Đối với phơng trình dạng ax + b = 0 điều kiện để nó có nghiệm duy nhất sẽ là: a ≠ 0.
Đối với phơng trình dạng ax2 + bx + c = 0 điều kiện để nó có nghiệm duy nhất sẽ là:
+) a = 0 và b ≠ 0.
Nên bài toán tìm điều kiện của tham số để những phơng trình có dạng: ax + b = 0 và ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất thì lời giải là khá rõ ràng, nó cũng chính là bài tập cơ bản mà học sinh cần phải nắm đợc.
Tuy nhiên, có rất nhiều bài tập yêu cầu tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm duy nhất có độ khó cao, chẳng hạn nh:
Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
x2 – 2mx + (m + 1)x – m+ 1 = 0 (1)
Nếu học sinh xét 2 trờng hợp x ≥ m và x < m để phá dấu giá trị tuyệt đối thì sẽ đa lại phức tạp trong tính toán, cũng nh trong suy luận. Tuy nhiên nếu biết biến đổi chút ít, học sinh chuyển đợc phơng trình (1) về dạng:
(1) ⇔ (x - m)2 + (m + 1)x – m + 1 – m2 = 0 Đặt X = x – m, (điều kiện: X ≥ 0), đợc:
X2 + (m + 1)X + 1 – m2 = 0. (2) Với mỗi X > 0, phơng trình (1) có 2 nghiệm x = m ± X.
Với mỗi X = 0, phơng trình (1) có 1 nghiệm x = m. Với mỗi X < 0, phơng trình (1) vô nghiệm.
Nh vậy để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất thì phơng trình (2) phải có nghiệm X1, X2 thỏa mãn: X1 ≤ X2 = 0. ⇔ 1 2 1 2 P X X 0 S X X 0 = = = + ≤ 2 1 m 0 m 1 0 − = ⇔ − − ≤ m 1 m 1 = ± ⇔ ≥ − ⇔ = ±m 1 Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất với m = ± 1.
Bài toán này có thể giải theo phơng pháp điều kiện cần và đủ, ta dễ dàng tìm ra điều kiện cần, bởi:
Nếu phơng trình có 1 nghiệm là x0 thì x’ = 2m – x0 cũng là nghiệm. Nên để phơng trình có nghiệm duy nhất điều kiện cần là:
x’ = x0 ⇔ x0 = 2m – x0 ⇔ x0 = m Phơng trình có nghiệm x0 = m thay vào ta có:
1 – m2 = 0 ⇔ m = ± 1.
Cách giải theo phơng pháp điều kiện cần và đủ đặc biệt thuận lợi khi giải phơng trình mà phơng pháp giải khác, là hoàn toàn không đơn giản, chẳng hạn nh ví dụ sau:
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
x + 1 x 2m x(1 x) 2 x(1 x) m− + − + 4 − = 3