một số tính chất của môđun minimax

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thanh Phương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Thanh Phương MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập nghiên cứu trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ tận tình nhà trường, quí Thầy cô, gia đình bạn bè, hoàn thành chương trình học luận văn Tôi vô biết ơn Trước hết, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Khoa toán tin Phòng sau đại học trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thực tốt luận văn Tôi xin gửi lời biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy hướng dẫn PGS TS Trần Tuấn Nam, Thầy tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ thời gian qua Dù cố gắng thực luận văn tâm huyết hạn chế ngoại ngữ thân làm luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đóng góp chân thành quí Thầy cô bạn TP Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 09 năm 2013 Người thực Nguyễn Thị Thanh Phương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC KÍ HIỆU TOÁN HỌC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết iđêan nguyên tố đối liên kết .7 1.2 Mở rộng cốt yếu 1.3 Môđun căn, đơn - môđun đế 10 1.4 Môđun coatomic 13 1.5 Số chiều .14 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX 16 2.1 Dãy điều kiện môđun U cho Soc(M/U)=0 16 2.2 Điều kiện môđun 21 2.3 Chuyển đổi đối ngẫu M0 = HomR(M, E) 25 2.4 Điều kiện max môđun .31 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 KÍ HIỆU TOÁN HỌC R Vành noether giao hoán 𝑅� Vành đầy đủ vành địa phương R RS Vành thương R theo tập nhân S MS Môđun thương M theo tập nhân S Rp Môđun địa phương hóa M iđêan nguyên tố p Ω Tập tất iđêan tối đại R HomR(M, N) Tập tất R-đồng cấu f: M → N U⊊M U chứa M U ≠ M K 1 ta tách X1 ∩….∩ Xn-1 sau thêm Xn vào ta có điều phải chứng minh Giả sử họ (Xi)i>0 ta có vô hạn Xi ≠ M, ta có họ (Yi)i>1 môđun khác M cho (Y1∩….∩Yn+1) + Yn = M với n ≥ Với ≤ n < m Yn + Ym = M tức Yn ≠ Ym, theo (2.3.5) tập { Y1, Y2, Y3,…} đối độc lập Nhưng điều (ii ⇒ iii) Giả sử M môđun bổ sung yếu, xây dựng họ X1, X2,… môđun khác M cho (X1∩…∩Xn-1) + Xn = M với n ≥ Tiếp tục ta lấy X1 ⊂ M không bổ sung yếu M Khi X1 ≠ M, X1 không nhỏ M, tức X1 + X2 = M với X2 ≠ M Nếu ta có X1, X2,…, Xn yêu cầu (n ≥ 2) X1 + ( X2 ∩…∩ Xn) = M (xem biến đổi chứng minh (i → ii)) Mặt khác X1 + (X2 ∩…∩ Xn) không nhỏ M nên ⋂𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 +Xn+1 = M với Xn+1 khác M 28 Đối với điều kiện max mong muốn, theo (2.3.4) ta có họ X1, X2,…các môđun M cho Xn + (⋂∝𝑖=𝑛+1 𝑋𝑖 ) = M với n ≥1 Khi (X1 ∩…∩ Xn-1) + Xn = M với n ≥ 2, theo giả thiết Xi = M với hầu hết i (iii ⇒ i) Giả sử có tập đối độc lập vô hạn môđun Khi ta có họ {Y1, Y2,….