Giúp học sinh hiểu và sử dụng đúng các phép biến đổi cơ bản th ờng dùng trong dạy học phơng trình, bất phơng trình

b) Giúp học sinh ý thức đợc việc tìm điều kiện cho ẩn phụ

2.4.1.Giúp học sinh hiểu và sử dụng đúng các phép biến đổi cơ bản th ờng dùng trong dạy học phơng trình, bất phơng trình

ờng dùng trong dạy học phơng trình, bất phơng trình

Hai phơng trình (cùng ẩn) đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập nghiệm. Trong thực tế khi giải phơng trình, bất phơng trình ta gặp khái niệm hai phơng trình tơng đơng trên D, điều này đồng nghĩa với việc nghiệm của phơng trình chỉ xét trên D mà thôi. Chẳng hạn, hai phơng trình: x2 = 4 và x = 2 là tơng đơng với nhau trên miền D = [0; +∞).

Để xác định xem 2 phơng trình có tơng đơng với nhau hay không ta cần dựa vào định nghĩa để xem xét tập hợp nghiệm của chúng. Cần lu ý học sinh rằng định lý 1 về phép biến đổi tơng đơng trong SGK Đại số 10, Nâng cao: “Cho phơng trình f(x) = g(x) có tập xác định là D; y = h(x) là một hàm số xác

định trên D( h(x) có thể là một hằng số). Khi đó trên D, phơng trình đã cho t- ơng đơng với mỗi phơng trình sau:

1) f(x) + h(x) = g(x) + h(x)

2) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x) ≠ 0 với mọi x ∈ D”.

Chỉ là điều kiện đủ để 2 phơng trình tơng đơng mà không phải là điều kiện cần. Giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh thấy, có thể h(x) có tập xác định khác D,

nhng 2 phơng trình vẫn tơng đơng, chẳng hạn: “Hai phơng trình x = 1 và

+ = +

− −

1 1

x 1

x 2 x 2 là tơng đơng với nhau trên Ă , mặc dầu h(x) = 2 1

−

x

không xác định trên tại x = 2 ∈ Ă ”. Tuy nhiên, hai phơng trình: x = 1 và

1 1

x 1

x 1 x 1

+ = +

− − là không tơng đơng với nhau. Có thể nói rằng, nếu ta thay thế điều kiện h(x) xác định trên D bởi h(x) xác định tại mọi nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) thì khi đó Định lý 1 trong SGK Đại số 10, Nâng cao, sẽ biến thành mệnh đề tơng đơng. Tuy nhiên, mệnh đề này không có ứng dụng trong thực tế, bởi chúng ta cha thể xác định đợc các giá trị nghiệm của phơng trình f(x) = g(x), để có thể kiểm tra h(x) có xác định với các giá trị nghiệm đó hay không.

Để khắc sâu Định lí 1 giáo viên có thể đa ra hoạt động nh:

Hoạt động 6: Giải phơng trình : x2 + x 1 4− = + x 1 (1)− Một học sinh lập luận:

“Phơng trình (1) có tập xác định là D = [1; +∞), xét hàm số:

h(x) = - x 1− xác định trên D. Khi đó cộng cả hai vế phơng trình (1) với h(x), ta đợc phơng trình tơng đơng với phơng trình (1) đó là:

x2 = 4 ⇔ x = ± 2

Vậy phơng trình (1) đã cho có 2 nghiệm x = ± 2”. Giáo viên có thể tiến hành đặt câu hỏi:

H: x = ± 2 có là nghiệm của phơng trình hay không?

H: Tại sao x = - 2 lại không là nghiệm, hay định lý mà ta vận dụng là sai?

Giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh thấy: (1) ⇔ x2 = 4 điều này chỉ xảy ra trên D = [1; +∞), do vậy phải loại nghiệm x = - 2, vì nó không thuộc D và kết luận phơng trình đã cho có nghiệm x = 2.

Cần loại bỏ việc giản ớc một cách tùy tiện, không có lập luận và căn cứ chính xác ở học sinh. Đồng thời yêu cầu học sinh tiến hành đặt điều kiện xác định đối với các phơng trình có chứa các phép toán khai căn bậc chẵn, chứa logarit, chứa ẩn ở mẫu. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cũng cần đa ra l- ợng bài tập về phép biến đổi tơng đơng nhất định nhằm giúp học sinh có cái nhìn toàn diện, sâu sắc hơn trong vấn đề này. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Ví dụ 13: Giả sử f(x) là biểu thức của x. Xem xét khẳng định sau đây:

(x - 2).f(x) = x - 2 ⇔ f(x) = 1

Biểu thức f(x) cho ta hàm số: y = f(x). Ta gọi Df là tập xác định của hàm số y = f(x).

(1): (x - 2).f(x) = x - 2. (2): f(x) = 1.

H: Nêu tập xác định của phơng trình (1) và (2)? Tập xác định của của phơng trình (1) và (2) là Df

H: Nêu phép biến đổi khi thực hiện biến đổi (1) ⇔ (2)? Nhân cả hai vế của (1) với h(x) = 1

x 2− .

