mãn yêu cầu bài toán (so sánh một số với nghiệm của phơng trình)
x 0 2 -2 y = m2 y 1
Bài toán so sánh một số với nghiệm của phơng trình là dạng toán điển hình của tam thức bậc hai. Để giải quyết bài toán này một cách ngắn gọn, đơn giản thì cần tới Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai, tuy nhiên trong SGK Đại số 10, Nâng cao, đã bỏ nội dung Định lí này. Có thể nói đây là điều vô cùng đáng tiếc, bởi nội dung này có ứng dụng khá phong phú và là cơ hội tuyệt vời để có thể rèn luyện cho học sinh khả năng t duy lôgic, khả năng suy diễn. Sách giáo viên Đại số 10, Ban khoa học tự nhiên, Thí điểm, do Nguyễn Huy Đoan chủ biên có viết: “Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng hết
sức phong phú và tinh tế”. Không phải dĩ nhiên mà các tác giả lại nhận xét về
Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai nh vậy. Việc không dạy nội dung Định lí đảo trong chơng trình SGK Đại số 10, Nâng cao, thì cũng chỉ là một sự “thay
đổi mang tính thời điểm”, cha ai có thể khẳng định đó là việc làm đúng đắn và
biết đâu vào một thời điểm nào đó Định lí đảo lại quay lại trong chơng trình SGK. Điều khẳng định trên là hoàn toàn có cơ sở bởi ngay trong chơng trình SGK Ban Khoa học Tự nhiên, Thí điểm, năm 2003 thì Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai vẫn có trong nội dung chơng trình, vậy mà trong SGK Đại số 10, Nâng cao, xuất bản năm 2006, thì lại lợc bỏ nội dung này. Có điều đáng chú ý là, bộ SGK Ban Khoa học Tự nhiên, Thí điểm năm 2003, chính là nền tảng cho bộ sách Đại số 10, Nâng cao, năm 2006, đây là sự thay đổi nhanh chóng và chắc chắn không có đợc sự đồng tình của một số lợng lớn ngời dạy, nghiên cứu về phơng pháp dạy học Toán.
Thực chất việc hình thành và chứng minh nội dung Định lí đảo là việc làm không khó và mất ít thời gian, do vậy để nâng cao sự hiểu biết của học sinh, đặc biệt là đối tợng học sinh khá, ngời giáo viên hoàn toàn có khả năng dạy nội dung Định lí này cho học sinh nh là một bài tập. Tác giả Nguyễn Văn Thuận có viết: “Thực ra, có thể dẫn dắt để học sinh tự tìm ra định lí đảo bằng con đờng
tập sẽ tốt hơn nhiều” [38, tr. 37]. Giáo viên có thể cho học sinh nêu Định lí về
dấu của tam thức bậc hai:
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Nếu ∆ < 0 thì a.f(x) > 0 với mọi giá trị x.
Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 với mọi giá trị x ≠ b 2a
− .
Nếu ∆ > 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) khi đó: a.f(x) > 0 với x ∈ (- ∞ ; x1) ∪ (x2; +∞)
a.f(x) < 0 với x ∈ (x1; x2). Có thể đặt câu hỏi cho học sinh:
H: Nhìn vào Định lí về dấu của tam thức bậc hai, hãy cho biết trong trờng hợp nào thì tồn tại số α để f(α) trái dấu với hệ số a? (Đáp: ∆ > 0)
H: Hãy so sánh số α với các nghiệm tam thức f(x)? (Đáp: x1 < α < x2).
Giáo viên có thể tiến hành thể chế hóa: Nh vậy, chỉ với trờng hợp ∆ > 0 thì mới tồn tại α sao cho f(α) trái dấu với hệ số a. Điều ngợc lại có đúng
không? Tức là: Nếu tồn tại một số α sao cho a.f(α) < 0 thì liệu có thể kết
luận đợc biết số ∆ của tam thức dơng và số α khi đó sẽ nằm giữa hai nghiệm
không?
Với sự trình bày dới dạng một bài tập thì giáo viên có thể sử dụng và khai thác các ứng dụng của nó nhằm nâng cao kiến thức cho học sinh.
Ngay cả khi không còn sử dụng Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai thì bài toán so sánh một số với nghiệm của phơng trình bậc hai vẫn có thể giải đợc mặc dù tính toán là khá cồng kềnh. Thực chất, thì ta vẫn có bài toán so sánh số 0 với nghiệm của tam thức bậc hai, nên để so sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số α ta có thể chuyển về bài toán so sánh nghiệm với số 0 bằng một phép đặt ẩn số phụ.
Ví dụ : Cho phơng trình:
Tìm các giá trị k để phơng trình trên có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1.
Bài toán yêu cầu tìm điều kiện của tham số để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 < 1 < x2 . Để chuyển bài toán này về bài toán so sánh nghiệm phơng trình với số 0, ta dùng phép đặt ẩn phụ:
y = x – 1 ⇔ x = y + 1
đợc: k(y + 1)2 – 2(k + 1)(y + 1) + k + 1 = 0
⇔ ky2 – 2k + 1 = 0 (2)
Để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 < 1 < x2 thì phơng trình (2) phải có hai nghiệm trái dấu. Theo định lí Viet điều này tơng đơng với:
k 0 1 0 k ≠ − < ⇔ >k 0 Giá trị cần tìm sẽ là: k > 0.