hết một số nào đó. Bài 4.1. Hướng dẫn: a. 2253 + 4315 – 173 = 6395 b. 6438 – 2325 × 2 = 1778 c. 480 – 120 : 4 = 450 d. 63 + 24 × 3 = 135
Khoá luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Thái – K7 ĐHSP Tiểu học A
95
Các giá trị 1778 và 450 chia hết cho 2.
Bài 4.2.
Hướng dẫn:
Vì: a > b > c > d nên ta có các hiệu:
( a – b ) × ( a – c ) × ( a – d ) × ( b – c ) × ( b – d ) × ( c – d ) chia hết cho 12 ( tức là chia hết cho 3 và 4 ).
Lấy mỗi số a, b, c, d chia cho 3 thì có ít nhất 2 số chia cho 3 sẽ có cùng một số dư. Vậy hiệu của 2 số này chia hết cho 3.
Do đó tích trên chia hết cho 3. ( 1 )
Trong 4 số a, b, c, d có hoặc cả 4 số cùng chẵn hoặc cả 4 số cùng lẻ hoặc có 2 số chẵn hoặc 2 số lẻ. Vậy luôn có 2 hiệu trong tích trên là chẵn ( mỗi hiệu chia hết cho 2 ).
Do vậy tích trên chia hết cho 4. ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) => tích trên chia hết cho 12.
Bài 4.3.
Hướng dẫn:
Ta xét: Nếu số tự nhiên a chia cho 3 dư r thì tổng các chữ số của a chia cho 3 cũng dư r.
Số tự nhiên a và b trong bài toán có tổng các chữ số bằng nhau nên chúng có cùng số dư khi chia cho 3.
Vậy hiệu của chúng chia hết cho 3.
Bài 4.4.
Hướng dẫn:
a. Số được viết bởi các chữ số 4 sẽ có số tạo bởi 3 chữ số tận cùng là 444. Áp dụng tính chất chia hết cho 8 ta thấy 444 không chia hết cho 8. Vậy số được viết bởi các chữ số 4 không chia hết cho 8.
b. Số được viết bởi các chữ số 3 sẽ có số tạo bởi 2 chữ số tận cùng là 22. Áp dụng tính chất chia hết cho 4 ta thấy 22 không chia hết cho 4. Vậy số được viết bởi các chữ số 2 không chia hết cho 4.
Khoá luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Thái – K7 ĐHSP Tiểu học A
96
c. Muốn một số chia hết cho 4 thì chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị phải tạo thành số chia hết cho 4.
Bài 4.5.
Hướng dẫn:
Trong 5 số không chia hết cho 5 sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 5. Vậy hiệu của chúng sẽ chia hết cho 5.
Bài 4.6. Hướng dẫn: Ta có abc 6 tức là abc 2 và 3 abc 2 => c là số chẵn abc 3 => ( a + b + c ) 3 Trường hợp 1:
Nếu a, b đều chẵn thì các số được viết bởi 3 chữ số a, b, c nhưng theo thứ tự khác nhau sẽ chia hết cho 2, đồng thời tổng các chữ số không thay đổi.
Vậy các số đó chia hết cho 6. Trường hợp 2:
Nếu a chẵn, b lẻ thì các số viết bởi 3 chữ số a, b, c mà b là chữ số tận cùng sẽ không chia hết cho 2. Vậy các số đó sẽ không chia hết cho 6. Các số còn lại đều chia hết cho 6.
Trường hợp 3:
Nếu b chẵn, a lẻ tương tự như trường hợp 2 các số mà a là chữ số tận cùng sẽ không chia hết cho 6, các số còn lại đều chia hết cho 6.
Trường hợp 4:
Nếu a, b đều lẻ thì chỉ có các số mà có c là chữ số tận cùng mới chia hết cho 6, các só còn lại đều không chia hết cho 6.
Bài 4.7.
Khoá luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Thái – K7 ĐHSP Tiểu học A
97
Một số tự nhiên không chia hết cho 3 thì khi chia cho 3 sẽ có số dư là 1 hoặc 2. - Nếu cả ba số chia cho 3 có cùng số dư thì tổng ba số đó chia hết cho 3.
- Nếu ba số chia cho 3 không cùng số dư thì tổng của hai số có số dư khác nhau sẽ chia hết cho 3. Bài 4.8. Hướng dẫn: Xét tổng của tất cả các số có ba chữ số: 100 + 101 + 102 +…+ 998 + 999 = = 100 + (101 + 999) + (102 + 998) +…+ (549 + 551) + 550 = 100 + 1100 + 1100 +… + 1100 + 550
Tổng trên gồm các số hạng là số tròn chục, tròn trăm nên các số hạng đều chia hết cho 2 và chia hết cho 5.
Vậy tổng trên vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5.
Bài 4.9.
