Chuyên đề lượng giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng thường không quá khó đối với các em học sinh, tuy nhiên bởi hệ thống công thức nhiều, khó nhớ thành thử nhiều em thấy khá lúng túng khi đứng trước một bài toán lượng giác. Chuyên đề này sẽ giúp các em ôn tập một cách hệ thống từ cơ bản đến trung bình và khó.
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác sin a + cos a = tan a.cot a = 1, a ≠ π , a ≠ + kπ ( k ∈ ¢ ) cos a 1 + cot a = , a ≠ kπ ( k ∈ ¢ ) sin a + tan a = π + kπ ( k ∈ ¢ ) 2 Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt a Cung đối: α − α cos ( −α ) = cosα tan ( −α ) = − tan α sin ( −α ) = − sin α cot ( −α ) = − cot α b Cung bù: α π − α sin ( π − α ) = sin α tan ( π − α ) = − tan α cos ( π − α ) = −cosα cot ( π − α ) = − cot α π −α c Cung phụ: α π sin − α ÷ = cosα 2 π cos − α ÷ = sin α 2 π tan − α ÷ = cot α 2 π cot − α ÷ = tan α 2 d Cung π : α ( α + π ) sin ( α + π ) = − sin α tan ( α + π ) = tan α cos ( α + π ) = −cosα cot ( α + π ) = cot α Công thức cộng sin ( a + b ) = sin a.cos b − cos a.sin b sin ( a − b ) = sin a.cos b + cos a.sin b cos ( a + b ) = cos a.cos b − sin a.sin b cos ( a − b ) = cos a.cos b + sin a.sin b tan a + tan b − tan a.tan b tan a − tan b tan ( a − b ) = + tan a.tan b tan ( a + b ) = Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a.cos a cos2a = cos a − sin a = cos a − = − 2sin a Công thức hạ bậc tan a = tan a − tan a + cos2a − cos2a tan a = + cos2a α Công thức tính theo t = tan 2 2t 1− t 2t a π sin a = cos a = tan a = ≠ + kπ , k ∈ ¢ ÷ 2 1+ t 1+ t 1− t 2 sin a = − cos2a cos a = Công thức nhân ba sin 3a = 3sin a − 4sin a cos3a = cos a − 3cos a Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a −b cos 2 a+b a −b sin a + sin b = 2sin cos 2 sin ( a + b ) π tan a + tan b = a, b ≠ + k π , k ∈ ¢ ÷ cos a.cos b cos a + cos b = cos tan 3a = tan a − tan a − tan a a +b a −b sin 2 a+b a −b sin a − sin b = 2cos sin 2 sin ( a − b ) π tan a − tan b = a, b ≠ + k π , k ∈ ¢ ÷ cos a.cos b cos a − cos b = −2sin Công thức biến đổi tích thành tổng cos ( a − b ) + cos ( a + b ) 2 sin a.sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b ) sin a.cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b ) cos a.cos b = 10 Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt 00 ( ) π 300 ÷ 6 3 ║ π 450 ÷ 4 2 2 1 π π 2π 3π 5π 600 ÷ 900 ÷ 1200 ÷ 135 ÷ 150 ÷ 180 ( π ) 3 2 3 2 2 1 − −1 − − 2 2 − −1 − ║ 1 − −1 − ║ 3 Chú ý: • • n với α = 00 ; 300 ; 450 ; 600 ; 900 ứng với n = 0; 1; 2; 3; a0 α = Công thức đổi từ độ sang radian ngược lại: 180 π sin α = B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sin x = a ⊕ a > : Phương trình vô nghiệm ⊕ a ≤1 x = α + k 2π sin x = sin α ⇔ ( k ∈¢ ) x = π − α + k 2π x = β + k 3600 sin x = sin β ⇔ ( k ∈¢ 0 x = 180 − β + k 360 x = arc sin a + k 2π sin x = a ⇔ ( k ∈¢ ) x = π − arc sin a + k 2π • • • ) f ( x ) = g ( x ) + k 2π Tổng quát: sin f ( x ) = sin g ( x ) ⇔ f ( x ) = π − g ( x ) + k 2π ( k ∈¢ ) * Các trường hợp đặc biệt π + k 2π ( k ∈ ¢ ) π ⊕ sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π ( k ∈ ¢ ⊕ sin x = ⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ ) ⊕ sin x = ⇔ x = ) Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a )sin x = sin π 12 c) sin x = b) sin x = − sin 360 d ) sin x = Giải π π x = + k 2π x = + k 