b) Giúp học sinh ý thức đợc việc tìm điều kiện cho ẩn phụ
2.3.2. Khắc sâu mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ
Để giải phơng trình, bất phơng trình nhiều khi ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t = ϕ (x), mối quan hệ giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ đợc thể hiện thông qua hàm số ϕ. Giáo viên cần giúp học sinh nhận ra mối tơng quan của t và x, tức là trả lời câu hỏi: với giá trị t bất kỳ thì sẽ có bao nhiêu giá trị x tơng ứng? Với giá trị x
x y
8
-16
bất kỳ thuộc miền xác định của bài toán, thì tồn tại một giá trị t, tuy nhiên vấn đề mà ta cần quan tâm lại là vấn đề ngợc lại.
Trớc hết, giáo viên cần hớng dẫn học sinh nhận ra với giá trị nào của ẩn phụ t thì tồn tại giá trị x tơng ứng, điều này giống nh bài toán tìm điều kiện tham số t để phơng trình t = ϕ (x) có nghiệm. Học sinh cần trả lời đợc câu hỏi: Với những giá trị nào của t để phơng trình t = ϕ(x) tồn tại x? Với những cả giá trị nào của t thì t = ϕ (x) sẽ không tồn x? Thực chất chỉ cần tìm câu trả lời đợc một trong hai câu hỏi và phủ định lại đáp án đó thì đợc đáp án cho câu hỏi còn lại. Khi đặt ẩn phụ thì có thể với mọi giá trị của t đều dẫn đến sự tồn tại của x, chẳng hạn nh phép đặt ẩn phụ:
+) t = tgx; t = cotgx; +) t = logax;
Tuy nhiên, cần lu ý học sinh bởi điều này không phải bao giờ cũng đúng, chẳng hạn phép đặt ẩn phụ: t = x2 +1. Học sinh sẽ đễ dàng nhận thấy điều kiện của t là: t ≥ 0, do đó với những giá trị t < 0 thì sẽ không tồn tại giá trị x t- ơng ứng. Tuy nhiên, kết luận trên vẫn cha đầy đủ, bởi nó cha xác định hết những giá trị của t để không tồn tại x tơng ứng. Cần nhắc nhở học sinh biết xem xét biểu thức trong dấu căn, chứ không nên suy luận đơn giản là: t = x2 +1 ≥ 0, nên với giá trị t ≥ 0 thì sẽ tồn tại giá trị x tơng ứng. ở đây học sinh có thể đánh giá:
x2 + 1 ≥ 1 ⇒ x2 +1 ≥ 1.
Nên t ≥ 1, vậy với giá trị t ≥ 1 thì sẽ tồn tại giá trị x tơng ứng. Do vậy, ngoài việc xem xét phép toán, cần xem xét biểu thức trong phép toán:
Với những phép đặt ẩn phụ trên ta cha đợc khẳng định với t ≥ 0 thì sẽ tồn tại x, điều này rất có thể dẫn đến sai lầm. Để tìm miền xác định của t cần phải xem xét đến miền xác định của f(x).
Tiếp đến, học sinh cần nhận thấy trong các giá trị của t dẫn tới tồn tại x trong biểu thức t = ϕ(x), thì ứng với một giá trị t cụ thể bất kỳ nào đó có bao nhiêu giá trị x. Sự tơng ứng giữa t và x là rất quan trọng trong những bài toán yêu cầu tìm giá trị tham số để phơng trình có số nghiệm xác định. Với phép đặt ẩn phụ t = ϕ(x), nếu ϕ là hàm đơn điệu thì trong miền giá trị của t sự tơng ứng sẽ là 1 – 1.
Chẳng hạn, với phép đặt ẩn phụ: t = x 1+ = ϕ(x)
Khi đó miền giá trị của ẩn phụ sẽ là: [0; +∞), hàm ϕ là hàm số đồng biến do: ϕ = > + 1 '(x) 0 2 x 1 với mọi x ∈ (-1;+∞)
nên sự tơng ứng giữa x và t ở đây là 1-1. Thật vậy, với giá trị t0 bất kỳ thuộc miền xác định [0; +∞) tồn tại một giá trị x duy nhất tơng ứng, đó là:
x = t02 – 1
Tất nhiên, mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ không phải bao giờ cũng là 1-1. Bên cạnh đó có nhiều phép đặt ẩn phụ thì với mỗi giá trị của ẩn phụ thuộc miền giá trị có thể cho nhiều giá trị x tơng ứng. Chẳng hạn, phép đặt ẩn phụ:
t = 2x 12+ ⇔ x2 + 1 = log2t0 ⇔ x2 = log2t0 – 1 +) Với t0 = 2 thì sẽ tồn tại 1 giá trị x tơng ứng là x = 0 +) Với t0 > 2 thì sẽ tồn tại 2 giá trị x tơng ứng là: x= ± log t - 12 0
Giáo viên cần nhắc nhở học sinh suy xét kĩ càng mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Bởi mối quan hệ này khá phức tạp và phong phú, nếu xem xét không kỹ càng có thể dẫn đến sai lầm không đáng có. Một khi học sinh ý thức đầy đủ mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ sẽ giúp học sinh lập luận chính xác và có thể ứng phó linh hoạt khi yêu cầu của bài toán thay đổi.