} với Yi khác biệt Từ Vn = Y1 ∩…∩ Yn (n ≥ 1) ta chọn dãy tăng U1 ⊂ U2 ⊂ U3⊂… với Vi bổ sung yếu Ui M (ta có U1,…, Un W bổ sung tương đối Un+ Vn+1 M Un+1 = W + Un) Với Xi = Vi+1 + Ui kéo theo Xn+ ∝ (⋂𝑖=𝑛+1 𝑋𝑖 ) = M với n ≥ 1, nghĩa theo (2.3.4) Xm = Xm+1 = ….= M với m ≥ Với i ≥ m Vi+1 + Ui = M, Vi+1 + (Ui ∩ Vi) = Vi tập đối độc lập nên Vi+1 + Yi+1 = M tức Ym+1 = Ym+2=…= M, điều mâu thuẫn với lựa chọn Yi (ii ⇒ v) Giả sử M không thặng dư cốt yếu môđun artin, M khác có X1 ⊂ M cho M/X1 artin khác Bởi X1 không nhỏ M nên X1 +X2 = M với M/X2 arin khác Vì cách qui nạp ta có họ X1, X2,… môđun M cho (X1∩….∩Xn-1) + Xn = M M/Xn artin khác với n ≥ Mặt khác Xi = M với hầu hết i điều mâu thuẫn mong muốn (v ⇒ vi) M thặng dư cốt yếu môđun artin A, đủ ta thấy A có tính chất mong muốn Nếu A môđun không phân tích hoàn tất chứng minh Ngược lại A = U1+ U2+…+Un với Ui không phân tích ta giả sử Ui không cốt yếu Với Di = U1+…+ Ui-1 + Ui+1 +…+ Un A/Di không phân tích (1 ≤ i ≤ m) tức có f: A → ∏𝑛𝑖=1(𝐴/𝐷𝑖 ) song ánh Kerf = ∑𝑛𝑖=1(𝑈𝑖 ∩ 𝐷𝑖 ) nhỏ A, nghĩa f toàn cấu cốt yếu (iv ⇒ ii) Mỗi môđun không phân tích thặng dư cốt yếu môđun artin, M thặng dư cốt yếu môđun artin A tất nhiên A thỏa điều kiện (iii) (ii) tính chất (ii) nên M thặng dư cốt yếu Với R vành địa phương, cho môđun M [14, trang 59] để chứng minh môđun U M, U nhỏ M AnnM0(U) lớn M0 𝑅� Trong trường hợp (v ⇒ vi) U môđun nhỏ M với môđun artin thương M/U AnnM0(U) 𝑅�-môđun hữu hạn sinh lớn M0, tức M0 có chiều Goldie hữu hạn Đảo ngược (vi ⇒ v) H môđun hữu hạn sinh, lớn 29 𝑅�-môđun M0, tức H = AnnM0(U) với R-môđun U M (tức U = AnnM(H)), U nhỏ M, M/U môđun artin mong muốn Mệnh đề 2.3.7 Cho R-môđun M Các điều kiện sau tương đương: (i) M môđun bổ sung môđun thương M thỏa điều kiện max lớp hạng tử trực tiếp M (ii) M tổng hữu hạn môđun không phân tích Chứng minh : (i ⇒ 𝑖𝑖) Giả sử M không tổng hữu hạn môđun không phân tích Theo (2.3.4) ta có hai họ (Xi)i>0 (Vi)i>0 môđun M, M/Xi không phân tích Vi bổ sung Xi M, V1+…+ Vi ⊂ Xi+1 cho i ≥ Thật ta có X1 ,…, Xn V1 ,…, Vn theo yêu cầu, Vi bất khả qui theo giả sử V1+….+Vn ≠ M Để có V1+…+ Vn ⊂ Xn+1 ⊂ M ta chọn cho M/Xn+1 không phân tích ∝ Vn+1 bổ sung Xn+1 M Điều kéo theo Xn + ( ⋂𝑖=𝑛+1 𝑋𝑖 ) = M với n ≥ 1, từ điều kiện max bổ sung vào (2.3.4) mà Xi = M với hầu hết i, điều trái với lựa chọn Xi (ii ⇒ i) Tổng hữu hạn môđun bổ sung M môđun bổ sung Trường hợp M không phân tích môđun hoàn tất chứng minh Ngược lại bước chứng minh (2.3.6)(v→vi) M = U1 +…+ Un, Di = U1 +…+ Ui-1 + Ui+1 +… Un mà môđun thương M/Di môđun không phân tích có toàn cấu cốt yếu M → ∏𝑛𝑖=1(𝑀/𝐷𝑖 ) nên theo (2.3.6) thỏa điều kiện max Chú ý 2.3.8 Cho dim(R) ≤ 1, với R-môđun M, điều sau tương đương: (i) M thặng dư cốt yếu môđun artin (ii) M môđun minimax M/Rad(M) nửa đơn Chứng minh : (i ⇒ ii) Vì M môđun bổ sung yếu, M/Rad(M) nửa đơn Bởi (i) nên có môđun thương theo (2.1.4) cho thấy M có chiều Goldie hữu hạn cho M/L(M) bổ sung yếu Ta cần L(M) môđun artin Thật V0 phần tử tối đại tập hợp {V⊂ M/ V⊂ L(M) = 0}, có đơn cấu cốt yếu L(M) → M/V0 nên M/V0 nửa artin, giả định V0 = 0, tức M môđun nửa artin 30 Theo (2.3.6) M = ⨁𝑚∈Ω Lm(M) hầu hết môđun Lm(M) môđun Ta giả sử M m-nguyên sơ để R vành địa phương, đầy đủ với iđêan cực đại m Trở lại với (2.3.6) ta có M0 có chiều hữu hạn Goldie tức theo (2.1.4) môđun minimax, M00 môđun minimax, môđun nửa artin M môđun artin (ii ⇒ i) Giả sử B môđun hữu hạn sinh M với môđun thương artin M/B, B1 = B ∩ Rad(M) nhỏ M B/B1 theo giả thiết nửa đơn tức có chiều dài hữu hạn Do M thặng dư cốt yếu môđun artin M/B1 Hệ 2.3.9 Cho R miền nguyên với vô hạn iđêan cực đại cho dim(R) = Khi thặng dư cốt yếu môđun artin môđun artin Hệ 2.3.10 Cho R miền nguyên với trường thương K ≠ R, điều sau tương đương: (i) K thặng dư cốt yếu R-môđun artin (ii) R vành nửa địa phương dim(R) = 2.4 Điều kiện max môđun Điều ngạc nhiên phần cuối môđun bổ sung thỏa điều kiện max tiêu đề thỏa điều kiện tương ứng (2.4.8) Đối với điều kiện max (2.4.4) đưa số điều kiện tương đương, trường hợp vành địa phương đối ngẫu (2.1.5) Cuối cùng, dựa kết nghiên cứu Matlis [7] xây dựng môđun artin từ tính đơn – vành noether giao hoán (2.4.10) Bổ đề 2.4.1 Cho R-môđun M đơn- căn, ta có: (a) AnnR(M) iđêan nguyên tố, ta đặt p, Coass(M) = { p} (b) Nếu U môđun khác M M/U môđun nửa artin (c) M môđun đế bất khả quy artin không phân tích (c1) M môđun đế bất khả quy, p = AnnR(M) (a) dim( R/p) = M R/p-môđun trường thương R/p (c2) M môđun artin không phân tích được, giả sử R địa phương, đầy đủ Với p = AnnR(M) (a) có dim(R/p) = M môđun thương AnnE(p) 31 Chứng minh: (a) Rõ ràng AnnR(M) ≠ R từ x ∉ AnnR(M) y ∉ AnnR(M) nên có xM yM môđun khác không M, xM = M = yM, xyM = M, xy ∉ AnnR(M) Ngoài có x ∈ q ∈ Coass(M) mà xM ≠ M xM = tức hàm ngược lại luôn đúng, điều có nghĩa q ⊂ AnnR(M), bao Coass(M) = {AnnR(M)} (b) Theo (2.2.2) M ∈ 𝔉′ Với X/U = L(M/U) M/X môđun đế theo (2.1.1)(c) môđun căn, X = M yêu cầu (c) Trường hợp Soc(M) = kéo theo U1 ≠ 0, U2 ≠ theo (b) mà ta có M/(U1∩U2) môđun nửa artin, U1 ∩ U2 ≠ Trường hợp Soc(M) ≠ M môđun nửa artin, theo (2.2.3) môđun artin môđun U ≠ M môđun rút gọn, môđun hữu hạn sinh, U nhỏ M (c1) Theo bổ sung (2.1.2) Ass(M) = {p} tức theo (2.1.1)(e) dim(R/p) = Với x ∈ R/p tác động x: M → M song ánh tức M môđun xoắn, chia tất nhiên lần bất khả quy, nghĩa trường thương R/p (c2) Bây với R vành địa phương, đầy đủ Do M0 = HomR(M, E) hữu hạn sinh bất khả quy, AnnR(M0) = p theo (2.3.1) Ass(M0) = {p} Theo M0 môđun đế khác môđun thương đế thực Thật vậy, có M0 đơn - đế, theo (2.1.5) kéo theo dim(R/p) = Và M0 R/p-môđun xoắn, trường thương R/p, đơn cấu M0→ R/p mở rộng thành toàn cấu (R/p)0→M00 tức toàn cấu AnnE(p) → M mong muốn Hệ 2.4.2 Từ iđêan nguyên tố p với dim(R/p) = cho ta R-môđun đế, đơn cho AnnR(M) = p