2π π 12 12 a )sin x = sin ⇔ ⇔ ( k ∈¢ ) 12 x = π − π + k 2π x = 11π + k 2π 12 12 x = −360 + k 3600 x = −360 + k 3600 0 b) sin x = − sin 36 ⇔ sin x = sin −36 ⇔ ⇔ 0 0 x = 180 − −36 + k 360 x = 216 + k 360 x = −180 + k1800 ⇔ ( k ∈¢ 0 x = 108 + k180 π π 2π x = + k 2π x = +k π 18 c) sin 3x = ⇔ sin x = sin ⇔ ⇔ ( k ∈¢ ) 3 x = 5π + k 2π x = 5π + k 2π 18 x = arcsin + k 2π d ) sin x = ⇔ ( k ∈¢ ) x = π − arcsin + k 2π ( ) ( Phương trình cos x = a ⊕ a > : Phương trình vô nghiệm ⊕ a ≤1 ) ) cosx = cosα ⇔ x = ±α + k 2π ( k ∈ ¢ ) • cosx = cosβ ⇔ x = ± β + k 3600 ( k ∈ ¢ ) • cosx = a ⇔ x = ± arccosa + k 2π ( k ∈ ¢ ) • Tổng quát: cosf ( x ) = cosg ( x ) ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) + k 2π ( k ∈ ¢ ) * Các trường hợp đặc biệt ( k ∈¢ ) cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ¢ ) ⊕ cosx = ⇔ x = k 2π ⊕ ⊕ cosx = ⇔ x = π + kπ ( k ∈¢ ) Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a ) cos x = cos π ( 2 ) b) cos x + 450 = c)cos4 x = − ; d ) cos x = Giải π π ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) 4 x + 450 = 450 + k 3600 x = 450 + k 3600 b) cos ( x + 450 ) = ⇔ cos ( x + 450 ) = cos450 ⇔ ⇔ ( k ∈¢ ) 0 0 x + 45 = −45 + k 360 x = −90 + k 360 3π 3π 3π π c)cos4 x = − ⇔ cos4 x = cos ⇔ 4x = ± + k 2π ⇔ x = ± + k ,( k ∈¢ ) 4 16 3 d ) cos x = ⇔ x = ± arccos + k 2π , k ∈ ¢ 4 a ) cos x = cos Phương trình tan x = a ( k ∈¢ ) ⊕ tan x = t anβ ⇔ x =β + k1800 ( k ∈ ¢ ) ⊕ tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ ( k ∈ ¢ ) ⊕ tan x = t anα ⇔ x = α + kπ cos f ( x ) ≠ 0, cos g ( x) ≠ ( k ∈¢ f x = g x + k π ( ) ( ) Tổng quát: tan f ( x ) = tan g ( x ) ⇔ ) Ví dụ 3: Giải phương trình sau: a ) tan x = tan π b) tan x = − ( ) c) tan x − 200 = Giải π π ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) 3 1 π 1 1 b) tan x = − ⇔ x = arctan − ÷+ kπ ⇔ x = arctan − ÷+ k , ( k ∈ ¢ 4 3 3 a ) tan x = tan ( ) ( ) ) c) tan x − 200 = ⇔ tan x − 200 = tan 600 ⇔ x − 200 = 600 + k1800 ⇔ x = 800 + k180 ⇔ x = 200 + k 450 Phương trình cot x = a ( k ∈¢ ) ( k ∈¢ ) ⊕ cot x = cot β ⇔ x = β + k1800 ( k ∈ ¢ ) ⊕ cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ ( k ∈ ¢ ) ⊕ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ sin f ( x) ≠ 0,sin g ( x) ≠ ( k ∈¢ f ( x ) = g ( x ) + kπ Tổng quát: cotf ( x ) = cotg ( x ) ⇔ ) Ví dụ 4: Giải phương trình sau: a ) cot x = cot 3π b) cot x = −3 Giải 3π 3π π π ⇔ 3x = + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) 7 π b) cot x = −3 ⇔ x = arc co t ( −3 ) + kπ ⇔ x = arc cot ( −3) + k , ( k ∈ ¢ 4 a ) cot x = cot Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình sau: 1) sin ( x − 1) = sin ( 3x + 1) 3) tan ( x + 3) = tan 5) sin x = π 3 π 4) cot 450 − x = − 6) cos x + 250 = ( ) 8) cot ( x + ) = − 3 x 11) cos = − cos ( x − 300 ) π 4 2π 15) sin x − ÷ = cos x 17) sin x = − sin x 19) tan ( 3x + ) + cot x = 13) tan x = cot − x ÷ 10) sin ( x + 60 ) + sin x = 12) sin x − cos x = 14) sin x = cos3x 16) sin x = − cos x 21) 2sin x + sin x = 18) sin 2 x = sin 3x 20) sin x + cos5 x = 22) sin 2 x + cos2 x = 23) sin x.cos3 x = sin x.cos2 x 24) cos x − 2sin2 ) ( 7) sin x = sin x 9) tan ( x + 150 ) = π 2) cos x − ÷ = cos x + ÷ π 25) tan 3x + ÷cot ( x − π ) = π 27) sin cos x ÷ = 4 x =0 26) tan x.tan x = π 28) tan ( sin x + 1) = 4 ) −π π Bài 2: Tìm x ∈ ; ÷ cho: tan ( 3x + ) = 2 π π Bài 3: Tìm