Để xác định sâu mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ thì trong giảng dạy giáo viên không chỉ nên dừng lại ở yêu cầu của bài toán mà còn có thể đặt ra các yêu cầu khác nhau, nhằm giúp học sinh phản ứng tốt trớc các kiểu bài toán và giúp họ hiểu chắc chắn về mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ.
Ví dụ 11: Cho phơng trình :
2(x2 −2x)+ x2 −2x 5 m 0+ − = (1) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm.
H
ớng dẫn tìm lời giải:
Để giải phơng trình trên ta dùng phép đặt ẩn phụ: t = x2 −2x 5+
Giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh: H: Hãy chỉ ra miền xác định của ẩn x?
2 2 5
x − x+ ≥ 0 ⇔ ∀x ∈ R
H: Với những giá trị x thuộc miền xác định chỉ ra miền giá trị của t? t = x2 −2x 5+ …
H: Có thể nói gì về biểu thức dới dấu căn?
x2 – 2x + 5 = (x - 1)2 + 4 ≥ 4 với mọi x ∈ R
Biểu thức dới dấu căn luôn lớn hơn hoặc bằng 4 với mọi giá trị của x ∈ R H: Có xác định đợc giá trị lớn nhất của biểu thức dới dấu căn hay không?
Không vì x là dần tới +∞ thì (x2 – 2x + 5 ) sẽ dần tới +∞! H: Hãy chỉ ra miền giá trị của t?
t = x2 −2x 5 = + (x 1)− 2 +4 ≥ 2. Miền giá trị của t là [2; +∞) H: Với giá trị nào của t thì phơng trình t = x2 −2x 5 sẽ có nghiệm?+
Với t ≥ 2 thì phơng trình t = x2 −2x 5 có nghiệm.+ H: Với cách đặt ẩn phụ đó phơng trình sẽ trở thành nh thế nào?
2(t2 - 5) + t – m = 0
⇔ 2t2 + t – m - 10 = 0 (2)
H: Để phơng trình (1) có nghiệm thì (2) phải nh thế nào?
Để phơng trình (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm thỏa mãn t ≥ 2.
Trong ví dụ này ta phân tích, diễn giải cách thức nhằm giúp học sinh phát hiện ra điều kiện ẩn phụ, cũng nh mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. ở đây ta thấy, không phải mọi giá trị của ẩn phụ đều dẫn tới sự tồn tại của ẩn ban đầu, mà chỉ những giá trị ẩn phụ thoã mãn t ≥ 2 thì mới dẫn đến sự tồn tại của ẩn ban đầu tơng ứng. Tuy nhiên, nếu bài toán chỉ dừng lại ở đây thì giáo viên cha hoàn thành đợc nhiệm vụ khắc sâu mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Để giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn sự tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, giáo viên có thể thay đổi yêu cầu bài toán, rồi yêu cầu học sinh hoạt động suy luận để giải quyết. Giáo viên có thể đa ra hoạt động sau:
Hoạt động 5:
Hãy tiến hành suy luận với điều kiện nào của phơng trình (2) thì phơng trình (1): a) Có đúng 1 nghiệm. b) Có đúng 2 nghiệm. c) Có đúng 3 nghiệm. d) Có đúng 4 nghiệm. e) Vô nghiệm.
Thông qua hoạt động này học sinh bắt buộc phải suy xét mối tơng quan giữa ẩn phụ t và ẩn ban đầu x. Bây giờ học sinh phải suy xét kĩ hơn là: với 1 giá
trị t ≥ 2 thì sẽ tồn tại bao nhiêu giá trị x tơng ứng. Chính sự suy xét sau đây sẽ giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc, đầy đủ hơn về bài toán:
+) Với t = 2 thì sẽ tồn tại 1 giá trị x tơng ứng là x = 1. +) Với t > 2 thì sẽ tồn tại 2 giá trị x tơng ứng là:
x = 1 ± t2 −4
+) Với t < 2 thì không tồn tại giá trị x tơng ứng.
Một khi học sinh đã có sự xét này thì việc tiến hành suy luận để giải quyết các yêu cầu trên là không mấy khó khăn:
a) Phơng trình có đúng một nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm t1, t2 thỏa mãn: t1≤ t2 = 2.
b) Phơng trình (1) có 2 nghiệm ⇔ (2) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn: t1 < 2 < t2 hoặc 2 < t1 = t2
c) Phơng trình (1) có 3 nghiệm ⇔ (2) có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn: t1 = 2 < t2
d) Phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn: 2 < t1 < t2.
e) Phơng trình (1) vô nghiệm ⇔ (2) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn: t1≤
t2 < 2 hoặc phơng trình (2) vô nghiệm.
Với sự suy xét và lập luận trên nếu giáo viên có sự hỗ trợ đúng mực làm sao cho học sinh là chủ thể hoạt động thì chắc chắn học sinh sẽ nắm bắt, hiểu rõ hơn mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Từ đó hình thành kĩ năng giải các bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ.