a) Học sinh đã đợc làm quen với thuật ngữ “ẩn số” ở bậc THCS, còn thuật ngữ “tham số” ở đầu cấp THPT mới giới thiệu sẽ không tránh khỏi việc học sinh thấy “bỡ ngỡ, khó hiểu” khi tiếp xúc với thuật ngữ này. SGK Đại số 10, Nâng cao, đa ra lời giới thiệu về tham số: “Những phơng trình, trong đó ngoài
các ẩn còn có những chữ khác. Các chữ này đợc xem là những số đã biết gọi là tham số”. Với tầm nhận thức của học sinh không tránh khỏi việc họ cảm thấy
“băn khoăn” khi thấy tham số là một chữ mà chữ lại đợc xem nh số đã biết. Tại sao chữ mà lại xem nh số đã biết? Số đã biết là những số nào?
Để học sinh hiểu đúng đắn, chính xác thuật ngữ “tham số” giáo viên cần đ- a ra hoạt động cụ thể, nhằm hình thành khái niệm. Chẳng hạn, có thể đa ra một trong những hoạt động sau:
Hoạt động 1a: Một ngời đi xe đạp với vận tốc 15km/h, tính quãng đờng đi
đợc trong khoảng thời gian 30 phút, 60 phút, 90 phút? Học sinh dễ dàng tính đợc khi dựa vào công thức:
s = v.t = 15.t
t = 30 (p) = 1/2 (h) thì S = 15.1/2 = 7,5 km t = 60 (p) = 1 (h) thì S = 15.1 = 15 km t = 90 (p) = 3/2 (h) thì S = 15.3/2 = 22,5 km
Nh vậy, khi t thay đổi kéo theo sự thay đổi của S. Ta có thể xem biểu thức: S = 15.t là một phơng trình ẩn S, khi đó với mỗi giá trị t sẽ cho một nghiệm S của phơng trình. Để đặc trng cho chuyển động trên trong Toán học ta xét phơng trình:
x = 15.a
Với x là ẩn và a là một số đã biết, tuy nhiên giá trị cụ thể của a là không xác định, bởi a = 1, a = 2, , a có thể là một số cụ thể nào đó. Số a trong ph… - ơng trình trên đợc gọi là tham số.
Hoạt động 1b: Giáo viên đa ra cho học sinh các phơng trình:
x2 – x + 1 = 0 x2 – 2x + 1 = 0 x2 – 4x + 1 = 0
Yêu cầu học sinh khái quát hóa dạng phơng trình trên bằng câu hỏi: H: Các phơng trình trên có điểm nào chung? (đều là phơng trình bậc 2) H: Hệ số nào của các phơng trình trên là giống nhau?
H: Đa ra phơng trình tổng quát của phơng trình trên?
Học sinh đa ra phơng trình: x2 + ax + 1 = 0, ở các phơng trình trên a nhận giá trị: -1, -2, - 4,…
H: Cho vài ví dụ về phơng trình dạng trên? khi đó a nhận giá trị nào?
Vậy a có thể nhận vô số giá trị thuộc tập hợp số thực và khi nghiên cứu ph- ơng trình: x2 + ax + 1 = 0.
Ta nói đây là phơng trình ẩn x với tham số a H: Nêu kết luận về tham số?
b) Cần nói rõ cho học sinh thấy tham số thờng đợc ký hiệu bằng các chữ cái: k, a, m, , nh… ng tuyệt đối không đợc giống với ký hiệu ẩn của phơng trình, bất phơng trình. Khi học sinh mới tiếp xúc với bài toán có chứa tham số, giáo viên cần có câu hỏi nhằm giúp học sinh ghi nhớ và phân biệt ba thuật ngữ: ẩn số, tham số và nghiệm của phơng trình.
Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị x, thỏa mãn x > 1, nghiệm đúng bất phơng trình:
22(x x) 2(x x)
m
log + (x m 1) 1+ − < với mọi giá trị của m: 0 < m ≤ 4.
Đây là bài toán khá rắc rối và nó phần nào đi ngợc với t duy giải toán thông thờng. Bởi bài toán yêu cầu tìm nghiệm bất phơng trình thỏa mãn với mọi giá trị tham số: 0 < m ≤ 4, thông thờng bài toán yêu cầu tìm giá trị tham số để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi giá trị x. Khi tiếp xúc bài toán này, sẽ rất nhiều học sinh cảm thấy khó xác định bài toán và thấy lúng túng. Nh vậy, trớc hết giáo viên cần phải giúp học sinh vợt qua rào cản này.
H: Đâu là ẩn số?
ẩn số là x bởi ta cần tìm giá trị x, thỏa mãn x > 1, nghiệm đúng bất phơng trình.
H: Nghiệm của bất phơng trình cần thỏa mãn điều kiện gì?
Lớn hơn 1 và bất phơng trình khi đó đúng với mọi giá trị m: 0 < m ≤ 4. H: Đâu là tham số trong bài toán? Chỉ ra miền xác định của tham số trong bài toán?
H: Bài toán yêu cầu xác định điều gì?
Tìm nghiệm bất phơng trình thỏa mãn điều kiện nghiệm lớn hơn 1 và đúng với mọi giá trị m: 0 < m ≤ 4.
H: Nêu miền xác định của ẩn số và tham số?