x ∈ ( 0;3π ) cho: sin x − ÷+ cos x + ÷ = 3 6 C MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phương trình bậc hàm số lượng giác: 1.1 Định nghĩa: phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình có dạng at + b = a, b số ( a ≠ ) t hàm số lượng giác 1.2 Phương pháp: Đưa phương trình lượng giác Ví dụ 5: Giải phương trình Giải a) b) c) d) π x = + k 2π π 2sin x − = ⇔ sin x = ⇔ sin x = sin ⇔ ( k ∈¢ ) x = 5π + k 2π −1 2π 2π π cos2 x + = ⇔ cos2 x = ⇔ cos2 x = cos ⇔ 2x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) ⇔ x = ± + kπ ( k ∈ ¢ 2 3 1 tan x − = ⇔ tan x = ⇔ x = arctan + kπ ( k ∈ Z ) 3 −1 2π 2π cot x + = ⇔ cot x = ⇔ cot x = cot ⇔x= + kπ ( k ∈ ¢ ) 3 1.3 Phương trình đưa phương trình bậc hàm số lượng giác: Ví dụ 6: Giải phương trình sau: cos x − sin x = Giải cos x − sin x = ⇔ cos x − 2sin x cos x = ⇔ cos x ( − 2sin x ) = π x = + kπ cos x = cos x = π ⇔ ⇔ ⇔ x = + l 2π ( k , l ∈ ¢ sin x = 1 − 2sin x = x = π + l 2π ) Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau: 29) cos x − = 30) tan x − = Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: 2.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng at + bt + c = , a, b, c số ( a ≠ ) t hàm số lượng giác ) 2.2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ t hàm số lượng giác đưa phương trình bậc hai theo t, giải tìm t, đưa phương trình lượng giác (chú ý điều kiện −1 ≤ t ≤ đặt t sin cos) Ví dụ 7: a) 2sin x + sin x − = b) cos x + 3cosx − = Giải a ) 2sin x + sin x − = 0(1) Đặt t = sin x , điều kiện t ≤ Phương trình (1) trở thành: t = ( nhân ) 2t + t − = ⇔ t = ( loai ) 2 Với t=1, ta sin x = ⇔ x = b) cos x + 3cosx − = ( ) π + k 2π ( k ∈ ¢ ) Đặt t = cosx , điều kiện t ≤ Phương trình (2) trở thành: −3 + 13 ( nhân ) t = 2 t + 3t − = ⇔ −3 − 13 ( loai ) t = −3 + 13 −3 + 13 −3 + 13 ⇔ x = ± arccos + k 2π ( k ∈ ¢ Với t = ta cosx = 2 ) 2.3 Phương trình đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác: Ví dụ 8: Giải phương trình sau: b)7 tan x − cot x = 12 a )3sin 2 x + cos x − = Giải ( ) a )3sin 2 x + cos x − = ⇔ − cos 2 x + cos x − = cos x = ⇔ 3cos 2 x − cos x = ⇔ cos x ( 3cos x − ) = ⇔ 3cos x − = π π π *) Giải phương trình: cos x = ⇔ x = + kπ ⇔ x = + k ( k ∈ ¢ ) *) Giải phương trình: 3cos x − = ⇔ cos x = Vì > nên phương trình 3cos x − = vô nghiệm π π Kết luận: nghiệm phương trình cho x = + k ( k ∈ ¢ b)7 tan x − cot x = 12 ( 1) ) Điều kiện: sin x ≠ cos x ≠ − 12 = ⇔ tan x − 12 tan x − = tan x t = tan x Đặt ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t − 4t − 12 = … Khi đó: ( 1) ⇔ tan x − Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau: 31) 33) 35) 37) 32) cos2 x + sin x + = 34) 2sin x + 5sinx – = 36) cos x + sin x − = 38) 24 sin x + 14cosx −21 = cos2 x − 3cos x + = cos x − cos x = 2cos2x + 2cosx - = tan x − (1 + 3) tan x =0 π π 2 39) sin x − ÷+ 2cos x − ÷ = 3 3 41) cos 3x.cos2x - cos x = ; 43) ( ) cosx 2sinx +3 − 2cosx -1 40) 4cos x −2( − 1)cosx + = 42) 5sinx - = ( 1-sinx ) t an x =1 44) 4cos3 x +3 sin 2x = 8cosx + sin 2x 17 4sin 2x + 6sin x - - 3cos2x cox 2x =0 ; 46) sin x + cos8 x = 45) 16 cosx Bài 47 Chứng minh phương trình: cosx + mcos x = có nghiệm với m Bài 48 Cho phương trình: cos x − (2m + 1)cosx + m + = a)Giải pt m = π 3π b)Tìm m để phương trình có nghiệm ( ; ) 2 Bài 49 : Cho phương trình sin x − m cos x − ( m + 1)sin x + m = a)Giải phương trình m = b)Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( 0;2π ) Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba sinx cosx 3.1 Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx phương 2 trình có dạng a.sin x + b.sin x cos x + c.cos x = d ( a, b, c ≠ ) 3.2 Phương pháp: Cách 1: ⊕ Kiểm tra x = ⊕ π + kπ có nghiệm không, có nhận nghiệm cos x ≠ chia hai vế cho cos x đưa phương trình bậc hai theo tan x : ( a − d ) tan x + b tan x + c − d = Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc công thức nhân đôi đưa phương trình bậc cos 2x sin 2x *Một số trường hợp đặc biệt a = c = đưa phương trình dạng tích Ví dụ 9: Giải phương trình sau a) 3sin2x- sinxcosx+2cos2x cosx=2 b) sin2x+3 sinxcosx-2cos2x=4 c) sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d) sin2x+6sinxcosx+2(1+ )cos2x-5- =0 Ví dụ 10: Giải phương trình sau a) sinx- 4sin3x+cosx=0 b) (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0 c) tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx) Ví dụ 11: Giải phương trình sau a) 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 b) 4cos3x+2sin3x-3sinx=0 c) cos3x= sin3x d) cos3x- sin3x= cosx+ sinx e) sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x f) sin3(x- π /4)= sinx Bài tập đề nghị: 50) 3sin x − 4sin x cos x+5cos x = 51) cos x − 3 sin x − 4sin x = −4 52) 25sin x + 15sin x + cos x = 25 53) 4sin x − 5sin x cos x − cos x = 54) 4sin x − 5sin x cos x = 55) 4sin x − cos x = 56) 4sin3x + 3cos3x - 3sinx - sin2xcosx = 57) 2cos3 x + 3cos x − 8sin x = π 2 58) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = 59) sin x + ÷ = sin x 4 3 cos x = 60) cos x − 5sin x + 7sin x − 5sin x cos x 61) 6sin x − 2cos x = 2cos x 62) cos x − sin x = cos3 x + sin x sin x 63) 3sin x − 2sin x + cos x = π 3 64) 12 sin x − ÷ = sin x 4 Phương trình bậc sin x cos x 4.1 Định nghĩa: Phương trình bậc sin x cos x phương trình có dạng a sin x + b cos x = c a, b, c ∈ ¡ a + b ≠ Ví dụ 12: Giải phương trình sau: sin x + cos x = 1; 3cos x − 4sin x = 4.2 Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a + b ta được: a a +b • Nếu • Nếu sin x + c a + b2 c a + b2 ( sin α = b a +b 2 cos x = c a + b2 > : Phương trình vô nghiệm ≤ đặt cosα = a a + b2 ⇒ cosα = a a + b2 b b a + b2 ) a + b2 Đưa phương trình dạng: sin ( x + α ) = ⇒ sin α = c a +b 2 (hoặc cos ( x − α ) = c a + b2 ) sau giải phương trình lượng giác Chú ý: Phương trình a sin x + b cos x = c a, b, c ∈ R a + b ≠ có nghiệm c ≤ a + b Ví dụ 13: Giải phương trình sau: a) sin x + cos x = 1; b) 3cos x − 4sin x = 1; Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau: 65) 2sin x − cos x = 66) 3sin x + cos x = 67) 3sin ( x + 1) + cos ( x + 1) = 68) 3cos x + 4sin x = −5 69) 2sin x − cos x = 70) 5sin x − cos x = 13 π 4 71) sin x + cos x + ÷ = 4 73) 3sin x − 6cos x = 58 72) sin x = cos x 74) 2sin x − cos x = − 75) cos x − sin x = 76) sin x + sin x = 78) sin x + cos x = 79) 3sin x + cos x = 2 80) 5cos x − 12sin x = 13 81) cos x − sin x = 82) Tìm m để pt : (m + 2)sinx + mcosx = có nghiệm 83) Tìm m để pt : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – vô nghiệm Phương trình đối xứng 5.1 Phương trình đối xứng loại Cách giải: a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c ⇒ at + b Đặt t = sin x+cosx t ≤ t −1 =c ⇔ bt2+2at-2c-b=0 Ví dụ 14 : Giải phương trình lượng giác sau : ( sin x + cos x ) + sin x + = sin x cos x = ( sin x − cos x − 1) π sin x + sin x − ÷ = tan x − 2 sin x = 4 sin x + cos3 x = ( + sin x ) ( + cos x ) = p 2sin x + ÷ = tan x + cot x ( sin x + cos x ) + sin x cos x − = 4 1+tanx=2sinx + cos x 11 (1+sin x)(1+cosx)=2 10 sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 12 1+sin3 2x+cos32 x= sin 4x 13 sinxcosx+ sin x + cos x =1 Bài tập đề nghị 84 ( sin x + cos x ) − 3sin x − = 85 cos3 x − sin x = cos x 3 86 sin x + cos x + ( sin x + cos x ) − 3sin x = 87 ( sin x − cos x ) = + sin x cos x 1 + =0 sin x cos x 89 ( − sin x ) ( sin x + cos x ) = cos x 88 sin x + cos x + + tan x + cot x + 10 π π )=sin2x sin( x + ) 4 3π x 4/ cosx-2sin( − )=3 2 3π x π 3x − )= sin( + ) 10 10 2 + sin x + tan x 3/ +2 =3 − tan x − sin x 7π 5/ cos( x − )=sin(4x+3 π ) 2/ sin( x − 1/ sin( 6/ 3cot2x+2 sin2x=(2+3 )cosx +5tanx+5cotx+4=0 cos x 1 9/sinx- cos2x+ +2 =5 sin x sin x 7/2cot2x+ 8/ cos2x+ 1 =cosx+ cos x cos x Giải phương trình LG cách thực phép biến đổi phức tạp Bài tập Giải phương trình ( ) π 1/ + − (16 − 2) cos x = 4cos x − 2/ cos 3x − x − 16 x − 80 =1 3/ 4/ 3cotx- tanx(3-8cos2x)=0 5cos x − cos x +2sinx=0 ( sin x + tan x ) − cos x = 5/ tan x − sin x 6/ sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x 7/tan2xtan23 xtan24x= tan2x-tan23 x+tan4x 8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x 9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) 10/ sin x + sin x = − sin x − cos x π π 2 11/cos2 sin x + cos x -1=tan2 x + tan x ÷ 4 ( π ) π 2π 3x π + ÷ ÷− sin 6 12/ cos − 12 ÷− sin − 12 ÷= sin − x x x Phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực 8.1.Phương pháp tổng bình phương Phương pháp nhằm biến đổi phương trình lượng giác dạng vế tổng bình phương số hạng (hay tổng số hạng không âm) vế lại không áp dụng tính chất: A = Ví dụ Giải phương A2 + B = ⇔ B = trình: tan x + sin x − tan x − sin x + = GIẢI 14 tan x + 4sin x − tan x − 4sin x + = ⇔ tan x − tan x + + 4sin x − 4sin x + = ⇔ ( tan x − 1) + (2sin x − 1) = tan x − = ⇔ 2sin x − = tan x = ⇔ sin x = π x = + mπ π ⇔ x = + 2nπ ( m, n ∈ Z ) 5π x = + 2nπ ĐS x = π + 2kπ (k ∈ Z ) Ví dụ 2: Giải phương trình: x − x cos x − sin x + = (1) GIẢI Ta có (1) ⇔ x − x cos x + cos x + sin x − sin x + = 2 ⇔ ( x − cos x) + (sin x − 1) = x − cos x = ⇔ sin x − = cos x = x ⇔ sin x = Phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: sin x + cos15 x = GIẢI 15 Ta có: sin x + cos x = ⇔ sin x + cos15 x = sin x + cos x ⇔ sin x(sin x − 1) = cos x(1 − cos13 x) (1) Vì sin x(sin x − 1) ≤ 0, ∀x Và cos x(1 − cos13 x) ≥ 0, ∀x sin x(sin x − 1) = ⇔ Do (1) cos x(1 − cos13 x) = 15 sin x = sin x = ±1 ⇔ cos x = cos x = x = mπ x = π + mπ ⇔ ( m, n ∈ Z ) π x = + nπ x = 2nπ ĐS x = π + kπ hay x = 2kπ (k ∈ Z ) 8.2 Phương pháp đối lập Phương pháp xây dựng tính chất: Để giải phương trình f ( x) = g ( x) , ta nghĩ đến việc chứng minh tồn A ∈ R: f ( x) ≥ A, ∀x ∈ (a, b) g ( x) ≤ A, ∀x ∈ ( a, b) đó: f ( x) = A f ( x) = g ( x) ⇔ g ( x) = A Nếu ta có f ( x) > A g ( x) < A , ∀x ∈ (a, b) kết luận phương trình vô nghiệm Ví dụ1 Giải phương trình: cos x + x = GIẢI cos x + x = ⇔ x = − cos x Vì − ≤ cos x ≤ nên ≤ x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ −π π , ⇒ cos x > 0, ∀x ∈ [ − 1,1] ⇒ − cos x < 0, ∀x ∈ [ − 1,1] mà [ − 1,1] ⊂ 2 Do x > − cos x < nên phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cho vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình: sin1996 x + cos1996 x = (1) GIẢI (1) ⇔ sin 1996 x + cos1996 x = sin x + cos x ⇔ sin x(sin 1994 x − 1) = cos x(1 − cos1994 x) (2) sin x ≥ ⇒ sin x (sin 1994 x − 1) ≤ 0, ∀x Ta thấy 1994 sin x ≤1 cos x ≥ ⇒ cos x(1 − cos1994 x) ≥ 0, ∀x Mà 1994 x≥0 1 − cos 16 x = mπ sin x = x = π + mπ 1994 sin x(sin x − 1) = sin x = ±1 ⇔ ⇔ (m, n ∈ Z ) Do (2) ⇔ cos x(1 − cos1994 x) = cos x = π x = + nπ cos x = ±1 x = nπ π Vậy nghiệm phương trình là: x = k (k ∈ Z ) Áp dụng phương pháp đối lập, ta suy cách giải nhanh chóng phương trình lượng giác dạng đặc biệt đây: • sin ax = sin bx = sin ax sin bx = ⇔ sin ax = −1 sin bx = −1 • sin ax = sin bx = −1 sin ax sin bx = −1 ⇔ sin ax = −1 sin bx = Cách giải tương tự cho phương trình thuộc dạng: cos ax cos bx = cos ax cos bx = −1 sin ax cos bx = sin ax cos bx = −1 8.3 Phương pháp đoán nhận nghiệm chứng minh tính nghiệm Tuỳ theo dạng điều kiện phương trình, ta tính nhẩm nghiệm phương trình, sau chứng tỏ nghiệm cách thông sụng sau: • Dùng tính chất đại số • Áp dụng tính đơn điệu hàm số Phương trình f ( x) = có nghiệm x = α ∈ (a, b) hàm f đơn điệu (a, b) f ( x) = có nghiệm x = α Phương trình f ( x) = g ( x) có nghiệm x = α ∈ (a, b) , f (x) tăng (giảm) (a, b) , g (x) giảm (tăng) (a, b) phương trình f ( x) = g ( x) có nghiệm x = α Ví dụ : Giải phương trình: cos x = − x2 với x > GIẢI Ta thấy phương trình có nghiệm x = 17 x2 Đặt f ( x) = cos x + − biểu thức hàm số có đạo hàm f ' ( x) = − sin x + x > 0, ∀x > (vì x > sin x , ∀x ) ⇒ Hàm f đơn điệu tăng ( 0,+∞ ) ⇒ f ( x ) = có nghiệm ( 0,+∞ ) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: sin x + tan x − x = với ≤ x ≤ π Giải Dễ thấy phương trình có nghiệm x = π Đặt f ( x) = sin x + tan x − x liên tục 0; Có đạo hàm: f ' ( x) = 2 (cos x − 1)(cos x − cos x − 1) π ≥ , ∀x ∈ 0; cos x 2 1− 1+ < ≤ cos x ≤ < ⇒ cos x − cos x − < 2 π ⇒ f đơn điệu tăng 0; 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 8.4 Sử dụng bất đẳng thức Ví dụ : Giải phương trình: (tan x + cot x) n = cos n x + sin n x (n = 2,3, 4, ) Ví dụ 2: Giải phương trình: cos x 1 − + cos x − = (1) cos x cos 3x GIẢI cos x > cos 3x > Điều kiện: Khi (1) ⇔ cos x − cos x + cos 3x − cos 3x = 1 Vì a − a + = (a − ) ≥ ⇒ a − a ≤ 1 cos 3x − cos 3x ≤ 4 1 ⇒ cos x − cos x ≤ cos x − cos x ≤ 2 1 cos x − cos x = cos x = ⇔ ⇔ x∈∅ Dấu xảy ⇔ cos x − cos x = cos x = Do cos x − cos x ≤ 18 Vậy phương trình (1) vô nghiệm Bài tập đề nghị Bài 1: Giải phương trình sau: 1) sin x + cos x = − sin x 3) ( cos x − cos x ) = + sin 3x 2) sin x + tan x − x = với ≤ x ≤ 4 4) cos x − sin x = cos x + sin x Bài 2: Giải phương trình: 1) x − sin xy + = 3) 2cosx+ sin10x=3 +2sinxcos28x 4) cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 6) π sin x π 2) cos3x+ − cos 3x =2(1+sin22x) 5) 8cos4xcos22x+ − cos 3x +1=0 = cos x 7) - 8) ( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x 9) ( x2 =cosx E- CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài Giải phương trình sau: 1) (1 + tanx)cos3x + (1 + cotx)sin3x = 2sin2x 2) tan2x - tanxtan3x = 3) - 3sin x - 4cosx = - 2cosx 4) cos3xtan5x = sin7x 5) tanx + cotx = sin x 6) + 2cosx = + sinx 7) 2tanx + cotx = + sin2x 8) tanx + cotx = 2(sin2x + cos2x) 9) 2sin3x(1 - 4sin2x) = cot x - tan x = 16(1 + cos4x) 10) cos2x 11) cosx.cos2x.cos4x.cos8x = 16 12) cos10x + cos 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x 13) sin2xcosx = + cos3xsinx 6 14) sin x + cos x = cos4x π π 15) sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x) sinxcot5x =1 16) cos9x 17) sin3xcos3x + cos3xsin3x = sin34x 19 ) 1 − cos x + + cos x cos x = sin x 1 = 2cos3x + sinx cosx 19) cos3xcos3x + sin3xsin3x = 4 sin x + cos x = (tanx + cotx) 20) sin x 21) + tanx = 2 sinx 22) cosx - sinx = cos3x 23) sin x - 2cos x = 2 + 2cos2x 24) (2cosx - 1)(sinx + cosx) = π 25) 2sin(3x + ) = + 8sin2xcos 2x Bài Giải phương trình sau: x x 1) sin4 ÷ + cos4 ÷ = 3 3 3 2) 4sin x + 3cos x - 3sinx - sin2xcosx = 3) cos3x - sin3x - 3cosxsin2x + sinx = (1 - cosx) + (1 + cosx)2 + sinx - tan xsinx = + tan x 4) 4(1 - sinx) 18) 2sin3x - 5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 6) cos6x + sin6x = 16 Bài Giải phương trình sau: cos x + 3cot2x + sin4x =2 1) cot x - cos2x cosx(2sinx + 2) - 2cos x - 3) =1 + sin2x 5) cos2x + sin2x 2cosx + = 7) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 4sin 2x + 6sin x - - 3cos2x =0 2) cosx 4) sin4x = tanx 6) sin3x + 2cos2x - = 8) + cos2x + 5sinx = 10) 4cos3x + sin2x = 8cosx 9) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x) Bài Giải phương trình lượng giác 1) cosx + sinx = cosx + 3sinx + 2) 3sin3x - cos9x = + 4sin33x 3) cos7xcos5x - sin2x = - sin7xsin5x 4) 4sin2x - 3cos2x = 3(4sinx - 1) 5) 4(sin4x + cos4x) + sin4x = 20 6) 4sin3x - = 3sinx - cos3x 7) sin2x + cos2x = 8) 2 (sinx + cosx)cosx = + cos2x 9) cos2x - sin2x = + sin2x Bài Giải phương trình 1) sin3x sin2x = 2sinxcos2x 2) sin22x + cos28x = cos10x 3) (2sinx + 1)(2sin2x - 1) = - 4cos2x x 3x x 3x 4) cosxcos cos - sinxsin sin = 2 2 5) tanx + tan2x - tan3x = 6) cos3x + sin3x = sinx - cosx 7) (cosx - sinx)cosxsinx = cosxcos2x 8) (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = - 4cos2x 9) 2cos3x + cos2x + sinx = 10) sin3x - sinx = sin2x cos x = + sin x 11) − sin x 12) sinx + sin2x + sin3x + sin4x + sin5x + sin6x = x x 13) cos4 - sin4 = sin2x 2 14) - 4cos x = sinx(2sinx + 1) 15) 2sin3x + cos2x = sinx 16) sin2x + sin22x + sin23x = 17) cos3x + sin3x = sinx - cosx 18) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 19) sin2x = cos22x + cos23x 20) sin23x - sin22x - sin2x = 21) + sinx + cosx = sin2x + cos2x = 22) 2sin3x - sinx = 2cos3x - cosx + cos2x 23) 2sin3x - cos2x + cosx = 24) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 25) 2cos2x = (cosx - sinx) 26) 4cos3x + sin2x = 8cosx 27) sin3x + sin2x = 5sinx Bài Giải phương trình sau: sin3x - sinx 1) = cos2x + sin2x - cos2x với < x < 2π 21 2) sin(2x + 5π 7π ) - 3cos(x ) = + 2sinx 2 3) cos7x - sin7x = - π < x < 3π 2π 6π [...]... Giải phương trình: x π π 3x π π cos − ÷+ cos − x ÷+ cos − ÷+ sin 2 x − ÷ = 0 2 6 3 2 2 6 Bài 37: Giải phương trình: Bài 38: Giải phương trình: Bài 39: Giải phương trình: Bài 40: Giải phương trình: Bài 41: Giải phương trình: Bài 42: Giải phương trình: Bài 43: Giải phương trình: Bài 44: Giải phương trình: Bài 45: Giải phương trình: Bài 46: Giải phương trình: Bài 47: Giải phương. .. dạng phương trình lượng giác, một số phương pháp giải kèm theo hệ thống bài tập tự luyện và các phương trình lượng giác trong các đề thi đại học Muốn giải tốt các bài tập dạng