin x + sin x.cos x − cos2x - ( sin x − 1) = ⇔ sin x ( s inx-1) + cos x ( s inx-1) − ( sin x − 1) = ⇔ ( s inx - 1) ( 2sin x.cosx - 2sin x ) = ⇔ 2sin x(cos x − sin x).(sin x − 1) =  sin x = 00000000 ⇔ x = kπ  cos x − sin x = 00 ⇔ x = π + kπ (k ∈ Ζ)   π sin x − = 00000 ⇔ x = + k 2π  Kết luận: …… + cos x − sin x = sin x + cos x cos x − sin x π ĐK: cos x − sin x ≠ ⇔ tan x ≠ ⇔ x ≠ + kπ Phương trình tương đương với π  + cos x +  π π 3    = sin x + cos x ⇔ cos x +  = cos x −  π 6 3    cos x +  6  π π π ⇔ x = + kπ ; x = +k 24 Bài Giải phương trình So sánh với đk ta nghiệm π  sin x sin  x +  + sin x + 3(cos x + 2) Bài Giải phương trình: 3  =1 − cos x Điều kiện cos x ≠ π ⇔ x ≠ ± + k 2π Phương trình tương đương với π  sin x sin  x +  + sin x + 3(cos x + 2) =1 − cos x 3  1 π π   ⇔  cos − cos2 x +  + sin x + cos x + =  2 3    ( ) π  ⇔ −2 cos2 x +  + sin x + cos x + = 3  π π   ⇔ −2 cos2 x +  +10 sin  x +  + = 3 6    π  π  2 ⇔ −2. 1 − sin  x +   +10 sin  x +  + =      π π π π  −1     ⇔ sin  x +  + sin  x +  + = ⇔sin  x +  = −2; sin  x +  = 6 6 6 6     ⇔ x = π + k 2π (1 + cos x + sin x) cos x + cos x = cos x tan x + ĐK: cos x ≠ tanx +1 ≠ Khi phương trình tương đương với cos x − sin x + ( sin x + cos x ) cos x + cos x − sin x = sin x + cos x Bài Giải phương trình: ( ( ) ) ⇔ (sin x + cos x ) cos x − cos x sin x + ( sin x + cos x ) cos x + cos x − sin x − = ⇔ sin x + cos x = 0(loai ) cos x − + (cos x − sin x) = ⇔ cos x + (cos x − sin x) = ⇔ (cos x − sin x)(cos x + sin x + 1) = Bài Giải phương trình (cos x + 1).(sin x − sin x − cos x − 2) = sin x.(1 − cos x)  x ≠ kπ s inx ≠   (k ∈ Z ) *ĐK:  π 1⇔ cosx ≠  x ≠ ± + k 2π * Ta có: (1) ⇔ (cos x + 1).(sin x − sin x − cos x − 2) = sin x − sin x (2) * Khi đó: (2) ⇔ (cos x + 1).(sin x − sin x − cos x − 1) − (cos x + 1) = sin x − sin x) ⇔ (cos x + 1).(sin x − sin x − cos x − 1) + (sin x − sin x − cos x − 1) = ⇔ (cos x + 2).(sin x − sin x − cos x − 1) = ⇔ sin x − sin x − cos x − = ⇔ (sin x + cos x + 1)(sin x + cos x − 2) = ⇔ sin x + cos x + =  x = π + k 2π π ⇔ cos( x − ) = − ⇔  x = − π + k 2π  (k ∈ ¢ ) π Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = − + k 2π (k ∈ ¢ ) Bài 10 Giải phương trình: cosx + 3(sin2x + sinx) - 4cos2x.cosx - 2cos x + = ⇔ cos x + cos x + s inx(2 cos x + 1) − cos x.cosx-2(2cos x − 1) = ⇔ cosx(2cosx+1)+ s inx(2 cos x + 1) − cos x(2 cos x + 1) = Phương trình: (  cos x + = ⇔  cosx+ s inx − cos x = 2π + k 2π ; cosx+ s inx − cos x = + cos x + = ⇔ x = ± + ⇔ cosx+ s inx=2 cos x cosx+ s inx= cos x 2 π  ⇔ cos  x − ÷ = cos x 3  ⇔ π   x = − + k 2π ; ⇔  x = π + k 2π ; k ∈ Z  ) ⇔ ( cos x + 1) cosx+ s inx − cos x = ( k ∈Z) , Nghiệm pt là: x=± 2π π + k 2π , k ∈ Z ; x = − + k 2π ; 3 Bài 11 Giải phương trình: x= π k 2π + ;k ∈Z 2017π   sin  x + ÷+ cos x   = cos x − cos x sin x + sin x tan x + 2017π   sin  x + ÷+ cos x   = cos x − cos x sin x + sin x tan x + −π π + kπ ; x ≠ + k π Điều kiện : x ≠ 2017π   sin  x + ÷+ cos x   = cos x − cos x sin 3x + sin x tan x + ⇔ ( + cos x − sin x ) cos x = cos x − cos x sin 3x + sin x π kπ  x = + ⇔ cos x ( + sin x ) = ⇔   x = −π + kπ  ( k ∈ Ζ) So sánh điều kiện phương trình có nghiệm : x = π + kπ , ( k ∈ ¢ ) Bài 12 Giải phương trình: tan x − tan x = ( sin x + sin x ) Giải phương trình: tan x − tan x = (sin x + sin x)(1) π mπ  x≠ +  cos x ≠   m∈Z DK :  ⇔ cos x ≠  x ≠ π + mπ  (1) ⇔ 6sin x = cos x cos x(sin x + sin x) ⇔ 6sin x = cos x cos x(4sin x cos x cos x + 2sin x cos x) ⇔ sin x(4 cos x cos 2 x + cos x cos x − 6) = ⇔ sin x (2 cos 2 x(1 + cos x) + cos x(1 + cos x) −  = ⇔ sin x(2 cos3 x + 3cos 2 x + cos x − 6) = ⇔ sin x(cos x − 1)(2 cos 2 x + 5cos x + 6) = sin x =  ⇔ cos x = ⇔ x = kπ (tm)k ∈ Z  cos x + 5cos x + = 0(VN ) Bài 13 Giải phương trình: sin x cos x + = + cot x sin x cos x kπ sin x cos x + cos 3x sin x sin x + cos x sin x sin x + cos x ⇔ = ⇔ = Pt sin x cos x sin x sin x sin x ⇔ cos x sin x = sin x + cos x ⇔ ( sin x + cos x )( sin x + cos x − 3) = tan x = −1  ⇔ 2 sin x + cos x − = ( ptvn ) π ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z Đk: sin x ≠ ⇔ x ≠ Bài 14 Giải phương trình: (tanx + 1)sin2x + cos2x + = 3(cosx + sinx)sinx π + kπ , k ∈ Z PT ⇔ (t anx -1) sin x + 3(cosx-sinx)cosx=0 ĐK: x ≠ (sinx – cosx)(2cos2x + 1) = π   x = + kπ  sin x = cosx π ⇔ ⇔  x = + kπ  cos x = −1    x = − π + kπ  (k ∈ ¢ ) π π Bài 15 Giải phương trình lượng giác sau: sin( − x) cos x cos x = cos 3( x − ) Đặt t = π − x Ta có pt: − sin t sin 2t sin 6t = cos 3t ⇔ sin t sin 2t.sin 3t cos 3t + cos 3t = ⇔ cos 3t = 0;4 sin t.sin 2t.sin 3t + = TH1: cos 3t = ⇔ x = π π +k 3 TH2: sin t sin 2t sin 3t + = ⇔ 2( cos 2t − cos 4t ) sin 2t + = ⇔ sin 4t − sin 6t + sin 2t = −3 (1) Vì sin 4t ≥ −1, sin 2t ≥ −1,− sin 6t ≥ −1 (1) tương đương với sin4t=sin2t=-sin6t=-1 Hệ vô nghiệm Vậy pt có nghiệm x = Bài 16 Giải phương trình π Đặt: t = x − ⇒ 3x = 3t + π Phương trình cho có dạng: π π +k 3 π  sin x − cos  x − ÷− 6  =0 sin x − π  sin  3t + ÷− cos t − cos 3t − cos t − 2  =0 ⇔ =0 π  cos 3t − sin  3t + ÷− 2  cos t ≠  Đk: cos 3t ≠ ⇔  cos t ≠ − Phương trình cho tương đương với:   cos t = −  3 ⇔ cos3t − 4cos t − = ⇔ 4cos t − cos t − = ⇔  cos t =    cos t = −  Đối chiếu điều kiện, ta có cos t = −1 ⇔ t = π + k 2π ⇒ x = KL: Phương trình có nghiệm x = Bài 17 Giải phương trình sau 7π + k 2π 7π + k 2π − 2sin x − 2sin x + cos x = cos2 x − ( + cos x ) 2sin x − 1 − 2sin x − 2sin x + cos x = cos2 x − ( + cos x ) 2sin x − ⇔ ( − 2sin x ) ( + cos x ) 2sin x − = cos x − − ( + cos x ) ⇔ −1 − cos x = cos x − − ( + cos x )   x = π + k 2π  cos x = −1  π  ⇔ cos x + − cos x − = ⇔ ⇔  x = + k 2π  cos x =    π  x = − + k 2π  ( ) Kết hợp điều kiện ta nghiệm x = π + k 2π ; x = − π + k 2π Bài 18 Giải phương trình: cosx + 3(sin2x +sinx)-4cos2x.cosx-2cos2 2x +2 = ⇔ cosx + 2cos2x + sinx(2cosx + 1) – 4cos2x.cosx – 2(2cos2 x – ) = ⇔ cosx(2cosx + 1)+ sinx(2cosx + 1)–2.cos2x(2cosx + 1) = ⇔ (2cosx + 1)(cosx + Nếu: *) sinx –2.cos2x) = 2cosx + = ⇒ x = ± 2π + k 2π , k ∈ Z 3 **) cosx + sinx –2.cos2x = ⇔ cos x + sin x = cos x ⇔ cos( x − π π π k 2π ) = cos x ⇔ x = − + k 2π ; x = + ;k ∈ Z , 3 Nghiệm pt : x = ± 2π π π k 2π + k 2π , k ∈ Z ; x = − + k 2π ; x = + ;k ∈ Z 3 Bài 19 Giải phương trình sin 3x + cos x − cos x + = 2sin x + ĐK: 2sin x + ≠ ⇔ sin x ≠ − Phương trình ⇔ sin x + cos x − cos x − sin x + = ⇔ sin x − sin x + cos x − cos x − cos x + = ⇔ sin x(1 − sin x) + cos x(3 − cos x) + 2(3 − cos x) = ⇔ sin x(4 cos x − 3) + cos x (3 − cos x ) + 2(3 − cos x) = ⇔ (4 cos x − 3)(sin x − cos x − 2) = ⇔ ( cos x − 1) ( sin x + cos x − ) = ♦ sinx – cosx – = 0: phương trình vô nghiệm π π + kπ x = − + kπ với k ∈ Z 6 π 5π Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương: x = + k 2π x = + k 2π với 6 k∈Z ♦ cos x − = ⇔ x = Bài 20 Giải phương trình: sin x ( + cos x ) − cos x.sin 2 sin x −1 x −3 =0 π  x ≠ + kπ   , k , l ∈ Z (*) Điều kiện: sin x ≠ ⇔   x ≠ 5π + lπ  Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: sin x ( + cos x ) − cos x.sin x −3 = ⇔ sin x + sin x.cos x − cos x ( − cos x ) − = ⇔2 ⇔ ( ( ) ( ) sin x − cos x − 3sin x − sin x.cos x + cos x = sin x − cos x )(  sin x − cos x = sin x − cos x − = ⇔   sin x − cos x = ) TH1: sin x − cos x = ⇔ cot x = ⇔ x = π + kπ , k ∈ Z π π π   TH2: sin x − cos x = ⇔  sin x cos − cos x sin ÷ = ⇔ sin  x − ÷ =  ⇔ x− 6  6 π π 2π = + k 2π ⇔ x = + k 2π , k ∈ Z Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình cho có họ nghiệm 7π 2π + k 2π , x = + k 2π , k ∈ Z Bài 21 Giải phương trình sin 3x = cos x cos x(tan x + tan x) x= π   x ≠ + kπ (*) Điều kiện  x ≠ π + k π   sin x sin x    sin x = cos x cos x + Phương trình viết lại:  cos x cos x  Hay cos x.sin 3x = sin x cos x + cos x.sin x cos x(3 sin x − sin x) = sin x(2 cos x − 1) + cos x sin x sin x (3 cos x − cos x sin x − sin x cos x + sin x − cos x ) = Nên: sin x = (a) Hay: cos x − cos x.sin x − sin x cos x + sin x − cos x = (b) Giải (a) : sin x = ⇔ x = kπ (thỏa mãn điều kiện (*) Giải (b): Vì cos x ≠ , chia hai vế cho cos x , ta phương trình π  x = + mπ  tan x =  tan x − tan x − tan x + = ⇔  ⇔  tan x = −1  x = − π + nπ  lọai đk(*) Kết luận : Phương trình có nghiệm : x = kπ Bài 22 Giải phương trình: 3sin x − cos x + − cos x − sin x = Phương trình cho tương đương: 3sin x − 2sin x cos x − cos x + − (1 − 2sin x) = 2sin x + 3sin x + − cos x(1 + 2sin x) = (sin x + 1)(2sin x + 1) − cos x(1 + 2sin x) = (2sin x + 1)(sin x − cos x + 1) =  sin x = − (1) ⇔  sin x − cos x + = (2) π   x = − + k 2π (1) ⇔  (k ∈ Z )  x = 7π + k 2π  π  (2) ⇔ sin  x − ÷ = −1 4   x = k 2π ⇔ (k ∈ Z )  x = 3π + k 2π  Kết luận: Các họ nghiệm