Miền xác định ẩn số là (1; +∞), miền xác định tham số là nửa đoạn (0;4]. Chính nhờ vào đặc điểm miền xác định tham số và ẩn số ta dễ dàng:
x + m - 1 > 0 và 2(x2 1) 1 m+ > Nên ta thực hiện phép biến đổi:
(1) ⇔ x + m - 1 < 2(x2 1)
m
+
⇔ mx + m2 – m < 2(x2 +x) (2)
Bài toán yêu cầu tìm x để bất phơng trình thỏa mãn với mọi m thỏa mãn: 0 < m ≤ 4. Nên ta xem xét bất phơng trình (2) là bất phơng trình bậc 2 ẩn số m và khi đó x thành tham số. Nh vậy, tùy vào yêu cầu bài toán mà vai trò của ẩn số và tham số có thể đánh tráo, tuy nhiên về cơ bản thì ta vẫn phải hiểu x là ẩn số, m là tham số.
(2) ⇔ m2 + (x – 1)m – 2(x2 + x) < 0 ⇔ (m + 2x)(m – x – 1) < 0
Do xét x > 1 nên ta có nghiệm bất phơng trình trên là: -2x < m < x + 1
Để bất phơng trình luôn thỏa mãn khi: 0 < m ≤ 4 thì: - 2x ≤ 0 < m ≤ 4 < x +1
⇔ x > 3.
Thông qua ví dụ này ta thấy việc xác định đâu là ẩn số, đâu là tham số, cùng miền xác định của chúng là điều kiện rất quan trọng. Tuy nhiên vai trò của ẩn số, tham số là không cố định, cứng nhắc, mà trong hoàn cảnh cụ thể ta có thể đánh tráo nhằm làm cho việc giải quyết bài toán nên nhẹ nhàng hơn. Trong nhiều bài toán nó còn có ý nghĩa quyết định. Chẳng hạn, bài toán: “Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: - 2x3 + (m + 1)x2 + 2(1 – m)x + m2 – 1 = 0 (m là tham số)”.
Nếu giải quyết Bài toán này theo ẩn x là điều rất khó khăn bởi phơng trình trên là phơng trình bậc 3 mà việc nhẩm nghiệm là khó có thể thực hiện đợc (nếu không muốn nói là không thể). Nhng nếu biết thay đổi vai trò giữa ẩn và tham số thì bài toán sẽ đơn giản hơn, nếu xét phơng trình với ẩn m thì nó sẽ là phơng trình bậc hai:
m2 + (x2 – 2x).m + (-2x3 + x2 + 2x - 1) = 0 (3) với ∆ = x4 + 4x3 - 8x + 4 = (x2 + 2x - 2)2
Nên bằng phơng pháp tính nghiệm ta phân tích đợc: (3) ⇔ (m + x2 - 1)(m - 2x + 1) = 0
Đến đây bài toán không còn khó khăn phức tạp nữa, bởi điều kiện để ph- ơng trình có nghiệm trở thành (m + x2 - 1) = 0 có nghiệm hoặc (m - 2x + 1) = 0 có nghiệm.
Giáo viên cần tận dụng tốt cơ hội trong dạy học Toán để giúp học sinh bản chất, hiểu đúng và đầy đủ về tham số. Thứ nhất, khi dạy bài toán về phơng trình có chứa tham số có thể yêu cầu học sinh giải bài toán với những giá trị cụ thể hoặc yêu cầu học sinh cho một ví dụ cụ thể của tham số và với giá trị đó phơng trình sẽ trở thành thế nào? Khi học sinh thực hiện đợc điều này giáo viên cần chỉ rõ đây là những trờng hợp cụ thể của tham số, ngoài ra tham số còn có thể có rất nhiều giá trị thuộc miền xác định của nó.
Hoạt động 2: “Cho bất phơng trình:
log3x.log2x + 2m > log2xm + log3x2
Tìm m để tập nghiệm của bất phơng trình chứa khoảng (1, +∞)”.
Giáo viên yêu cầu học sinh cho một vài giá trị cụ thể của tham số, khi đó phơng trình sẽ nh thế nào?
Yêu cầu học sinh giải với một trong những giá trị cụ thể của tham số, chẳng hạn: Hãy giải với bất phơng trình với m = 1!
Để tránh việc học sinh nhận thức sai khi họ thờng lấy ví dụ giá trị tham số trong tập hợp số tự nhiên thì giáo viên nên chỉ ra các ví dụ cụ thể: m = 2; m =
- 2; ; nhắc nhở học sinh tham số m lấy giá trị trong tập hợp số thực … Ă nên nó có vô số giá trị.
Để học sinh hiểu hơn về tham số khi tiến hành giải các bài tập giải và biện luận sau khi đa ra kết luận bài toán, giáo viên nêu ra những giá trị cụ thể của tham số và yêu cầu học sinh nêu kết luận về phơng trình ngay lập tức (dựa vào kết quả biện luận).
Hoạt động 3: “Giải và biện luận phơng trình sau:
2(x x2 a2 x a 5 x a
+ − − >
− ”. Sau khi giải và biện luận ta thu đợc kết quả:
+) a = 0: Thì phơng trình vô nghiệm
+) a > 0: Phơng trình có nghiệm là: 24 5 5a x 24 5 5a 11 11 − < < + +) a < 0: Phơng trình có nghiệm là: a x 8 5 5a 3 − + − ≤ < Giáo viên có thể đặt câu hỏi:
H: Không giải bất phơng trình hãy nêu kết luận về phơng trình khi: a = 1, a =
2, a = -1?