Điều kiện max đối với môđun con căn

L ỜI NÓI ĐẦU

2.4. Điều kiện max đối với môđun con căn

Điều ngạc nhiên trong phần cuối này là một môđun bổ sung thỏa điều kiện max như tiêu đề thì cũng thỏa điều kiện min tương ứng như trong (2.4.8). Đối với điều kiện max trong (2.4.4) chúng tôi đưa ra một số điều kiện tương đương, trong trường hợp là vành địa phương thì là đối ngẫu của (2.1.5). Cuối cùng, dựa trên kết quả nghiên cứu của Matlis trong [7] chúng tôi xây dựng môđun artin từ tính đơn – căn trên vành noether giao hoán trong (2.4.10).

Bổ đề 2.4.1. Cho mỗi R-môđun M đơn- căn, khi đó ta có:

(a)AnnR(M) là một iđêan nguyên tố, ta đặt là p, và khi đó Coass(M) = { p}. (b) Nếu U là môđun con khác 0 của M thì M/U là môđun nửa artin.

(c) M là môđun đế và bất khả quy hoặc là artin và không phân tích được.

(c1) M là môđun đế và bất khả quy, p = AnnR(M) như trong (a) khi đó thì dim( R/p) = 1 và M là R/p-môđun cũng là trường các thương của R/p.

(c2) M là môđun artin và không phân tích được, chúng ta có thể giả sử R là địa phương, đầy đủ. Với p = AnnR(M) như trong (a) thì có dim(R/p) = 1 và M là một

Chứng minh:

(a)Rõ ràng là AnnR(M) ≠R và từ x∉AnnR(M) và y∉AnnR(M) nên có xM và yM là môđun con căn khác không của M, do đó xM = M = yM, xyM = M, xy ∉AnnR(M). Ngoài ra còn có x ∈q ∈Coass(M) mà xM≠M do đó xM = 0 tức là q ⊂AnnR(M), bao hàm ngược lại luôn luôn đúng, điều này có nghĩa là Coass(M) = {AnnR(M)}.

(b)Theo (2.2.2) thì M ∈ 𝔉′. Với X/U = L(M/U) thì M/X là môđun đế vì vậy theo (2.1.1)(c) cũng là môđun căn, X = M như yêu cầu.

(c)Trường hợp Soc(M) = 0 kéo theo U1 ≠0, U2 ≠0 theo (b) mà ta có M/(U1∩U2) là môđun nửa artin, do đó U1 ∩U2 ≠0. Trường hợp Soc(M) ≠0 thì M là môđun nửa artin, theo (2.2.3) là môđun artin và mỗi môđun con U ≠M là môđun rút gọn, cũng là một môđun hữu hạn sinh, vì vậy U nhỏ trong M.

(c1) Theo bổ sung của (2.1.2) thì Ass(M) = {p} tức là theo (2.1.1)(e) thì dim(R/p) = 1. Với mọi x ∈ R/p thì tác động x: M →M là song ánh tức là M là một môđun

xoắn, chia được và tất nhiên một lần nữa bất khả quy, nghĩa là trường các thương của R/p. (c2) Bây giờ với R là vành địa phương, đầy đủ. Do đó M0 = HomR(M, E) là hữu hạn sinh và bất khả quy, AnnR(M0) = p và theo (2.3.1) thì Ass(M0) = {p}. Theo đó M0

là môđun đế khác 0 nhưng không có môđun thương đế thực sự. Thật vậy, chúng ta có M0 là đơn - đế, do đó theo (2.1.5) kéo theo dim(R/p) = 1. Và bởi vì M0 là R/p-môđun xoắn, nó có thể là trường các thương của R/p, do đó một đơn cấu M0→R/p được mở rộng thành một toàn cấu (R/p)0→M00 tức là một toàn cấu AnnE(p) →M như mong muốn.

Hệ quả 2.4.2. Từ mỗi iđêan nguyên tố p với dim(R/p) = 1 cho ta một R-môđun đế, đơn - căn sao cho AnnR(M) = p và một R-môđun artin, đơn - căn N sao cho AnnR(N) = p.