H: Để thực hiện phép biến đổi đó ta cần xem xét điều gì? Liệu h(x) có xác định trên Df hay không?

H: Khi nào h(x) xác định trên Df và khi nào h(x) không xác định trên Df? h(x) xác định trên Df khi: 2 ∉Df

H: 2 ∉Df nêu kết luận về phép biến đổi?

h(x) xác định trên Df nên theo định lý (1) ⇔ (2) là khẳng định đúng. H: 2 ∈Df nên kết luận về khẳng định (1) ⇔ (2)?

Khi đó (1) có 1 nghiệm là x = 2, do đó:

+) Nếu 2 cũng là nghiệm của (2) tức là f(2) = 1 thì khẳng định đúng. +) Nếu f(2) ≠ 1 thì khẳng định sai.

Ngoài phép biến đổi tơng đơng SGK Đại số 10, Nâng cao, còn đa ra khái niệm phơng trình hệ quả và đa ra định lý về phép biến đổi bình phơng hai vế của phơng trình nh sau:“f1(x) = g1(x) gọi là phơng trình hệ quả của phơng trình f(x) = g(x) nếu nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phơng trình f(x) = g(x)” v “à Khi bình phơng hai vế của một phơng trình, ta đợc phơng trình hệ quả của phơng trình đã cho: f(x) = g(x) ⇒ [f(x)]2= [g(x)]2”.

Đối với bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số rất hiếm khi sử dụng phép biến đổi phơng trình hệ quả. Nên cần lu ý học sinh điều kiện có thể thực hiện phép bình phơng hai vế, để thu đợc phơng trình tơng đơng.

Hoạt động 7: Thử đi tìm điều kiện để phép biến đổi bình phơng hai vế

phơng trình để thu đợc phơng trình tơng đơng.

H: Để f(x) = g(x) ⇔ [f(x)]2 = [g(x)]2 thì cần có thêm điều gì? Cần phải có phép kéo theo [f(x)]2 = [g(x)]2 ⇒ f(x) = g(x) H: [f(x)]2 = [g(x)]2 sẽ tơng đơng với điều gì?

[f(x)]2 = [g(x)]2 ⇔ [f(x)]2 - [g(x)]2 =0 ⇔ [f(x) - g(x)].[ f(x) + g(x)] = 0 ⇔ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x)

H: Các đẳng thức f(x) = g(x); f(x) = - g(x) chúng ta đặt điều kiện để không xảy ra đẳng thức nào?

Đặt điều kiện để không xẩy ra đẳng thức f(x) = - g(x).

H: So sánh hai đẳng thức f(x) = g(x) và f(x) = - g(x) chúng khác nhau ở điểm nào?

Hai đẳng thức này chỉ khác nhau dấu trừ với mọi giá trị x bất kì, f(x) = g(x) chứng tỏ f(x), g(x) cùng dấu, f(x) = - g(x) chứng tỏ f(x), g(x) trái dấu.

H: Để chỉ xẩy ra f(x) = g(x) mà không xẩy ra f(x) = - g(x) cần có điều kiện gì? f(x) và g(x) cùng dấu ⇔ f(x). g(x) ≥ 0

H: Với điều kiện f(x). g(x) ≥ 0 thì có [f(x)]2 = [g(x)]2 tơng đơng với đẳng thức nào?

Với điều kiện f(x). g(x) ≥ 0 thì: [f(x)]2 = [g(x)]2⇔ f(x) = g(x).

Giáo viên cần lu ý học sinh trong thực hành giải toán, ta thờng sử dụng phép bình phơng hai vế vào việc giải phơng trình vô tỉ, phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Thông thờng để phép biến đổi ấy là tơng đơng ta chuyển hạng tử chứa căn về một vế để vế đó dơng, vế còn lại ta đặt thêm điều kiện dơng để tiến hành bình phơng. Chẳng hạn, bài toán: “Giải phơng trình:

x 4+ − 1 x− = 1 2x− (1) Ta thực hiện phép biến đổi: Điều kiện: x ≤ 1/2 (1) ⇔ x 4+ = 1 x− + 1 2x−

Khi đó ta thực hiện phép biến đổi bình phơng hai vế vì với điều kiện trên thì hai vế phơng trình dơng. Nh vậy, thực chất điều kiện f(x).g(x) ≥ 0 trong thực hành ta sử dụng điều kiện f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 và thực hiện phép bình phơng hai vế để thu đợc phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.

Trong phép biến đổi nhằm giải phơng trình, có những phép biến đổi dẫn tới phơng trình hệ quả, tuy nhiên đây là điều không dễ nhận ra đối với học sinh. Giáo viên cần đa ra ví dụ cụ thể về phép biến đổi thu đợc phơng trình hệ quả, để rồi khắc sâu cho học sinh nhằm tránh sai lầm tơng tự trong khi thực hiện phép biến đổi đa đến phơng trình hệ quả mà học sinh không nhận ra và gặp phải sai lầm khi nghĩ đó là phép biến đổi tơng đơng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Ví dụ 14: Giải phơng trình

3 2x 1− + 3 x 1− = 3 3x 1+ (1) Học sinh đa ra lời giải:

⇔ 3 2x 1. x 1. 3x 1 3− 3 − 3 + = ⇔ (2x - 1).(x - 1).(3x + 1) = 1

⇔ x2(6x - 7) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 7/6 Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x = 0 và x = 7/6.

Sai lầm trong lời giải này đã đợc chỉ ra trong Mục 1.4.5, Chơng 1. ở đây ta phân tích khía cạnh tại sao lại sai lầm và đề ra biện pháp hữu hiệu để khắc phục sai lầm. Đây là điều giáo viên cần khắc sâu để học sinh hiểu hơn về phép biến đổi này.

Hoạt động 8: Tìm hiểu sai lầm trong phép biến đổi:

u + v = a (1) u3 + v3 + 3uv.a = a3 (2) Xem xét vấn đề (1) ⇔ (2) hay không?

Dễ thấy u + v = a thì dễ dàng suy ra: u3 + v3 + 3uv.a = a3. Tuy nhiên, vấn đề ngợc lại: (2) ⇒ (1) là mệnh đề đúng hay sai?

H: Hãy biến đổi (2) nhằm làm xuất hiện (1)? u3 + v3 + 3uv.a= a3

⇔ (u + v)(u2 – uv + v2) + 3uv.a = a3

⇔ (u + v)[(u + v)2 – 3uv] + 3uv. a = a3

⇔ (u + v)3 - 3uv(u + v) + 3uv. a = a3

⇔ (u + v)3 - a3 - 3uv(u + v - a) = 0

⇔ (u + v - a)[(u + v)2 + a(u + v) + a2 – 3uv] = 0 ⇔ (u + v - a)(u2 + v2 + a2 + au + av – uv) = 0 ⇔ u + v = a hoặc u2 + v2 + a2 + au + av – uv = 0 ⇔ (u + v) = a hoặc (u - v)2 + (u + a)2 + (v + a)2 = 0 H: Để (2) ⇒ (1) ta cần điều gì?

Phơng trình (u - v)2 + (u + a)2 + (v + a)2 = 0 vô nghiệm, hay hệ sau vô nghiệm:  =  = −  u v u a

H: Vận dụng suy luận trên vào phơng trình 3f(x) +3g(x) =3h(x). Khi nào sẽ tơng đơng với phơng trình: f(x) + g(x) + 3 f(x). g(x). h(x) = h(x)?3 3 3

Hai phơng trình trên sẽ tơng đơng nếu hệ sau vô nghiệm:

(*)  =  = − 

f(x) g(x) f(x) h(x)

Giáo viên lu ý vai trò học sinh điều kiện (*) trong hoàn cảnh biến đổi về phơng trình hệ quả mà nghiệm là số không thể thử lại đợc, thì chỉ còn cách biến đổi tơng đơng trên cơ sở đã kiểm tra hệ (*) vô nghiệm.

Khi giảng dạy về bất phơng trình giáo viên cần lu ý học sinh không có thuật ngữ bất phơng trình này là hệ quả của bất phơng trình kia, bởi SGK Đại số 10, Nâng cao, không đa ra khái niệm bất phơng trình hệ quả. Để tránh nhầm lẫn với kiến thức về phơng trình giáo viên cần lu ý học sinh:

Nếu không có điều kiện gì đối với f(x) và g(x) thì không thể nói rằng f(x) < g(x) tơng đơng trên D (D là tập xác định của bất phơng trình f(x) < g(x)) với [f(x)]2 < [g(x)]2, thậm chí trong các tập nghiệm của bất phơng trình không chắc chắn tập nghiệm nào là con của tập nào.

Hoạt động 9: Xem xét tập nghiệm của 2 bất phơng trình:

x + 1 > -2x – 1 (1) và (x + 1)2 > (-2x – 1)2 (2)

H: Hai bất phơng trình trên có mối quan hệ gì với nhau?

Bất phơng trình (2) là phép bình phơng hai vế bất phơng trình (1). H: Tìm tập nghiệm của 2 bất phơng trình trên?

(2) ⇔ 3x2 + 2x < 0 ⇔ -2/3 < x < 0

H: Có tập nghiệm nào chứa tập nghiệm nào không? Không

H: Nêu kết luận về phép biến đổi bình phơng hai vế bất phơng trình?

Khi bình phơng hai vế bất phơng trình thì không có kết luận về tập nghiệm của bất phơng trình này chứa tập nghiệm của bất phơng trình kia. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Sau khi tiến hành hoạt động, giáo viên có thể nhấn mạnh: nếu f(x) và g(x) bất kỳ, thì cha thể khẳng định đợc f(x) < g(x) có tơng đơng trên D với [f(x)]2 < [g(x)]2 hay không và cũng không khẳng định đợc có tập nghiệm nào bị chứa trong tập nghiệm kia hay không.