b) Giúp học sinh ý thức đợc việc tìm điều kiện cho ẩn phụ
2.3.3. Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán
Ngôn ngữ toán học là ngôn ngữ khoa học đòi hỏi sự ngắn gọn, chính xác và dễ hiểu. Học sinh vẫn thờng yếu kém trong việc diễn đạt ngôn ngữ toán học, nên việc rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán là hết sức quan trọng.
Khi tiến hành chuyển đổi ngôn ngữ bài toán thì yêu cầu lập luận phải có căn cứ đồng thời đảm bảo tính chặt chẽ, chính xác. Giải phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ thì việc chuyển đổi yêu cầu bài toán sang yêu cầu đối với ẩn phụ là không thể tránh khỏi. Để rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh, giáo viên cần tiến hành phân tích, mổ xẻ vấn đề trớc khi đa ra lập luận chuyển đổi.
Ví dụ 12: Cho phơng trình:
(3 2 2)+ tgx+ −(3 2 2)tgx =m
Tìm m để phơng trình có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- π/2; π/2) Để giải phơng trình ta dùng phơng pháp đặt ẩn số phụ:
t = (3 2 2) , thì: t > 0+ tgx Do : (3 2 2) .(3 2 2)+ tgx − tgx =1 . Nên: − tgx =1 (3 2 2) t Phơng trình trở thành : t + 1 t = m ⇔ t2 – mt + 1 = 0 (2)
Yêu cầu bài toán đối với phơng trình (1) là có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- π/2; π/2). Giáo viên cần có câu hỏi dẫn dắt nhằm để học sinh tự phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán.
H: Để phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- π/2; π/2) thì điều kiện cần trớc hết là gì?
Phơng trình (2) chắc chắn phải có nghiệm
H: Phơng trình (2) có nghiệm t0 thì kết luận đợc gì về nghiệm của phơng trình (1)?
Nếu phơng trình (2) có nghiệm t0 thì t0 = (3 2 2)+ tgx
+) Sẽ vô nghiệm x nếu t0 ≤ 0.
+) Sẽ có đúng 1 nghiệm x nếu t0 > 0.
H: Với mỗi nghiệm t0 > 0 của phơng trình (2) thì sẽ có bao nhiêu nghiệm x tơng ứng?
t0 = (3 2 2) ⇔+ tgx tgx log= 3 2 2+ t0 = αtg ⇔ x = α + kπ (k ∈ Â )
Vậy sẽ có vô số nghiệm x.
H: Bài toán yêu cầu tìm nghiệm x xác định ở đâu? Nghiệm x thuộc khoảng (- π/2; π/2)
H: Với khoảng xác định (- π/2; π/2), thì ứng với một nghiệm t0 > 0 của phơng trình (2) sẽ có bao nhiêu nghiệm x tơng ứng?
Với khoảng xác định (- π/2; π/2) thì với mỗi giá trị tgx sẽ cho 1 nghiệm x nên: t0 = (3 2 2) ⇔+ tgx tgx log= 3 2 2+ t sẽ có sự tơng ứng 1-1 giữa t0 0 và x. Vậy với mỗi giá trị t0 > 0 sẽ có 1 giá trị x tơng ứng thuộc khoảng (- π/2; π/2) H: Để phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc (- π/2; π/2) thì phơng trình (2) phải nh thế nào?
Phơng trình (2) phải có đúng 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn t > 0. H: Phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán?
Phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- π/2; π/2) khi và chỉ khi phơng trình (2) có 2 nghiệm phân t1, t2 thỏa mãn: 0 < t1 < t2.
Nh vậy để phát biểu đợc yêu cầu chuyển đổi bài toán thì một yêu cầu hết sức quan trọng là: học sinh phải ý thức đầy đủ đợc mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ. ở Ví dụ 12, ta thấy sự tơng tơng ứng là 1- 1 nên sự chuyển đổi bài toán là khá dễ dàng, tất nhiên có nhiều bài toán có sự tơng ứng phức tạp thì đòi hỏi khả năng lập luận, suy luận lôgic nhiều hơn. Cũng là Ví dụ 12 nếu thay
yêu cầu bài toán thành: tìm m để phơng trình vô nghiệm, thì phơng pháp lập luận của học sinh cần có sự thay đổi. Phơng trình (1) vô nghiệm trớc hết là khi (2) không tồn tại t và nếu có tồn tại t thì các nghiệm t đó đều phải âm. Lập luận chuyển đổi yêu cầu bài toán là rất quan trọng nó quyết định đến sự đúng sai của lời giải và nói chung nhiều khi việc chuyển đổi yêu cầu là khá phức tạp bởi nó có nhiều khả năng. Giáo viên cần giáo dục cho học sinh thói quen xem xét kĩ l- ỡng, cẩn thận trớc khi đa ra phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán.