của cụm từ giải và biện luận, lẫn lộn giữa biện luận theo tham số m và tìm m
Hầu hết học sinh đều có thể giải phơng trình: x2 - 5x + 6 = 0, tuy nhiên với phơng trình có chứa tham số, chẳng hạn nh: “Giải và biện luận phơng trình theo tham số m: x2 – mx + 6 = 0” thì không ít học sinh lại thấy bối rối và bế tắc. Đây cũng chỉ là một phơng trình bậc 2, thay hệ số 5 bằng tham số m, nhng học sinh thấy khó bởi họ đã quen với tính toán cụ thể:
∆ = 52 - 4.6 =1
Giờ gặp tham số m, học sinh gặp khó khăn trong việc tính giá trị ∆. Có học sinh vẫn xác định đợc:
∆ = m2 – 4.6 = m2 – 24 và đa ra kết luận về nghiệm của phơng trình:
x m m2 24 2 + − = và x m m2 24 2 − − =
Học sinh này đã phần nào nắm đợc khái niệm tham số khi mạnh dạn tính ∆
theo tham số, tuy nhiên vẫn cha ý thức đầy đủ về khái niệm tham số. Học sinh không nhận ra giá trị tham số có thể thay đổi nên m có thể nhận giá trị bằng 0,
24, 5, v.v dẫn đến … ∆ có thể nhận giá trị dơng, âm hoặc bằng không nên cha thể thực hiện phép khai căn, từ đó dẫn tới sai lầm nh trên. Việc không nắm vững bản chất tham số có thể dẫn học sinh đến những sai lầm chẳng hạn nh:
Ví dụ 1: Chứng minh phơng trình sau luôn có nghiệm:
Học sinh nhận thấy với các giá trị m = 0; m = 1; m = 2; ; thay vào ph… ơng trình thì đều có nghiệm, nên kết luận phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
Trong Ví dụ trên học sinh đã chỉ ra những giá trị cụ thể của tham số và thấy nó thỏa mãn yêu cầu cần chứng minh. Học sinh đã sai lầm khi không ý thức đợc rằng đó chỉ là những trờng hợp cụ thể trong vô vàn các trờng hợp khác. Giáo viên cần giúp cho học sinh nhận ra sai lầm là: tham số nhận giá trị trong tập hợp các số thực là tập hợp có vô số các phần tử nên không thể tiến hành thử từng giá trị để chứng minh bài toán. Đây là kiểu sai lầm do học sinh ngộ nhận tham số với một vài trờng hợp cụ thể của nó.
Khi lần đầu tiên tiếp xúc với thuật ngữ “Giải và biện luận” chắc hẳn rất nhiều học sinh cảm thấy khó hiểu cho dù giáo viên có cố gắng giải thích thế nào đi nữa. Thực tế là học sinh đã quen với việc giải phơng trình, còn giải và biện luận có khác với việc giải phơng trình hay không? Chính điều băn khoăn này nếu không đợc giải thích sẽ làm học sinh ít nhiều cảm thấy lúng túng khi gặp bài toán giải và biện luận. Chẳng hạn nh trong Ví dụ sau:
Ví dụ 2: Giải và biện luận phơng trình:
(a2 + 1)x – 2 = a (với a là tham số)
Học sinh có thể có nhìn nhận sai lầm việc giải và biện luận cũng chẳng khác gì so với việc giải phơng trình, với bài toán này thì việc giải không phụ thuộc vào giá trị tham số.
(a2 + 1)x – 2 = a ⇔ (a2 + 1)x = a + 2 ⇔ x a 22 a 1 + =
+ . Vậy phơng trình có nghiệm là: 2
a 2 x a 1 + = +
Và chính sự nhầm lẫn giữa việc giải phơng trình và việc giải và biện luận dẫn học sinh đến sai lầm: chỉ xem xét những trờng hợp của tham số làm cho ph- ơng trình có nghiệm
Ví dụ 3: Giải và biện luận bất phơng trình:
m < x 1−
Cũng thật dễ hiểu nếu học sinh đa ra lời giải sau đây:
“Với m ≥ 0 phơng trình đã cho tơng đơng: m2 < x - 1 ⇔ x > m2 + 1. Vậy với m ≥ 0 bất phơng trình có nghiệm x > m2 + 1”.
Đây cũng là sai lầm thờng gặp của học sinh khi làm toán giải và biện luận, họ thờng bị lẫn lộn giữa bài toán tìm m để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm với bài toán giải và biện luận.