R-môđun artin, đơn - N cho AnnR(N) = p Chứng minh: Trong trường hợp ta chọn M trường thương R/p: Rõ ràng M R-môđun đế đơn, khác AnnR(M) = p Nhưng U R-môđun M, U R-môđun chia (vì dim(R/p) = 1) U = U = M Trong trường hợp thứ hai ta chọn m ∈ Ω với p ⊂ m để Q bao nội xạ R/m Q0 = AnnQ(p) Khi Q0 môđun artin môđun khác (công thức (1.1.14) cho ta Coass(Q0) = {p}), Q0 có chứa môđun đơn - N Ta có q = AnnR(N) nên theo 32 (2.4.1)(a) q iđêan nguyên tố từ p ⊂ q ∉ Ω kéo theo (vì dim(R/p) =1) p = q yêu cầu Hệ 2.4.3 Nếu dim(R) = R-môđun khác có môđun đơn - Chứng minh: Từ dim(R) =1 nên với R-môđun M M/L(M) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết đối liên kết với nó, Tor1R(M/L(M), R/m) = vói m ∈ Ω ( xem chứng minh (2.1.1)(c), nên L(M) môđun Trường hợp 1: L(M )≠ Khi giả sử M m-nguyên sơ, R vành địa phương với iđêan cực đại m Với a = L(R) vành 𝑅� = R/a vành địa phương Cohen-Macaulay 1-chiều từ mea = 0, mM = M kéo theo aM = 0, ta có M 𝑅�-môđun Theo [7, định lí 5.17] M tổng môđun artin có môđun đơn - X0 Trường hợp 2: L(M) = Ta có S = R/⋃𝑘𝑖=1 𝑝𝑖 p1,…, pk iđêan nguyên tố tối đại R, kết hợp môđun M với S-bão hòa tương ứng ta RS-môđun MS Bởi RS vành artin nên tập { X ⊂ M/X ≠ X S-bão hòa M} có phần tử tối tiểu X0 X0 môđun đơn - M mong muốn Mệnh đề 2.4.4 Cho R-môđun bổ sung M Các điều sau tương đương: (i) M thỏa điều kiện max lớp môđun (ii) Trong dãy tăng U1 ⊂ U ⊂ U ⊂ môđun M Ui+1/Ui coatomic với hầu hết i (iii) P(M) thặng dư cốt yếu tổng trực tiếp hữu hạn môđun đơn - Khi R vành địa phương, tương đương với: (iv) M0 𝑅� -môđun thỏa điều kiện (2.1.5) Chứng minh: (i ⇒ iii) Vì P(M) bổ sung nên ta giả sử M môđun Giả sử M dạng xác định có tập { U ⊊ M/ U môđun căn} có phần tử tối đại U1 với môđun bổ sung V1 U1 M kéo theo toàn cấu cốt yếu M → (M/U1) × (M/V1) mà V1 ≠ M Ta có U2 phần tử tối đại tập hợp { V1 ⊂ U ⊊ M/ U môđun căn} V2/V1 môđun bổ sung U2/V1 M/V1, ta có toàn cấu 33 cốt yếu M/V1 → (M/U2) × (M/V2) cho V2 ≠ M Bằng qui nạp ta có dãy ≠ V1 ⊊ V2 ⊊…của môđun Vi M Điều trái với giả thiết (iii ⇒ ii) Cho ℭ′ lớp tất R-môđun đáp ứng (ii), thấy bước môđun bổ sung Thật vậy, ta có R địa phương M thặng dư cốt yếu tổng trực tiếp hữu hạn môđun đơn - căn, M ∈ ℭ′ Tiếp theo ta có f: M → ∏𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 toàn cấu cốt yếu tất Ai môđun đơn - Theo (2.4.1) Ai môđun artin đế Trong trường hợp ta phản đẳng cấu ℒ 𝑅 (𝐴𝑖 ) ∋ U → Ann(U) ∈ ℒ 𝑅� (𝐴0𝑖 ) mà Ai0 𝑅�-môđun chí môđun căn, trường hợp thứ hai theo (2.4.4) mà Ai0 môđun minimax �𝑅 , hai trường hợp Ai0 thỏa điều kiện (2.1.5) Điều áp dụng cho ∐𝑛𝑖=1 𝐴0𝑖 chí cho M0, theo [14, trang 59] f0 𝑅� đơn cấu cốt yếu Khi ta có M ∈ ℭ′ Thật từ U1 ⊂ U2 ⊂….⊂ M ta có M0 ⊃ AnnM0(U1) ⊃ AnnM0(U2) ⊃… Do theo (2.1.5) với m ≥ AnnM0(U1)/AnnM0(Ui+1) ≅ (Ui+1/Ui)0 môđun nửa artin với i ≥ m Cuối với i ( xem [13, Bổ đề 2.1]) Ui+1/Ui coatomic Trong Bước 2, M giả sử môđun bổ sung P(M) thặng dư cốt yếu tổng trực tiếp hữu hạn môđun đơn - Bởi ℭ′ mở rộng nhóm đóng nên M/P(M) coatomic P(M) môđun bổ sung Khi giả sử M môđun khác cho có toàn cấu cốt yếu f: M → ∏𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 với Ai môđun đơn - Mỗi Ai môđun bổ sung chí không phân tích được, M đáp ứng điều kiện tương đương (2.3.6) M = ⨂𝑚∈Ω Km(M) Km(M) môđun Nhưng Km(M) thặng dư cốt yếu ∏𝑛𝑖=1 𝐾𝑚 (𝐴𝑖 ) với Km (Ai) môđun Ai , theo bước Km(M) ∈ ℭ′ (ii ⇒ i) Rõ ràng thông qua ba điều kiện định lí tương đương Phần cuối phần chứng minh cho thấy P(M) thặng dư cốt yếu môđun artin Với R vành địa phương, bước (iv ⇒ ii) bước chứng minh bước (iii ⇒ ii) từ phần có (iii ⇒ iv), mà dãy khớp → (M/P(M))0 → M0 → (P(M))0 → thành phần thứ ba dãy thỏa điều kiện (2.1.5) 34 thành phần môđun nửa artin (xem [13, Bổ đề 2.1]) nên M0 cho ta điều phải chứng minh Ghi từ (iii) Trong trường hợp lấy đối ngẫu, tất nhiên ta bỏ điều kiện tiên : “M bổ sung” đáp ứng với điều bổ sung (2.1.5): Nếu M đáp ứng điều kiện cho môđun U cho Soc(M/U) = M/L(M) mở rộng tổng trực tiếp hữu hạn môđun đơn - Kết luận kết tổng quát Matlis (xem [7, định lí 5.5]) vành địa phương Cohen- Macaulay 1-chiều: môđun artin thỏa điều kiện max lớp môđun chia Chú ý 2.4.5 Cho P(M) thặng dư cốt yếu môđun artin, cho dim(R/q) ≤ với q ∈ Coass(M) Khi M thỏa điều kiện max lớp môđun Chứng minh: Trong bước 1: ta cần M thặng dư cốt yếu môđun artin A A thỏa điều kiện max lớp môđun căn, kéo theo M ∈ ℭ′ Điều thực R vành địa phương bước chứng minh (iii ⇒ ii) Phản đẳng cấu ℒ𝑅 (𝐴𝑖 ) ∋ U → Ann (U) ∈ ℒ 𝑅� (𝐴0𝑖 ) A0 �𝑅 -môđun thỏa điều kiện (2.1.5), với M0 kéo theo M ∈ ℭ′ Trường hợp R không vành địa phương, với m ∈ Ω Mm thặng dư cốt yếu Am [13, bổ đề 4.1] Am lần thỏa điều kiện max lớp môđun căn, Mm ∈ ℭ′ Với m ∈ Ω mà Am = ta có Mm = Mm ∈ ℭ′ Trong bước 2: Cho P(M) thặng dư cốt yếu môđun artin, ta đặt A dim(R/p) ≤ với q ∈ Coass(M) Khi đó, với q ∈ Coass(A) = Coass(P(M)) theo [15, Bổ đề 2.1] dim(R/p) = 1, trường hợp A ≠ có vành 𝑅� = R/AnnR(A) cho dim (𝑅�) = Vì phân tích nguyên sơ A môđun artin vành địa phương đầy đủ 1-chiều, theo (2.4.4)(iv) ta có A điều kiện max, sau bước P(M) thỏa điều mong muốn Chú ý 2.4.6 Cho M môđun minimax dim(R/q) ≤ với q∈ Coass(M) Khi dãy tăng U1 ⊂ U ⊂ U ⊂ môđun M Ui+1/Ui có chiều dài hữu hạn với hầu hết i Mệnh đề 2.4.7 Cho dim(R) ≤ với R-môđun M điều sau tương đương: (i) M thỏa điều kiện max lớp môđun 35 (ii) P(M) có số chiều Goldie hữu hạn Chứng minh: (i ⇒ 𝑖𝑖) Theo giả thiết tập hợp { X⊂ M/ X môđun có số chiều Goldie hữu hạn } có phần tử tối đại X0 Giả sử X0 ⊊ P(M), theo (2.4.4) P(M)/X0 có môđun U/X0 Theo (2.4.2)(c) có chiều hữu hạn Goldie áp dụng cho môđun U, điều mâu thuẫn với tính cực đại X0 (ii ⇒ 𝑖) Trong dãy tăng U1⊂ U2 ⊂ U3 ⊂… môđun M có L(Ui) môđun với i (xem chứng minh (2.4.4) ) L= L(P(M)) theo giả thiết môđun artin , theo (2.4.6) Um ∩ L = Um+1 ∩ L = … với m ≥ Và P(M)/L có chiều Goldie hữu hạn tức theo (iii ⇒ 𝑖) (2.2.5) ta có điều kiện max cho lớp môđun từ Un + L = Un+1 + L = … cho n ≥ m suy Un = Un+1 = … điều phải chứng minh Mệnh đề 2.4.8 Một R-môđun bổ sung M thỏa điều kiện max lớp môđun căn, M đáp ứng điều kiện tương đương Chứng minh: Ta giả sử M môđun từ mà M = ⨂𝑚∈Ω Km(M) tất môđun với m, chí R vành địa phương với iđêan cực đại m Điều kiện theo (2.4.4) M ∈ 𝔉 Bước M/L(M) có chiều Goldie hữu hạn Chứng minh (2.4.5)(iii→ii) ℭ′ lớp R-môđun, mà dãy tăng môđun tất môđun thương coatomic Giả sử M/L(M) có môđun X cho có phân tích X = ⨁∝𝑖=1 𝑋𝑖 Xi ≠ 0, (2.1.3) X = ⨁∝𝑖=1 𝑌𝑖 với Yi tổng trực tiếp vô hạn môđun khác 0, nên theo [13, p 225] môđun đế coatomic Mặt khác theo (2.4.5) M ∈ ℭ′ bao gồm X ∈ ℭ′ , dãy tăng U1 ⊂ U2 ⊂ U3 ⊂… với 𝑈𝑛 = ⨁𝑛𝑖=1 𝑌𝑖 tất Ui+1/ Ui ≅ Yi+1 phải coatomic Điều mâu thuẫn mong muốn Bước M ∈ ℭ′ Theo (2.1.2) cần điều kiện max lớp môđun U cho Soc(M/U) = Nhưng với U Ass(M/U) ∪ Coass(M/U) hữu hạn (hoặc theo bước chứng minh (2.4.4)) nên 𝑇𝑜𝑟1𝑅 (𝑀/𝑈, 𝑅/𝑚) = 0, mU =U theo giả thiết thỏa điều kiện max Bước M ∈ ℭ′ Chúng ta có môđun hữu hạn sinh B với môđun thương 36 artin A = M/B phải A môđun artin Điều có R vành đầy đủ giả sử A ≠ Khi vành 𝑅� = R/AnnR(A) cho dim(𝑅�) = Thật vậy, theo [15, t rang 129, ví dụ 3] ∩ 𝐶𝑜𝑎𝑠𝑠(𝐴) = �𝐴𝑛𝑛𝑅 (𝐴), theo (2.4.5) Coass(A) hữu hạn dim(R/p)=1 với q ∈ Coass(A), với iđêan nguyên tố p AnnR(A) dim(R/p) ≤ Theo (2.4.8) A có chiều Goldie hữu hạn, tức A môđun artin Bổ đề 2.4.9 Với môđun artin R-môđun rút gọn yếu Khi đó: (a) Nếu X ⊂ U ⊂ M U/X nhỏ M/X U/X hữu hạn sinh (b) Mỗi môđun thương M rút gọn yếu (c) Mỗi môđun M đối đầy đủ M (d) AnnR(P(M)) iđêan Chứng minh: Ở (a) V môđun bổ sung U M, V ∩ U nhỏ M, rút gọn theo giả thiết, tức hữu hạn sinh Từ V + X = M, (V ∩ U) + X = U kéo theo điều khẳng định Vì (b) (c) rõ ràng với (d) P = P(M) môđun artin rút gọn yếu Do với a = ∩ Coass(P) cho a= �𝐴𝑛𝑛𝑅 (𝑃) aP môđun theo [15, trang 129] aP nhỏ P, aP = a = AnnR (P) Như [7, trang 50] nói hai môđun M N tương đương ( M ∼ N ), có toàn cấu từ M → N toàn cấu từ N → M Với M R- môđun art in, với môđun hữu hạn sinh U thỏa M ∼ M/ U Thật vậy, ta có iđêan R với aU = aM = 0, ( Coass(M) hữu hạn) ta x ∈ a cho xM = 0, vậ y từ xU = ta có điều khẳng định Mệnh đề 2.4.10 Cho môđun artin, R-môđun M Các điều sau tương đương: (i) M tổng hữu hạn môđun đơn - (ii) M tương đương với tổng trực tiếp hữu hạn môđun đơn - (iii) Với môđun U M M ∼ U × (M/U) (iv) M môđun rút gọn yếu Khi R địa phương, tương đương với: (v) M thỏa điều kiện max môđun 𝐴𝑛𝑛𝑅� (M) iđêan 37 Chứng minh: Mỗi môđun artin M thỏa điều kiện max lớp môđun đóng: U1 ⊂ U2 ⊂… dãy tăng môđun đối đóng M, ta chọn dãy môđun đối đóng M cho M ⊃ V1 ⊃ V2 Vi môđun bổ sung Ui M với i ≥ Từ Vm = Vm+1 = = V kéo theo Um, Um+1, tất điều môđun bổ sung V M tức môđun artin rút gọn yếu theo (2.4.10)(c) có điều kiện max lớp môđun Cho M môđun artin môđun khác (i ⇒ iv) Cho M = U1 + + Un với Ui môđun đơn - căn, tất nhiên Ui l môđun rút gọn yếu ∐𝑛𝑖=1 𝑈𝑖 , theo (2.4.9)(b) môđun thương M (iv ⇒ ii) Theo giả thiết M có điều kiện max lớp môđun căn, theo (2.4 5) ta có toàn cấu cốt yếu F: M → ∏𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 với môđun đơn - Ai Bởi Kerf hữu hạn sinh nên M ∼ ∏𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 (ii ⇒ i) Cho g: ∐𝑛𝑖=1 𝑀𝑖 → M toàn cấu với Mi môđun artin đơn- Với M= ∑𝑛𝑖=1 𝑔(𝑀𝑖 ) g(Mi) theo (2.4.2) lần môđun đơn - căn, tức M th oả điều cần chứng minh (iv ⇒ iii) Cho U môđun V môđun bổ sung U M Theo giả thiết V ∩ U hữu hạn sinh nên kéo theo M ∼ M/( V ∩U) ≅ (M/V) ×(M/U) U ∼ U/(V ∩U) ≅ M/V mà M ∼ U ×( M/U) (iii ⇒ iv) Chúng ta cần bước môđun M thoả điều kiện max lớp mô đun Bởi (iii) nên tất Lm( M) thỏa, giả sử R vàn h địa phương đầy đủ với iđêan tối đại m Khi A = M0 hữu hạn sin h môđun đế nên môđun thương đế nhúng vào A Với p ∈ Ass(A) p ⊂ q ≠ m tức q ∈ Ass(A) Nhưng Ass(A) hữu hạn nên theo mệnh đề Krull t hì p ⊊ q ⊊ m không thể, tức dim(R/p) = Với A = M0 có (2.1.5)(iii) chứng minh có nghĩa theo (2.4.5) ta có điều kiện max mong muốn Trong bước N tổng tất môđun đơn - c M Do điều kiện max nên ta cần chứng minh N tổng hữu hạn môđun thương rút gọn yếu Với cách tiếp cận [7, trang 87] thấy N = M: theo giả thiết M ∼ N × (M/N), với toàn cấu N × (M/N) ⟶ M ⟶ N ×(M/N) Thì ta có Ker(gf) theo (2.2.9)(b) hữu hạn sinh bao gồm Kerf Theo (2.2.9)(a) có f: N × ⟶ N song ánh tức f( N × ) = N 38 Giả sử N ≠ M M/N môđun đơn - U/N, từ f( 0×(U/N) ) ⊂ N kéo th eo × (U/N) ⊂ Ker f + N × tức × (U/N) ⊂ 𝑁 × (vì Kerf hữu hạn sinh) điều đ ó Đối với tương đương (iv ⇔ v) ta giả sử R vành địa phương, đầy đủ Bởi (iv ⇒ v) nên theo giả thiết điều kiện max rõ ràng AnnR(M) iđêan theo (2.4.9)( d) Vì (v ⇒ iv) vành 𝑅� = R/AnnR(M) lần vành địa phương đầy đủ, the o giả thiết có phần tử luỷ linh điều kiện max theo (2.4.5) dim(𝑅�) = Theo [13, Mệnh đề 4.2] 𝑅� K-vành, tức 𝑅�- môđun rút gọn yếu áp dụng cho M R- môđun 39 KẾT LUẬN Tóm lại, toàn luận văn trình bày hệ thống lại nội dung báo: “Minimax - Moduln, Journal of Algebra 102, 1-32, (1986)” ông H Zöschinger Kết luận văn gồm phần sau: Hệ thống lại kiến thức sở iđêan nguyên tố liên kết, đối liên kết, chiều Goldie hữu hạn, thặng dư cốt yếu môđun, môđun minimax số môđun liên quan Chứng minh lại trình bày rõ kết báo số tính chất môđun minimax dựa vào kết Matlis: xây dựng môđun artin từ tính đơn – vành địa phương Cohen – Macaulay 1-chiều, mở rộng tùy ý vành noether giao hoán Vì thời gian khả có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót số vấn đề chưa làm sáng tỏ, mong ý kiến đóng góp, phê bình bổ sung quý Thầy cô