biến đổi tơng đơng và dẫn đến sai lầm trong việc biến đổi
Kiến thức về phép biến đổi phơng trình, bất phơng trình là một điều kiện kiên quyết để có thể giải chúng. Mặc dù vậy vẫn rất nhiều học sinh không nắm vững các phép biến đổi này, đối với học sinh thì sai lầm trong phép biến đổi là
khá phổ biến, chẳng hạn nh: “Giải phơng trình: 2 2 1
x x 1 x x 1
2
+ + − − + = − . Học sinh thực hiện phép biến đổi tơng đơng:
( )2 2 2 2 1 x x 1 x x 1 2 + + − − + = − ữ
”. Rõ ràng phép biến đổi trên là không t- ơng đơng và sai lầm này còn có thể dẫn bài toán tới chỗ bế tắc. Sai lầm ở chỗ phơng trình f(x) = g(x) thì khi thực hiện phép bình phơng 2 vế ta thu đợc phơng trình f2(x) = g2(x) chỉ là phơng trình hệ quả. Muốn phép biến đổi bình phơng 2 vế là tơng đơng cần có thêm điều kiện, thật vậy: a = b tơng đơng a2 = b2 khi a, b thỏa mãn điều kiện a.b ≥ 0. Nhng với bài toán trên mà xét thêm điều kiện trên để thực hiện phép biến đổi thì quá rắc rối nếu không muốn nói là việc giải quyết điều kiện tơng đơng còn khó hơn cả việc giải phơng trình. Thông thờng, để giải phơng trình trên ta thực hiện phép biến đổi sao cho cả hai vế của phơng
trình đều dơng, cụ thể ta biến đổi: 2 1 2
x x 1 x x 1
2
+ + + = − + . Thực ra việc nắm bắt kiến thức về phép biến đổi tơng đơng để giải phơng trình, bất phơng trình là điều không dễ đối với học sinh, đặc biệt là phép biến đổi bình phơng hai vế thờng dùng để giải phơng trình, bất phơng trình vô tỉ. Nếu học sinh cố ghi nhớ máy móc các phép biến đổi tơng đơng khi bình phơng hai vế các phơng trình, bất phơng trình dạng:
f (x) = g(x); f (x) g(x)= ; f (x) > g(x); f (x) g(x)> ; f (x) g(x)< ;
là điều rất khó khăn và dễ gây ra sự nhầm lẫn giữa các công thức khác nhau. Việc cho học sinh ghi nhớ máy móc các công thức này là điều không nên vì nh vậy sẽ dễ quên, hay lẫn lộn, kém linh hoạt trong hoạt động biến đổi. Sai lầm trong việc thực hiện phép biến đổi tơng đơng là rất nghiêm trọng, nó dẫn lời giải tới chỗ sai hoàn toàn, cũng có khi dẫn tới bế tắc làm học sinh cảm thấy vô vọng, mất niềm tin vào tri thức đúng đắn đã đợc hình thành trớc đó.
Trong khi thực hiện phép biến đổi tơng đơng nhiều học sinh chỉ làm theo “quán tính” mà hoàn toàn không ý thức đợc việc biến đổi và cũng không hiểu cơ sở của phép biến đổi đó. Khi giải phơng trình và bất phơng trình học sinh đ- ợc học qui tắc chuyển vế đổi dấu, nên học sinh đã rất quen với biến đổi dạng:
5x – 3 = 0 ⇔ 5x = - (-3)
Nếu hỏi học sinh cơ sở của phép biến đổi trên thì chắc hẳn sẽ có rất nhiều học sinh không trả lời đợc. Chính điều này tạo cơ sở cho những sai lầm trong biến đổi nh sau:
2 1 1x 1 x 1 x 1 x 1 + = + − − ⇔ x 2 = 1
Qua đây cũng chứng tỏ học sinh gặp khó khăn nhất định khi tiếp thu định lí về phép biến đổi tơng đơng phơng trình, bất phơng trình. Nhiều học sinh còn lẫn lộn giữa phơng trình và bất phơng trình, nên họ thực hiện phép biến đổi áp dụng cho phơng trình để biến đổi bất phơng trình, chẳng hạn:
“Giải phơng trình: 3x 4 5x 8
x 2 x 2
− ≤ −
− − (1) . Học sinh đa ra lời giải:
Điều kiện: x ≠ 2. (1) ⇔ (x 2)3x 4 (x 2)5x 8 x 2 x 2 − − − ≤ − − − ⇔3x 4 5x 8− ≤ − ⇔ ≥x 2. Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phơng trình là: x 2≥ ”.
Học sinh đã vận dụng phép biến đổi áp dụng cho phơng trình sang bất ph- ơng trình. Nh vậy, học sinh trên đã sai lầm trong phép biến đổi khi nhân hai vế bất phơng trình với h(x) = x – 2, nhng không ý thức đợc h(x) > 0 hay h(x) < 0, mà điều này ảnh hởng đến chiều của bất phơng trình.
Việc không nắm vững khái niệm, công thức biến đổi cũng dẫn học sinh đến sai lầm và mọi kết quả tính toán, suy luận, trình bày sẽ trở nên vô nghĩa. ở đây xin đa ra một số sai lầm trong biến đổi mà học sinh hay gặp phải:
1. logaf2(x) = 2logaf(x). 2. f (x).g(x) = f (x). g(x) 3. g(x) f (x) f (x).g(x) g(x) = 4. f (x) f (x)2 = trong đó f(x), g(x) là các hàm số; a ∈ Ă và 0 < a ≠ 1.
Khi thực hiện phép biến đổi học sinh không ý thức đợc việc biến đổi và nhiều khi dẫn tới phơng trình hệ quả. SGK Đại số 10, Nâng cao, đã định nghĩa: “f1(x) = g1(x) gọi là phơng trình hệ quả của phơng trình f(x) = g(x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phơng trình f(x) = g(x)”.
Học sinh rất khó khăn trong việc nhận ra phơng trình hệ quả của phơng trình đã cho, bởi khi giải phơng trình thì tập nghiệm của mỗi phơng trình là cha thể xác định. Nh vậy, có thể nói định nghĩa phơng trình hệ quả chỉ mang tính “hình thức” còn khả năng vận dụng trong thực tiễn là rất khó. Xem xét lời giải bài toán sau: Giải phơng trình:
32x 1− +3x 1− =33x 1+ (1) Có học sinh đa ra lời giải nh sau:
(1) ⇔2x 1 x 1 3 2x 1. x 1 2x 1− + − + 3 − 3 − ( 3 − +3x 1− =) 3x 1+ (2) ⇔ 3 2x 1. x 1. 3x 1 33 − 3 − 3 + = (3)
⇔ (2x - 1)(x - 1)(3x + 1) = 1
⇔ x2(6x - 7) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 7
6.
vậy phơng trình có 2 nghiệm: x = 0 và x = 7
6.
Dễ thấy lời giải này của học sinh gặp sai lầm, bởi x = 0 không là nghiệm của phơng trình. Vậy sai lầm là ở đâu? Thực ra việc phát hiện ra sai lầm này là vô cùng khó khăn đối với học sinh, bằng biện pháp s phạm giáo viên cần chỉ ra cho học sinh thấy phép biến đổi từ (2) sang (3) là không tơng đơng. Thực chất,
khi thay thế (32x 1− + 3x 1− ) bằng 33x 1+ theo (1), thì ta thu đợc phơng trình (3) là phơng trình hệ quả của phơng trình (2). Nh vậy, để kết luận về nghiệm của phơng trình buộc lòng phải thử lại các giá trị đó.