Chứng minh: Trong trường hợp đầu tiên ta chọn M là trường các thương của R/p: Rõ ràng M là R-môđun đế đơn, căn khác 0 và AnnR(M) = p. Nhưng U là một R-môđun con căn của M, khi đó U như là R-môđun chia được (vì dim(R/p) = 1) do đó U = 0 hoặc U = M. Trong trường hợp thứ hai ta chọn m ∈ Ω với p ⊂m để Q là bao nội xạ của R/m và Q0 = AnnQ(p). Khi đó Q0 là môđun artin và là môđun căn khác 0 (công thức trong (1.1.14) cho ta Coass(Q0) = {p}), Q0 có chứa một môđun con đơn - căn N. Ta có q = AnnR(N) nên theo

(2.4.1)(a) q là một iđêan nguyên tố và từ p ⊂ q ∉ Ω kéo theo (vì dim(R/p) =1) p = q như yêu cầu.

Hệ quả 2.4.3. Nếu dim(R) = 1 thì mỗi R-môđun căn khác 0 có một môđun con đơn - căn.

Chứng minh: Từ dim(R) =1 nên với mỗi R-môđun căn M thì M/L(M) chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết hoặc đối liên kết với nó, do đó Tor1R

(M/L(M), R/m) = 0 vói mọi m∈ Ω( xem chứng minh của (2.1.1)(c), vậy nên L(M) là môđun căn.

Trường hợp 1: L(M )≠0. Khi đó chúng ta có thể giả sử M là m-nguyên sơ, R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m. Với a = L(R) thì vành 𝑅� = R/a là vành địa phương Cohen-Macaulay 1-chiều và từ mea = 0, mM = M kéo theo aM = 0, vì vậy ta có M cũng là 𝑅�-môđun. Theo [7, định lí 5.17] thì M là tổng của môđun con artin căn do đó nó có ít nhất một môđun con đơn - căn X0.

Trường hợp 2: L(M) = 0. Ta có S = R/⋃ 𝑝𝑘 𝑖

𝑖=1 trong đó p1,…, pk không phải là iđêan nguyên tố tối đại của R, khi đó kết hợp các môđun con căn của M với S-bão hòa tương ứng ta được RS-môđun con của MS. Bởi vì RS là vành artin nên tập { X ⊂M/X ≠0 và X là S-bão hòa trong M} có một phần tử tối tiểu X0 và X0 là một môđun con đơn - căn của M như mong muốn.

Mệnh đề 2.4.4. Cho một R-môđun bổ sung M. Các điều sau tương đương: (i) M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn.

(ii) Trong mỗi dãy tăng U1⊂U2 ⊂U3⊂....của các môđun con của M thì Ui+1/Ui là coatomic với hầu hết các i.

(iii) P(M) là thặng dư cốt yếu của một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đơn - căn. Khi R là vành địa phương, tiếp theo tương đương với:

(iv) M0cũng là như 𝑅�-môđun thỏa điều kiện trong (2.1.5).

Chứng minh: (i⇒iii) Vì P(M) là bổ sung nên ta có thể giả sử M là môđun căn. Giả sử M không có dạng xác định do đó có tập { U⊊M/ U là môđun căn} có một phần tử tối đại U1 và với mỗi môđun bổ sung V1 của U1 trong M kéo theo một toàn cấu cốt yếu M → (M/U1) ×

(M/V1) mà V1≠M. Ta có U2 là một phần tử tối đại trong tập hợp { V1 ⊂U ⊊M/ U là môđun căn} và V2/V1 là một môđun bổ sung của U2/V1 trong M/V1, khi đó ta có toàn cấu

cốt yếu M/V1 →(M/U2) × (M/V2) sao cho V2 ≠M. Bằng qui nạp ta có được dãy 0 ≠ V1 ⊊

V2 ⊊…của môđun con căn Vi trong M. Điều này trái với giả thiết.

(iii⇒ii) Cho ℭ′là lớp tất cả các R-môđun đáp ứng (ii), chúng ta thấy trong bước 1 không có môđun bổ sung nào. Thật vậy, ta có R là địa phương và M là thặng dư cốt yếu của một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đơn - căn, khi đó M ∈ ℭ′. Tiếp theo ta có f: M → ∏ 𝐴𝑛𝑖=1 𝑖 là một toàn cấu cốt yếu trong đó tất cả các Ai là môđun đơn - căn. Theo (2.4.1) thì Ai là môđun artin hoặc đế.

Trong trường hợp đầu tiên ta chỉ ra phản đẳng cấu

ℒ𝑅(𝐴𝑖) ∋U →Ann(U)∈ ℒ𝑅�(𝐴𝑖0)

mà Ai0 như là 𝑅�-môđun thậm chí còn là môđun căn, trong trường hợp thứ hai theo (2.4.4) mà Ai0 là một môđun căn minimax trên�𝑅, do đó trong cả hai trường hợp Ai0 thỏa điều kiện trong (2.1.5). Điều này áp dụng cho ∐ 𝐴𝑛 0𝑖

𝑖=1 thậm chí cho M0, bởi vì theo [14, trang 59] thì f0 trên 𝑅� là một đơn cấu cốt yếu. Khi đó ta có M∈ ℭ′. Thật vậy từ U1⊂U2⊂….⊂M ta có được M0 ⊃AnnM0(U1) ⊃AnnM0(U2) ⊃….

Do đó theo (2.1.5) thì với mỗi m≥ 1 thì AnnM0(U1)/AnnM0(Ui+1) ≅(Ui+1/Ui)0 là môđun nửa artin với mọi i≥m. Cuối cùng với i thì ( xem [13, Bổ đề 2.1]) Ui+1/Ui là coatomic.

Trong Bước 2, M được giả sử là môđun bổ sung và P(M) là thặng dư cốt yếu của một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đơn - căn. Bởi vì ℭ′là mở rộng nhóm đóng nên M/P(M) là coatomic và P(M) cũng là môđun bổ sung. Khi đó chúng ta có thể giả sử M là môđun căn khác 0 sao cho có một toàn cấu cốt yếu f: M→ ∏ 𝐴𝑛

𝑖=1 𝑖 với Ai là môđun đơn - căn. Mỗi Ai là môđun bổ sung thậm chí là không phân tích được, do đó M vẫn đáp ứng các điều kiện tương đương của (2.3.6) và M = ⨂𝑚∈ΩKm(M) thì mọi Km(M) là môđun 0. Nhưng mỗi Km(M) là thặng dư cốt yếu của ∏ 𝐾𝑛

𝑖=1 𝑚(𝐴𝑖) với Km (Ai) là môđun 0 hoặc bằng Ai , do đó theo bước một Km(M) ∈ℭ′.

(ii ⇒i) Rõ ràng thông qua ba điều kiện đầu tiên của định lí tương đương. Phần cuối của phần chứng minh cũng cho thấy rằng P(M) là thặng dư cốt yếu của một môđun artin.

Với R là vành địa phương, bước (iv ⇒ii) đã được chỉ ra trong bước chứng minh đầu tiên của bước (iii⇒ ii) và từ cùng một phần chúng ta có (iii ⇒ iv), mà trong dãy khớp 0→

và thành phần đầu tiên là môđun nửa artin (xem [13, Bổ đề 2.1]) nên do đó M0 cho ta điều phải chứng minh.

Ghi chú từ (iii). Trong trường hợp lấy đối ngẫu, tất nhiên ta có thể bỏ điều kiện tiên quyết : “M là bổ sung” và đáp ứng với các điều bổ sung của (2.1.5): Nếu M đáp ứng các điều kiện min cho môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0 thì M/L(M) là mở rộng của tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đơn - căn.

Kết luận đầu tiên của chúng tôi là kết quả tổng quát của Matlis (xem [7, định lí 5.5]) trên vành địa phương Cohen- Macaulay 1-chiều: mỗi môđun artin thỏa điều kiện max đối với lớp các môđun con chia được.

Chú ý 2.4.5. Cho P(M) là thặng dư cốt yếu của môđun artin, và cho dim(R/q) ≤ 1 với mọi q

∈Coass(M). Khi đó M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn.

Chứng minh: Trong bước 1: ta cần chỉ ra M là thặng dư cốt yếu của một môđun artin A và A thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn, kéo theo M∈ ℭ′. Điều này có thể thực hiện được nếu R là vành địa phương như trong bước chứng minh đầu tiên của (iii ⇒ii). Phản đẳng cấu ℒ𝑅(𝐴𝑖)∋U →Ann (U)∈ ℒ𝑅�(𝐴𝑖0) chỉ ra rằng A0 cũng là�𝑅-môđun thỏa điều kiện của (2.1.5), khi đó là đúng với M0 và kéo theo M∈ ℭ′. Trường hợp R không là vành địa phương, khi đó với mọi m ∈ Ωthì Mm là thặng dư cốt yếu của Am như trong [13, bổ đề 4.1] và Am một lần nữa thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn, do đó Mm ∈ ℭ′. Với mọi m ∈ Ω mà Am= 0 như vậy ta cũng có Mm = 0 và Mm ∈ ℭ′.

Trong bước 2: Cho P(M) là thặng dư cốt yếu của một môđun artin, ta đặt là A và dim(R/p) ≤1 với mọi q ∈Coass(M). Khi đó, với mọi q ∈Coass(A) = Coass(P(M)) theo [15, Bổ đề 2.1] thì dim(R/p) = 1, do đó trong trường hợp A ≠ 0 thì có vành 𝑅� = R/AnnR(A) sao cho dim (𝑅�) = 1. Vì vậy mỗi sự phân tích nguyên sơ của A cũng là môđun artin trên vành địa phương đầy đủ 1-chiều, theo (2.4.4)(iv) thì ta có A cũng điều kiện max, như vậy sau bước đầu tiên P(M) cũng thỏa điều mong muốn.

Chú ý 2.4.6. Cho M là một môđun minimax và dim(R/q) ≤ 1 với mọi q ∈

Coass(M). Khi đó trong mỗi dãy tăng U1⊂U2 ⊂U3⊂....các môđun con của M thì Ui+1/Ui đều có chiều dài hữu hạn với hầu hết các i.

(ii) P(M) có số chiều Goldie hữu hạn.

Chứng minh: (i⇒ 𝑖𝑖) Theo giả thiết thì tập hợp { X⊂M/ X là môđun căn và có số chiều Goldie hữu hạn } có một phần tử tối đại X0. Giả sử X0 ⊊ P(M), theo (2.4.4) P(M)/X0 có một môđun con căn U/X0. Theo (2.4.2)(c) thì có chiều hữu hạn Goldie và cũng áp dụng cho môđun con căn U, điều này mâu thuẫn với tính cực đại của X0.

(ii ⇒ 𝑖) Trong mỗi dãy tăng bất kỳ U1⊂ U2⊂U3 ⊂… các môđun con căn của M có L(Ui) là môđun căn với mọi i (xem các chứng minh của (2.4.4) ) và bởi vì L = L(P(M)) theo giả thiết là môđun artin , do đó theo (2.4.6) thì

Um ∩L = Um+1 ∩ L = … với mỗi m ≥1.

Và P(M)/L có chiều Goldie hữu hạn tức là theo (iii⇒ 𝑖) và (2.2.5) ta có điều kiện max cho lớp môđun con căn và từ Un + L = Un+1 + L = … cho mỗi n ≥ m suy ra Un = Un+1 = … như điều phải chứng minh.

Mệnh đề 2.4.8. Một R-môđun bổ sung M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con căn, khi đó M cũng đáp ứng điều kiện min tương đương.

Chứng minh: Ta có thể giả sử M là môđun căn và từ đó mà M = ⨂𝑚∈ΩKm(M) trong đó tất cả là môđun 0 với mọi m, thậm chí R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là m. Điều kiện min được chỉ ra theo (2.4.4) khi đó M ∈𝔉.