phương trình là: x=− π 7π 3π + k 2π ; x = + k 2π ; x = k 2π ; x = + k 2π (k ∈ Z ) 6 Bài 23 Giải phương trình: cos 3x(2 cos x + 1) = PT (1) ⇔ cos 3x(3 − sin x) = (1) Nhận xét x = kπ (voi k ∈ Z ) không nghiệm phương trình ta có: cos 3x (3 − sin x) = ⇔ cos3 x(3sin x − 4sin x) = sin x ⇔ cos x sin x = sin x ⇔ sin x = sin x 6 x = x + m2π ⇔ 6 x = π − x + m2π 2mπ  x = ⇔  x = π + 2mπ  7 với m ∈ Z Xét 2mπ = kπ ⇔ 2m = 5k ⇔ m = 5t , với t ∈ Z Xét π 2mπ + = kπ ⇔ 1+2m = 7k ⇔ k = 2(m-3k)+1 7 hay k = 2l+1 ⇒ m = 7l+3, l ∈ Z Vậy phương trình có nghiệm: x = x= 2mπ (với m ≠ 5t ); π 2mπ + (với m ≠ 7l + ) m, t , l ∈ Z 7 [...]... = + k 2π , k ∈ Z 6 2 3 Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm 7π 2π + k 2π , x = + k 2π , k ∈ Z 6 3 Bài 21 Giải phương trình sin 3x = cos x cos 2 x(tan 2 x + tan 2 x) x= π   x ≠ 2 + kπ (*) Điều kiện  x ≠ π + k π  4 2  sin 2 x sin 2 x    sin 3 x = cos x cos 2 x + Phương trình được viết lại: 2  cos x cos 2 x  Hay cos x.sin 3x = sin 2 x cos 2 x + cos 2 x.sin 2 x... x = 0 (a) Hay: 3 cos x − 4 cos x.sin 2 x − 2 sin x cos 2 x + sin x − 2 cos 3 x = 0 (b) Giải (a) : sin x = 0 ⇔ x = kπ (thỏa mãn điều kiện (*) Giải (b): Vì cos x ≠ 0 , chia hai vế cho cos 3 x , ta được phương trình π  x = + mπ  tan x = 1  4 tan 3 x − tan 2 x − tan x + 1 = 0 ⇔  ⇔  tan x = −1  x = − π + nπ  4 lọai vì đk(*) Kết luận : Phương trình có nghiệm : x = kπ Bài 22 Giải phương trình: 3sin... = −1 4   x = k 2π ⇔ (k ∈ Z )  x = 3π + k 2π  2 Kết luận: Các họ nghiệm của phương trình là: x=− π 7π 3π + k 2π ; x = + k 2π ; x = k 2π ; x = + k 2π (k ∈ Z ) 6 6 2 Bài 23 Giải phương trình: 2 cos 3x(2 cos 2 x + 1) = 1 PT (1) ⇔ 2 cos 3x(3 − 4 sin 2 x) = 1 (1) Nhận xét x = kπ (voi k ∈ Z ) không là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có: 2 cos 3x (3 − 4 sin 2 x) = 1 ⇔ 2 cos3 x(3sin x − 4sin 3 x)... x + m2π ⇔ 6 x = π − x + m2π 2mπ  x = 5 ⇔  x = π + 2mπ  7 7 với m ∈ Z Xét khi 2mπ = kπ ⇔ 2m = 5k ⇔ m = 5t , với t ∈ Z 5 Xét khi π 2mπ + = kπ ⇔ 1+2m = 7k ⇔ k = 2(m-3k)+1 7 7 hay k = 2l+1 ⇒ m = 7l+3, l ∈ Z Vậy phương trình có nghiệm: x = x= 2mπ (với m ≠ 5t ); 5 π 2mπ + (với m ≠ 7l + 3 ) trong đó m, t , l ∈ Z 7 7 ...π  x ≠ + kπ  1  6 , k , l ∈ Z (*) Điều kiện: sin x ≠ ⇔  2  x ≠ 5π + lπ  6 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: 2 3 sin x ( 1 + cos x ) − 4 cos x.sin 2 x −3 = 0 2 ⇔ 2 3 sin x + 2 3 sin x.cos x − 2 cos x ( 1 − cos x ) − 3 = 0 ⇔2 ⇔ ( ( ) ( ) 3 sin x − cos x − 3sin 2 x − 2 3 sin x.cos... 3 x − tan 2 x − tan x + 1 = 0 ⇔  ⇔  tan x = −1  x = − π + nπ  4 lọai vì đk(*) Kết luận : Phương trình có nghiệm : x = kπ Bài 22 Giải phương trình: 3sin x − cos x + 2 − cos 2 x − sin 2 x = 0 Phương trình đã cho tương đương: 3sin x − 2sin x cos x − cos x + 2 − (1 − 2sin 2 x) = 0 2sin 2 x + 3sin x + 1 − cos x(1 + 2sin x) = 0 (sin x + 1)(2sin x + 1) − cos x(1 + 2sin x) = 0 (2sin x +