này học sinh phải nắm vững kiến thức lượng giác và giải nhiều bài tập để tự rút ra kinh nghiệm riêng cho bản thân mình Chuyên đề còn nhiều thiếu sót, kính mong quý thầy cô góp ý, rút kinh nghiệm và có những ý kiến quý báu để chuyên. .. cos3x + sin 3 x sin 3x = 2 4 cot x + 3 + tan x + 2cot 2 x = 3 23 Bài 29: Giải phương trình: π 2 cos2 − 3 x ÷− 4 cos 4 x − 15sin 2 x = 21 4 Bài 30: Giải phương trình: (1 − 4sin2 x )sin 3 x = Bài 31: Giải phương trình: Bài 32: Giải phương trình: Bài 33: Giải phương trình: Bài 34: Giải phương trình: Bài 35: Giải phương trình: 1 2 1 sin x + sin 2 x = 1 + cos x + cos2 x 2 3sin x + 3tan x − 2 cos x... 5 − 12 ÷= 2 sin 5 − 3 x x x 8 Phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực 8.1 .Phương pháp tổng bình phương Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất: A = 0 Ví dụ 1 Giải phương A2 + B 2 = 0 ⇔ B = 0 trình: 3 tan 2 x + 4 sin 2 x − 2 3 tan x −... Bài 49: Giải phương trình : ( 1 − tan x ) ( cos 2 x + 4sin 2 x − 1) = cos2 x + 7sin 2 x − 7 Bài 50: Giải phương trình: Bài 51: Giải phương trình: cos2 x π − tan x + 2 sin(2 x − ) = 0 1 + cot x 4 sin 2 x cos2 x + = tan x − cot x cos x sin x 2 Bài 52: Giải phương trình: cos x.(cos x − 1) = 2(1 + sin x ) sin x + cos x 24 Bài 53: Giải phương trình: Bài 54: Giải phương trình: Bài 55: Giải phương trình: Bài... cos4 x Bài 63: Tìm nghiệm của phương trình: 2 cos 4 x − ( 3 − 2) cos2 x = sin 2 x + 3 , biết x ∈ [ 0; π ] Bài 64: Giải phương trình: Bài 65: Giải phương trình: Bài 66: Giải phương trình: Bài 67: Giải phương trình: Bài 68: Giải phương trình Bài 69: Giải phương trình: Bài 70: Giải phương trình: x 4 cos3 x cos x − 2 cos 4 x − 4 cos x + tan tan x + 2 2 =0 2sin x − 3 cos2 x.(cos x − 1) = 2(1 + sin x ) sin... π tan x − ÷tan x + ÷.sin 3 x = sin x + sin 2 x 6 3 Bài 22: Giải phương trình : 1 8 21π 2 cos x + cos 2 ( x + 3π ) = + sin 2( x − π ) + 3cos x + 3 3 2 Bài 23: Giải phương trình: Bài 24: Giải phương trình: Bài 25: Giải phương trình: Bài 26: Giải phương trình: Bài 27: Giải phương trình : Bài 28: Giải phương trình: sin 2 x + sin x − 1 2 ÷+ s in x 3 1 1 − = 2cot 2 x 2sin x sin 2 x... 1 =− 8 Bài 16: Giải phương trình: tan x − π tan x + π ÷ ÷ 6 3 π π Bài 17: Giải phương trình: sin 3x − ÷ = sin 2 x sin x + ÷ 4 4 Bài 18: Giải phương trình: Bài 19: Giải phương trình: cos2x + cosx + sin3x = 0 cos 3 x − cos 2 x + cos x = 1 2 Bài 20: Tìm tổng tất cả các nghiệm x thuộc [ 2; 40] của phương trình: sinx – cos2x = 0 Bài 21: Giải phương trình: π π tan... Giải phương trình: cotx - 1 = + sin2x - sin2x (Khối A-03) 1 + tanx 2 x π x 4) Giải phương trình: sin2( - )tan2x - cos2 = 0 (Khối D-03) 2 4 2 5) Giải phương trình: (2cosx - 1)(sinx + cosx) = sin2x – sinx (Khối D-04) 6) Giải phương trình: cos23xcos2x - cos2x = 0 (Khối A-05) π π 3 7) Giải phương trình: cos4x + sin4x + cos(x - )sin(3x - ) - = 0 (Khối D-05) 4 4 2 8) Tìm nghiệm trên khoảng (0 ; π) của phương. .. =0 2sin x + 3 Bài 11: Tìm nghiệm của phương trình: cos x + cos 2 x + sin 3 x = 2 thoả mãn : x −1 < 3 3sin 2 x − 2sin x =2 sin 2 x.cos x 7 1 3x Bài 13: Giải phương trình: 4cos4x – cos2x − cos 4 x + cos = 2 4 2 Bài 12: Giải phương trình. : Bài 14: Giải phương trình: cos 2 x ( cos x − 1) sin x + cos x x 2 = 2 ( 1 + sin x ) π x − ÷ 4 2 x 2 2 2 Bài 15: Giải phương trình: 1 + sin sin x − cos sin x = 2cos