L ỜI NÓI ĐẦU
2.3. Chuyển đổi đối ngẫu M0 = HomR(M, E)
= HomR(M, E).
Định lí 2.3.1. ( Xem [2], Định lí 3.30). Đối với các R-môđun M ⊆ E, các điều sau tương đương:
(i) E là mở rộng cốt yếu tối đại của M.
(ii) E là môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của M. (iii) E là môđun nội xạ tối thiểu chứa M.
Định nghĩa 2.3.2. Nếu các R-môđun M ⊆ E thỏa các điều kiện tương đương của (2.3.1) thì E được gọi là bao nội xạ của M và ký hiệu là E = ER(M), trong trường hợp vành được ngầm hiểu.
Trong trường hợp R là một vành địa phương thì 𝑅� là vành đầy đủ của R, E là bao nội xạ của R và M0 = HomR(M, E).
Bổ đề 2.3.3. Cho một R-môđun M và một iđêan nguyên tố p của R. Các điều sau tương đương:
(i) p ∈ Coass(M).
(ii) p = AnnR(A) với A là môđun thương artin của M. (iii) p ∈ Ass(HomR(M, C)) với mỗi R-môđun artin C. Với R là vành địa phương, tiếp theo đó tương đương với (iv) p ∈ Ass(M0).
Chứng minh: (i⇒ii) Từ p∈ Coass(M) có một môđun thương artin không phân tích được M/M0 với p = I(M/M0), và cho mỗi môđun con U sao cho M0 ⊂U ⊊M, khi đó p =
�𝐴𝑛𝑛𝑅(𝑀/𝑈). Tiếp tục ta chọn trong tập { AnnR(M/U) / M0⊂U ⊊M} một phần tử tối đại a0 = AnnR(M/U0) và khi đó a0 (xem [2, chương IV, Bài 1, Mệnh đề 1]) là một iđêan nguyên tố và rõ ràng p = a0.
(ii ⇒iii) Ta có p = AnnR(M/U) và M/U artin, vì C = M/U nên với mỗi
𝛾 ∈HomR(M, C) ta được AnnR(𝛾) = p.
(iii⇒i) Với C là môđun artin và với f∈HomR(M, C) sao cho p = AnnR(f), khi đó A = M/Kerf là một môđun thương artin của M sao cho p = AnnR(A). Theo [15, trang 127] thì ⋂ 𝐶𝑜𝑎𝑠𝑠(𝐴) =�𝐴𝑛𝑛𝑅(𝐴), tức là p ∈Coass(A), p ∈Coass(M) theo yêu cầu.
Trong trường hợp vành địa phương, để chỉ ra (iii) ta có thể thay thế môđun artin C bởi E: p ∈Ass(HomR(M, C)) và C ⊂En kéo theo
p ∈Ass(HomR(M, E)n) = Ass(M0).
Bổ đề 2.3.4. Với mỗi R-môđun M. Các điều sau là tương đương:
(i) Mỗi môđun thương của M thỏa điều kiên max đối với lớp các hạng tử trực tiếp của M.
(ii) X1, X2,…là một họ các môđun con của M sao cho Xn+(
1 i
i n∞= + X
) = M với mọi n
Trong trường hợp này M có một môđun con hữu hạn sinh M0, khi đó M/M0 là môđun căn.
Chứng minh: (i⇒ii) Với Xinhư giả thiết, ta có:
An = X1∩ … ∩ Xn và Bn = Xn+1∩ … ∩ Xn+2∩… với mọi n ≥1 thì An+ Bn = M. Thật vậy, rõ ràng là cho n = 1 và cũng với n > 1 ta có bằng cách qui nạp:
An+ Bn = (Bn-1 + An-1) ∩Xn + Bn = Xn + Bn = M.
Với D = ⋂ 𝑋∝𝑖=1 𝑖sao cho (An/D) ⨁ (Bn/D) = M/D với mọi n ≥1. Theo giả thiết thì Am = D với mỗi m ≥1, Bm = M, Xm+1 = Xm+2 = …= M như yêu cầu.