bạn để luận văn hoàn chỉnh 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Baer R., (1968), Polyminimaxgruppen, Math Ann 175, 1-43 Bourbaki N., (1967), “Algèbre commutative” Hermanm, Paris Camillo V P., (1977), Modules whose quotients have finite Goldie dimension, Pacific J Math 69, 337 -338 Ferrand D and Raynaud M., (1970), Fibres formelles d’un anneau local noethérien, Ann Sci E’cole Norm Sup 3, 295 -311 Matlis E., (1958), Injective modules over noetherian rings, Pacific J Math 8, 511-528 Matlis E., (1960), Modules with descending chain condition, Trans Amer Math Soc 97, 495-508 Matlis E., (1973), 1-Dimmensional Cohen-Macaulay Rings, in “ Lecture Notes in Mathematics, Vol 327,” Springer-Verlag, New York/ Berlin Sarath B and Varadarajan K., (1979), Dual Goldie dimension, II, Commun Algebra 7, 1885-1899 Sharp R Y., (1975), Some results on the vanishing of local cohomology modules, Proc Londom Math Soc 30, 177-195 10 Takeuchi T., (1976) On cofinite-dimensional modules, Hokkaido J Math 5, 1-43 11 Varadarajan K., (1975), Dual Goldie dimension, Commun Algebre 7, 565-610 12 Zöschinger H., (1978), Invarianten wesentlicher Ṻberdeckungen, Math Ann 237, 193202 13 Zöschinger H., (1980), Koatomare Moduln, Math Z 170, 221-232 14 Zöschinger H., (1982), Gelfandringe und koabgeschlossene Untermoduln, Bayer Akad Wiss Math.-Natur Kl., Sitzungsber 3, 43-70 41 15 Zöschinger H., (1983), Linear-kompakte Moduln uber noetherschen Ringen, Arch, Math 41 (1983), 121-130 16 Zöschinger H., (1986), Minimax- Moduln, Journal of Algebra 102, 1-32 42 [...]... sinh Mệnh đề 1.3.7 Cho M là một R -môđun Khi đó Soc(M/L(M)) = 0 Định nghĩa 1.3.8 Một môđun con U của R -môđun M được gọi là môđun con tối đại của M nếu M/U là môđun đơn Định nghĩa 1.3.9 Căn của R -môđun M là giao của tất cả các môđun con tối đại của M, tương đương với tổng của các môđun con đối cốt yếu của M Kí hiệu là Rad(M) Khi đó môđun M được gọi là môđun căn nếu M không có môđun con tối đại nào hay... khác 0 và M Một R -môđun M được gọi là nửa đơn nếu mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp trong M Định lí 1.3.2 Cho M là một R -môđun Các điều sau tương đương: (i) M là nửa đơn (ii) M là tổng của các môđun con đơn của nó (iii) Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp 10 Định nghĩa 1.3.3 Đế của R -môđun M là tổng của các môđun con đơn của M, tương đương với giao của các môđun con cốt yếu của M và được... X là môđun con của M Khi đó M cũng được gọi là thặng dư cốt yếu của N Định nghĩa 1.2.2 Một môđun con N của R -môđun M được gọi là đóng nếu N không có mở rộng cốt yếu trong M, tức là nếu N ⊆e K thì K = N với K là môđun con của M Một R -môđun con U của M được gọi là đối đóng của M nếu U/X ... 15 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN MINIMAX 2.1 Dãy điều kiện môđun U cho Soc(M/U)=0 Cho