Bước 1. M/L(M) có chiều Goldie hữu hạn. Chứng minh như trong (2.4.5)(iii→ii) ℭ′ lớp các R-môđun, mà trong đó mỗi dãy tăng các môđun con thì tất cả các môđun thương là coatomic. Giả sử M/L(M) có một môđun con X sao cho có sự phân tích X = ⨁𝑖=1∝ 𝑋𝑖 trong đó mọi Xi ≠ 0, khi đó như trong (2.1.3) thì X = ⨁𝑖=1∝ 𝑌𝑖 với mỗi Yi là tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác 0, vậy nên theo [13, p. 225] cũng là môđun đế nhưng không thể là coatomic. Mặt khác theo (2.4.5) M ∈ ℭ′ bao gồm X ∈ ℭ′, khi đó trong các dãy tăng U1 ⊂ U2 ⊂ U3 ⊂… với 𝑈𝑛 =⨁𝑖=1𝑛 𝑌𝑖 và tất cả Ui+1/ Ui ≅ Yi+1 phải là coatomic. Điều này là mâu thuẫn mong muốn.

Bước 2. M ∈ ℭ′. Theo (2.1.2) chúng ta cần chỉ ra điều kiện max đối với lớp môđun con U sao cho Soc(M/U) = 0. Nhưng với U thì Ass(M/U) ∪ Coass(M/U) là hữu hạn (hoặc theo bước chứng minh đầu tiên của (2.4.4)) nên 𝑇𝑜𝑟1𝑅(𝑀/𝑈,𝑅/𝑚) = 0, mU =U và theo giả thiết thì thỏa điều kiện max.

artin A = M/B và phải chỉ ra rằng A là môđun artin. Điều này có được do R là vành đầy đủ và giả sử rằng A ≠0. Khi đó vành 𝑅� = R/AnnR(A) sao cho dim(𝑅�) = 1. Thật vậy, theo [15, t rang 129, ví dụ 3] thì ∩ 𝐶𝑜𝑎𝑠𝑠(𝐴) = �𝐴𝑛𝑛𝑅(𝐴), cũng theo (2.4.5) thì Coass(A) là hữu hạn và dim(R/p)=1 với mọi q ∈ Coass(A), như vậy với mọi iđêan nguyên tố p trên AnnR(A) thì dim(R/p) ≤ 1. Theo (2.4.8) thì A có chiều Goldie hữu hạn, tức A là môđun artin.

Bổ đề 2.4.9. Với mỗi môđun artin và R-môđun rút gọn yếu. Khi đó: (a)Nếu X ⊂ U ⊂ M và U/X nhỏ trong M/X thì U/X là hữu hạn sinh. (b) Mỗi môđun thương của M cũng là rút gọn yếu.

(c) Mỗi môđun con căn của M là đối đầy đủ trong M. (d) AnnR(P(M)) là một iđêan căn.

Chứng minh: Ở (a) V là môđun bổ sung của U trong M, khi đó V ∩U nhỏ trong M, do đó nó là rút gọn theo giả thiết, tức là hữu hạn sinh. Từ V + X = M, (V ∩U) + X = U kéo theo điều khẳng định. Vì vậy (b) và (c) là rõ ràng và với (d) thì P = P(M) là môđun artin và rút gọn yếu. Do đó với a = ∩Coass(P) sao cho a= �𝐴𝑛𝑛𝑅(𝑃) và aP là môđun căn và theo [15, trang 129] thì aP nhỏ trong P, aP = 0 và a = AnnR (P)

Như trong [7, trang 50] chúng ta nói rằng hai môđun M và N là tương đương nhau ( M ∼

N ), nếu có một toàn cấu từ M → N và một toàn cấu từ N → M. Với M là R- môđun căn art in, khi đó với mỗi môđun con hữu hạn sinh U thỏa M ∼ M/ U. Thật vậy, ta có một iđêan của R với aU = 0 và aM = 0, ( vì Coass(M) là hữu hạn) thì ta được x∈ a sao cho xM = 0, như vậ y từ xU = 0 ta có điều khẳng định.

Mệnh đề 2.4.10. Cho một môđun artin, R-môđun căn M. Các điều sau tương đương: (i) M là tổng hữu hạn các môđun con đơn - căn.

(ii) M tương đương với tổng trực tiếp hữu hạn của môđun đơn - căn. (iii) Với mỗi môđun con căn U của M thì M ∼ U × (M/U).

(iv) M là môđun rút gọn yếu.

Khi R là địa phương, tiếp theo tương đương với:

Chứng minh: Mỗi môđun artin M thỏa điều kiện max đối với lớp môđun con đóng: U1

⊂ U2 ⊂… là một dãy tăng các môđun con đối đóng của M, khi đó ta chọn một dãy các môđun con đối đóng của M sao cho M ⊃ V1 ⊃ V2 trong đó Vi là môđun bổ sung của Ui trong M với mọi i ≥ 1. Từ Vm = Vm+1 = ... = V kéo theo Um, Um+1,.. tất cả điều là môđun bổ sung của V trong M tức là mỗi môđun artin rút gọn yếu theo (2.4.10)(c) có điều kiện max đối với lớp môđun con căn.

Cho M là môđun artin và là môđun căn khác 0.

(i⇒ iv) Cho M = U1 +... + Un với Ui là môđun đơn - căn, vậy tất nhiên mỗi Uicũng đều l à môđun rút gọn yếu cũng như ∐ 𝑈𝑛 𝑖

𝑖=1 , và theo (2.4.9)(b) cũng là môđun thương của M. (iv⇒ ii) Theo giả thiết M có điều kiện max đối với lớp môđun con căn, khi đó theo (2.4. 5) ta có một toàn cấu cốt yếu. F: M → ∏𝑛𝑖=1𝐴𝑖 với môđun đơn - căn Ai. Bởi vì Kerf là hữu hạn sinh nên M ∼ ∏ 𝐴𝑛 𝑖

𝑖=1 .

(ii⇒ i) Cho g: ∐ 𝑀𝑛𝑖=1 𝑖 → M là một toàn cấu với Mi là môđun artin đơn- căn. Với M =

∑ 𝑔𝑛 (𝑀𝑖)

𝑖=1 thì mỗi g(Mi) là 0 hoặc theo (2.4.2) một lần nữa là môđun đơn - căn, tức là M th oả điều cần chứng minh.

(iv⇒ iii) Cho U là môđun căn và V là môđun bổ sung của U trong M. Theo giả thiết thì V ∩U là hữu hạn sinh nên kéo theo M ∼ M/( V ∩U) ≅(M/V) ×(M/U) cũng như U ∼U/(V

∩U) ≅M/V vì vậy mà M ∼U ×( M/U).

(iii ⇒ iv) Chúng ta cần chỉ ra trong bước 1 môđun M thoả điều kiện max đối với lớp mô đun con căn. Bởi vì (iii) nên tất cả các Lm( M) đều thỏa, chúng ta có thể giả sử rằng R là vàn h địa phương và đầy đủ với một iđêan tối đại duy nhất m. Khi đó A = M0 là hữu hạn sin h và là môđun đế nên do đó mỗi môđun thương đế có thể nhúng vào A. Với mọi p ∈Ass(A) thì p ⊂q ≠m tức là q ∈Ass(A). Nhưng vì Ass(A) là hữu hạn nên theo mệnh đề của Krull t hì p ⊊q ⊊ m là không thể, tức là dim(R/p) = 1.

Với A = M0

thì chúng ta có (2.1.5)(iii) đã được chứng minh và có nghĩa là theo (2.4.5) ta có điều kiện max mong muốn. Trong bước 2 N là tổng của tất cả các môđun con đơn - căn c ủa M. Do điều kiện max nên ta chỉ cần chứng minh N là tổng hữu hạn các môđun thương rút