(ii⇒i) Bởi vì (ii) nên kế thừa các môđun thương, chúng ta cần chứng minh điều kiện max trong M. Thật vậy, từ dãy tăng U1⊂U2 ⊂U3⊂… các hạng tử trực tiếp trong M, chúng ta chọn V1⊃V2⊃V3⊃… sao cho Vi⨁Ui = M với mọi i, ta đặt Xi = Vi+1 ⨁ Ui và vì Xn + (⋂𝑖=𝑛+1∝ 𝑋𝑖) = M với mọi n ≥1 nên Un+1 nằm trong phầngiao. Theo giả thiết ta có Xm = Xm+1 = … M với mỗi m ≥1, từ đó Vm = Vm+1 =… Và cuối cùng Um = Um+1 = … như yêu cầu.
Giả sử M0 không là môđun hữu hạn sinh, chúng ta xây dựng một họ các môđun tối đại (Xi)i>0 của M và một họ các môđun con cyclic (Vi)i>0 của M để
Vi + Xi = M và V1 + …+ Vi⊂Xn+1 với mọi i≥1
Thật vậy, ta có X1 ,…, Xn và V1 ,…, Vn như yêu cầu, vì vậy theo giả thiết M/( V1+…+ Vn ) không là môđun căn, tức là có một môđun con tối đại Xn+1 của M thỏa mãn V1+…+ Vn ⊂ Xn+1 và tức nhiên cũng có một môđun con cyclic Vn+1 của M sao cho Vn+1 + Xn+1 = M. Từ hai họ trên ta có Vn⊂Xn+1 ∩Xn+2 ∩… vì vậy Xn + (⋂∝ 𝑋𝑖
𝑖=𝑛+1 ) = M với mọi n ≥1 và Xi = M với hầu hết các i, điều này là mâu thuẫn.
Định nghĩa 2.3.5. Cho M là một R-môđun. Khi đó một tập các môđun con của M được gọi là đối độc lập nếu mỗi cặp phần tử khác nhau X1 ,…, Xm từ tập này luôn có
X1 +(X2∩…∩ Xm) = M.
Mệnh đề 2.3.6. Cho mỗi R-môđun M. Các điều sau tương đương: (i) Mỗi tập đối độc lập các môđun con của M là hữu hạn.
(ii) X1, X2 ,… là một họ của các môđun con của M sao cho (X1⋂…⋂Xn-1) + Xn = M với mọi n ≥ 2, khi đó Xi = M với hầu hết các i.
(iii) M là môđun bổ sung yếu và mỗi môđun thương của M thỏa mãn điều kiện max đối với lớp các hạng tử trực tiếp của M.
(iv) M là thặng dư cốt yếu của tổng trực tiếp hữu hạn các môđun không phân tích được.
(v) M là thặng dư cốt yếu của một môđun artin. Nếu R là vành địa phương thì tương đương tiếp theo với: (vi) M0 là 𝑅�-môđun có chiều Goldie hữu hạn.
Chứng minh : (i ⇒ ii) Với mỗi họ như vậy ta có Xn + ( ⋂𝑚𝑖=1𝑋𝑖 𝑖≠𝑛 ) = M với mọi 1 ≤n < m. Theo giả thiết thì ( X1 ∩…∩Xm-1 ) + Xm = M. ( X1 ∩…∩Xm-2 ) + ( Xm-1 ∩Xm ) = M. … ( X1 ∩…∩Xn ) + ( Xn+1 ∩… ∩Xm ) = M.
Với n >1 ta tách X1∩….∩ Xn-1 ra và sau đó thêm Xnvào ta có điều phải chứng minh. Giả sử rằng trong họ (Xi)i>0 ta có vô hạn Xi≠M, do đó ta có một họ (Yi)i>1 các môđun con khác M sao cho (Y1∩….∩Yn+1) + Yn = M với mọi n≥2.
Với mọi 1 ≤n < m thì Yn + Ym = M tức là Yn ≠Ym, và theo (2.3.5) thì tập { Y1, Y2, Y3,…} là đối độc lập. Nhưng điều đó là không thể.
(ii ⇒iii) Giả sử M không phải là môđun bổ sung yếu, chúng ta xây dựng một họ X1, X2,… các môđun con khác M sao cho (X1∩…∩Xn-1) + Xn = M với mọi n ≥2.
Tiếp tục ta lấy X1⊂M không là bổ sung yếu trong M. Khi đó X1≠M, X1 cũng không nhỏ trong M, tức là X1 + X2 = M với X2≠M. Nếu ta có X1, X2,…, Xn như yêu cầu (n ≥2) thì X1 + ( X2∩…∩Xn) = M (xem các biến đổi trong chứng minh của (i →ii)). Mặt khác X1 + (X2 ∩…∩ Xn) không nhỏ trong M nên ⋂ 𝑋𝑛 𝑖
Đối với điều kiện max mong muốn, theo (2.3.4) ta có một họ X1, X2,…các môđun con của M sao cho Xn + (⋂∝𝑖=𝑛+1𝑋𝑖) = M với mọi n ≥1. Khi đó
(X1 ∩…∩ Xn-1) + Xn = M với mọi n ≥2, do đó theo giả thiết Xi = M với hầu hết các i. (iii ⇒i) Giả sử có một tập đối độc lập vô hạn các môđun con. Khi đó ta có thể có được một họ {Y1, Y2,….} với các Yi khác biệt. Từ Vn = Y1∩…∩Yn (n≥1) ta chọn một dãy tăng U1⊂U2⊂U3⊂… với Vi là bổ sung yếu của Uitrong M (ta đã có U1,…, Un và W là một bổ sung tương đối của Un+ Vn+1 trong M nếu Un+1 = W + Un). Với Xi = Vi+1 + Ui kéo theo Xn+ (⋂𝑖=𝑛+1∝ 𝑋𝑖) = M với mọi n≥1, nghĩa là theo (2.3.4) thì Xm = Xm+1 = ….= M với mỗi m≥
1. Với mọi i ≥m thì Vi+1 + Ui = M, Vi+1 + (Ui∩Vi) = Vi là tập đối độc lập nên Vi+1 + Yi+1 = M tức là Ym+1 = Ym+2=…= M, điều này mâu thuẫn với sự lựa chọn Yi.
(ii⇒v) Giả sử M không là thặng dư cốt yếu của một môđun artin, khi đó M khác 0 và có một X1⊂M sao cho M/X1 cũng là artin khác 0. Bởi vì X1 không nhỏ trong M nên X1 +X2 = M với M/X2 là arin khác 0. Vì vậy bằng cách qui nạp ta có một họ X1, X2,… các môđun con của M sao cho (X1∩….∩Xn-1) + Xn = M và M/Xn là artin khác 0 với mọi n≥2. Mặt khác Xi = M với hầu hết các i và điều này là mâu thuẫn mong muốn.
(v ⇒vi) M là thặng dư cốt yếu các môđun artin A, nó đủ để cho ta thấy rằng A có tính chất mong muốn. Nếu A là môđun 0 hoặc không phân tích được thì hoàn tất chứng minh. Ngược lại nếu A = U1+ U2+…+Un với Ui không phân tích được và ta có thể giả sử rằng bất kì Ui là không cốt yếu. Với Di = U1+…+ Ui-1 + Ui+1 +…+ Un thì A/Di là không phân tích được (1≤ i≤ m) tức là có f: A → ∏𝑖=1𝑛 (𝐴/𝐷𝑖) là song ánh và Kerf = ∑𝑛𝑖=1(𝑈𝑖∩ 𝐷𝑖) nhỏ trong A, nghĩa là f là một toàn cấu cốt yếu.
(iv ⇒ii) Mỗi môđun không phân tích được là thặng dư cốt yếu của một môđun artin, vì vậy M cũng là sự thặng dư cốt yếu của một môđun artin A và tất nhiên A thỏa điều kiện (iii) cũng như (ii) và bởi vì các tính chất (ii) nên M là thặng dư cốt yếu.
Với R là một vành địa phương, cho bất kỳ môđun M như trong [14, trang 59] để chứng minh rằng một môđun con U của M, U nhỏ trong M khi và chỉ khi AnnM0
(U) là lớn trong M0 trên 𝑅�. Trong trường hợp (v ⇒ vi) U là một môđun con nhỏ trong M với môđun artin thương M/U thì AnnM0(U) như là 𝑅�-môđun hữu hạn sinh và lớn trong M0
, tức là M0 có chiều Goldie hữu hạn. Đảo ngược trong (vi⇒v) thì H là một môđun hữu hạn sinh, lớn trong
𝑅�-môđun M0
, tức là H = AnnM0
(U) với một R-môđun con U của M (tức là U = AnnM(H)), và khi đó U nhỏ trong M, M/U là môđun artin như mong muốn.