Hướng dẫn:
Tích của một số và chính nó cộng thêm 4 là số chia hết cho 5 thì có chữ số cuối là 0 hoặc 5 vậy chữ số cuối của tích của số cần tìm và chính nó là:
10 - 4 = 6 hoặc 5 - 4 = 1
Ta có: 6 × 6 = 36 nên số cần tìm có chữ số cuối là 6 4 × 4 = 16 nên số cần tìm có chữ số cuối là 6 1 × 1 = 1 nên số cần tìm có chữ số cuối là 1
9 × 9 = 81 nên số cần tìm có chữ số cuối cùng là 1
Vậy các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện của bài toán là các số có chữ số cuối là 6, 4, 1, 9.
Bài 4.10.
Khoá luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Thái – K7 ĐHSP Tiểu học A
98
Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp có 3 trường hợp:
a) số chẵn × số lẻ × số chẵn = số chẵn × số chẵn = số chẵn. Vậy tích đã cho là chẵn nên chia hết cho 2.
b) Số lẻ × số chẵn × số lẻ = số chẵn × số lẻ = số chẵn. Vậy tích đã cho là số chẵn nên chia hết cho 2.
Bài 4.11.
Hướng dẫn:
Với ba chữ số 1, 2, 5 ta lập được các số có ba chữ số khác nhau là 125, 152, 215, 251, 512, 521.
Xét tổng: 125 + 152 + 215 + 512 + 521 ta thấy khi tiến hành cộng ở hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm đều có:
5 + 2 + 5 + 1 + 2 + 1 = 5 × 2 + 2 × 2 + 1 × 2 = 16.
Vậy tổng của các số trên là 1776 ta lại có 1 + 7 + 7 + 6 = 21 chia hết cho 3. Vậy tổng của các số có ba chữ số khác nhau lập từ 3 chữ số 1, 2, 5 là một số chia hết cho 3.
Bài 4.12.
Hướng dẫn:
a) 43 + 55 + 70 + 64 + 25 + 48 + 20
Ta thấy các số hạng 55, 70, 20, 25 là các số chia hết cho 5 còn lại: 43 chia 5 dư 3
64 chia 5 dư 4 48 chia 5 dư 3
Ta có: 3 + 4 + 3 = 10 chia hết cho 5. Vậy tổng đã cho chia hết cho 5. b) 78 + 25 + 68 + 40 + 55 + 90 + 32
Ta thấy các số hạng 25, 40, 55, 90 là các số chia hết cho 5 còn lại 78 chia 5 dư 3.
68 chia 5 dư 3 32 chia 5 dư 2
Khoá luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Thái – K7 ĐHSP Tiểu học A
99
Ta có: 3 + 3 + 2 = 8 không chia hết cho 5. Vậy tổng đã cho không chia hết cho 5.
Bài 4.13. Hướng dẫn: Ta có: 41× 22 × 83 × 74, ta xét các chữ số ở hàng đơn vị: 1 × 2 × 3 × 4 = 24 nên tích trên có chữ số cuối bằng 4. 86 × 27 × 38 × 19, ta xét các chữ số ở hàng đơn vị: 6 × 7 × 8 × 9 = 42 × 72 trên có chữ số cuối là 4. 60 có chữ số cuối là 0.
Chữ số cuối của kết quả dãy tính là 4 + 0 + 4 = 8. Vậy kết quả của dãy tính chia hết cho 2.
Bài 4.14.
Hướng dẫn:
Kết quả là số 100…07964 ( có 12 chữ số 0 ). - Số này chẵn nên chia hết cho 2.
- Số này có tổng các chữ số là: 1 + 7 + 9 + 6 + 4 = 27. 27 chia hết cho 3 nên số đó chia hết cho 3.
- Số này có 2 chữ số tận cùng là 64 ( 64 chia hết cho 4 ) nên số đó chia hết cho 4.
- Số này có tận cùng là 4 nên không chia hết cho 5.
- Số này gồm : 1000…0 × 10000 + 7964, mà 10000 chia hết cho 8, 7964 lại không chia hết cho 8 nên số đó không chia hết cho 8.
- Số này có tổng chia hết cho 9 nên số đó chia hết cho 9.
Bài 4.15.
Hướng dẫn
Khoá luận tốt nghiệp
Nguyễn Thị Thái – K7 ĐHSP Tiểu học A
100
Trong đó các thừa số chia hết cho 5 là: 5, 10, 15, 20, 25, 30, mà 25 = 5 x 5 do đó có thể coi là có 7 thừa số chia hết cho 5. Mỗi thừa số này nhân với một số chẵn cho ta một số có tận cùng là chữ số 0.
Trong tích A có các thừa số là số chẵn và không chia hết cho 5 là: 2, 4, 6, 8, 12, 14, 16, 18, 22, 24, 26, 28 ( có 12 số ). Như vậy trong tích A có ít nhất 7 chữ số 0.
Số 1000000 có 6 chữ số 0 nên A chia hết cho 1000000 và thương là số tự nhiên có tận cùng là chữ số 0.