Mệnh đề 2.3.7. Cho một R-môđun M. Các điều kiện sau tương đương:
(i) M là môđun bổ sung và mỗi môđun thương của M thỏa điều kiện max đối với lớp các hạng tử trực tiếp của M.
(ii) M là tổng hữu hạn các môđun con không phân tích được.
Chứng minh : (i⇒ 𝑖𝑖) Giả sử M không là tổng hữu hạn các môđun con không phân tích được. Theo (2.3.4) ta có hai họ (Xi)i>0 và (Vi)i>0 các môđun con của M, như vậy M/Xi không phân tích được và Vi là bổ sung của Xi trong M, ngoài ra V1+…+ Vi ⊂Xi+1 cho mỗi i≥1. Thật vậy ta đã có X1 ,…, Xn và V1 ,…, Vn theo yêu cầu, khi đó Vi là bất khả qui do đó theo giả sử thì V1+….+Vn≠M.
Để có được V1+…+ Vn⊂Xn+1⊂M ta có thể chọn sao cho M/Xn+1 là không phân tích được và Vn+1 là bổ sung của Xn+1 trong M. Điều này kéo theo Xn + ( ⋂∝ 𝑋𝑖
𝑖=𝑛+1 ) = M với mọi n≥1, từ điều kiện max bổ sung vào và (2.3.4) mà Xi = M với hầu hết các i, điều này trái với sự lựa chọn Xi.
(ii ⇒i) Tổng hữu hạn các môđun con bổ sung của M cũng là môđun bổ sung. Trường hợp M là không phân tích được hoặc là môđun 0 thì hoàn tất chứng minh. Ngược lại như các bước chứng minh của (2.3.6)(v→vi) thì
M = U1 +…+ Un, Di = U1 +…+ Ui-1 + Ui+1 +… Un
vì vậy mà môđun thương M/Di là môđun không phân tích được và có một toàn cấu cốt yếu M → ∏𝑛 (𝑀/𝐷𝑖)
𝑖=1 nên theo (2.3.6) thỏa điều kiện max.
Chú ý 2.3.8. Cho dim(R) ≤1, với mỗi R-môđun M, các điều sau tương đương: (i) M là thặng dư cốt yếu của môđun artin.
(ii) M là một môđun minimax và M/Rad(M) là nửa đơn.
Chứng minh : (i⇒ii) Vì M là môđun bổ sung yếu, M/Rad(M) là nửa đơn. Bởi vì (i) nên có môđun thương và theo (2.1.4) cho thấy rằng M có chiều Goldie hữu hạn và cho M/L(M) là bổ sung yếu. Ta cần chỉ ra rằng L(M) là môđun artin. Thật vậy V0 là một phần tử tối đại trong tập hợp {V⊂M/ V⊂L(M) = 0}, chúng ta có đơn cấu cốt yếu L(M) →M/V0 nên
Theo (2.3.6) thì M = ⨁𝑚∈ΩLm(M) trong đó hầu hết các môđun Lm(M) là môđun 0. Ta giả sử rằng M là m-nguyên sơ để R là vành địa phương, đầy đủ với iđêan cực đại duy nhất m. Trở lại với (2.3.6) ta có M0 là có chiều hữu hạn Goldie tức là theo (2.1.4) là một môđun minimax, do đó M00 là một môđun minimax, vì vậy môđun con nửa artin M là môđun artin.
(ii ⇒i) Giả sử B là một môđun con hữu hạn sinh của M với môđun thương artin M/B, khi đó B1 = B ∩Rad(M) nhỏ trong M và B/B1 theo giả thiết là nửa đơn tức là có chiều dài hữu hạn. Do đó M là thặng dư cốt yếu của môđun artin M/B1.
Hệ quả 2.3.9. Cho R là một miền nguyên với vô hạn các iđêan cực đại và cho dim(R) = 1. Khi đó mỗi thặng dư cốt yếu của môđun artin vẫn là môđun artin.
Hệ quả 2.3.10. Cho R là một miền nguyên với trường các thương là K ≠R, khi đó các điều sau tương đương:
(i) K là thặng dư cốt yếu của một R-môđun artin. (ii) R là vành nửa địa phương và dim(R) = 1.