b) Giúp học sinh ý thức đợc việc tìm điều kiện cho ẩn phụ
2.4.3. Giúp học sinh ý thức đợc diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi phơng trình
đổi phơng trình
Thực tiễn s phạm chỉ ra, không ít học sinh khi giải phơng trình thờng dùng phơng pháp biến đổi dẫn phơng trình ban đầu tới phơng trình đơn giản hơn, mà quên mất rằng mọi sự giản lợc đó đều có thể “có vấn đề”. Trong thực tế, không phải mọi phép biến đổi đều bảo toàn, tức là không làm thay đổi tập hợp nghiệm của phơng trình ban đầu. Nó có thể thu hẹp tập hợp nghiệm (tức là làm mất
nghiệm), hoặc mở rộng tập hợp nghiệm (tức là làm xuất hiện hiện nghiệm ngoại lai). Giáo viên cần có sự hớng dẫn, rèn luyện nhằm giúp học sinh có ý
thức trong việc biến đổi, để từ đó nhận biết đợc diễn biến của tập nghiệm. Khi học sinh hiểu đợc diễn biến của tập nghiệm, thì cần đề ra cho họ phơng pháp
tìm đúng và đầy đủ tất cả các nghiệm của phơng trình đã cho. Sự thay đổi của tập nghiệm là hoàn toàn phụ thuộc vào phép biến đổi, do vậy giáo viên cần giáo dục học sinh khả năng ý thức diễn biến tập nghiệm thông qua việc dạy các phép biến đổi.
Với phép biến đổi tơng đơng thì tập nghiệm của phơng trình là không thay đổi. Do đó, nghiệm của phơng trình cuối cùng là nghiệm của phơng trình ban đầu. Nh vậy học sinh cần phải ý thức đợc rằng 2 phơng trình tơng đơng có cùng tập nghiệm, kể cả trờng hợp đó là tập rỗng.
Ví dụ 17: Với giá trị thực nào của a thì tập nghiệm của các phơng trình
4cos2x = a2 – 6 và 1 – cos2x = a/6 là trùng nhau.
H
ớng dẫn học sinh tìm lời giải:
H: Nhận xét gì về vế trái của 2 phơng trình đó?
4cos2x và 1 – cos2x đều là hàm số ẩn x mà không chứa tham số a.
H: Có mối liên hệ nào giữa chúng không? Có thể biến đổi sao cho chúng xích lại gần nhau không?
1 – cos2x = 2sin2x = 2 – 2 cos2x.
H: Hãy biến đổi sao cho vế trái 2 phơng trình là giống nhau? +) 4cos2x = a2 – 6.
+) 1 – cos2x = a/6 ⇔ 4cos2x = 4 – a/3.
H: Để 2 phơng trình có nghiệm trùng nhau thì cần điều gì? a2 – 6 = 4 – a/3 ⇔ a = 3 và a = - 10/3
H: Giá trị này phản ánh điều gì?
Hai phơng trình đều dẫn tới phơng trình 4cos2x = α (α là một số thực nào đó).
H: Còn có khả năng nào để 2 phơng trình có cùng tập nghiệm nữa không? Vô nghiệm.
H: Đúng rồi, hãy thiết lập điều kiện để 2 phơng trình cùng vô nghiệm +) 4cos2x = a2 – 6 ⇔ cos2x = a2/4 – 3/2
+) 1 – cos2x = a/6 ⇔ cos2x = 1 – a/12 Hai phơng trình cùng vô nghiệm khi:
− > − < − > − < 2 2 a 3 a 3 1 hoặc 0 4 2 4 2 a a 1 1 hoặc 1 0 12 12
H: Hãy giải hệ và nếu kết quả bài toán?
Kết quả: a < - 10 ; - 6 a 0< < ; a = 3 và a > 12.
Biến đổi dẫn tới phơng trình sau là hệ quả của phơng trình trớc, có nghĩa tập nghiệm của phơng trình trớc là một bộ phận của tập hợp nghiệm của phơng trình sau. Học sinh cần ý thức đợc sự biến đổi của tập nghiệm để từ đó đề ra ph- ơng pháp thích hợp nhằm loại nghiệm không phải là nghiệm phơng trình ban đầu (nghiệm ngoại lai). Thông thờng, nếu trong phép biến đổi mà có dẫn đến việc mở rộng tập nghiệm thì sau khi giải ra nghiệm phơng trình cuối cùng buộc phải thử lại vào phơng trình ban đầu nếu thỏa mãn mới chấp nhận, biện pháp thủ công này nhằm loại bỏ những nghiệm ngoại lai. Tuy nhiên, phơng pháp thử nghiệm sẽ gặp không ít khó khăn nếu nghiệm là số cồng kềnh và khó thử bởi phơng trình chứa phép toán logarit, khai căn. Để rèn luyện ý thức về diễn biến của tập nghiệm giáo viên có thể đa ra những hoạt động, tơng tự nh hoạt động sau:
Hoạt động 12: Xem xét lời giải sau đây của học sinh:
“Giải phơng trình: 2x2 +3x 5+ + 2x2 −3x 5 3x+ = (1) Học sinh đa ra lời giải:
Nhân 2 vế phơng trình với biểu thức liên hợp của vế trái là: 2x2 +3x 5 - + 2x2 −3x 5+
Ta đợc phơng trình: 6x = 3x( 2x2 +3x 5 - + 2x2 −3x 5 ) (2)+ Phơng trình tơng đơng:
x = 0 hoặc 2x2 +3x 5 - + 2x2 −3x 5 = 2 (3)+ *) Giải phơng trình (3): 2x2 +3x 5 - + 2x2 −3x 5 = 2+
Ta cộng hai vế phơng trình (3) với hai vế của phơng trình (1), đợc:
2 2x2 +3x 5 = 2 + 3x+ (4) Bình phơng 2 vế ta có:
8x2 + 12x + 20 = 4 + 12x + 9x2 (5) Nghiệm của phơng trình (5) là : x= ± 4
Vậy nghiệm của phơng trình sẽ là: x = 0 và x = ± 4”.
Giáo viên có thể yêu cầu học sinh đa ra nhận xét về lời giải và làm sáng tỏ các vấn đề:
+) Lời giải trình bày không chặt chẽ các bớc biến đổi không đợc chỉ rõ về mặt suy luận lôgic.
+) Không đợc phép kết luận về nghiệm của phơng trình nếu trình bày lời giải theo cách trên.
+) Kết quả bài toán không đúng, chẳng hạn: x = 0 không là nghiệm của phơng trình (1), phơng trình có 1 nghiệm là x = 4.
+) Tất nhiên ý tởng giải phơng trình là không sai và khá sáng tạo. +) Chỉ cho học sinh thấy lý do tại sao bài toán lại dẫn tới sai lầm
ở đây, chúng tôi không muốn nói tới sai lầm trong việc trình bày lời giải, mà chỉ muốn nói đến phép biến đổi phơng trình và sự thay đổi tập nghiệm của nó. Có thể minh họa lời giải bằng sơ đồ suy luận là:
(1) ⇒(2) ⇔ (3) ⇔ x = 0 hoặc (3) (1), (3) ⇒(4) ⇒(5) ⇔ x = ± 4
ở đây ta cũng thấy phép biến đổi đã làm xuất hiện 2 nghiệm ngoại lai đó là: x = 0 và x = - 4. Ta có:
+) (1) ⇒(2): là phép biến đổi phơng trình theo hệ quả và mở rộng tập nghiệm của phơng trình khi (1) có nghiệm x = 4 và (2) có nghiệm là x = 0, x = 4. Vậy nghiệm ngoại lai là: x = 0.
+) (1), (3) ⇒(4): là phép biến đổi phơng trình hệ quả, x0 là nghiệm của (1) thì nó thỏa mãn phơng trình (3) và nó thỏa mãn phơng trình (4). Nh vậy, theo suy luận trên thì (4) là phơng trình hệ quả của (1), nhng (4) và (1) có cùng tập nghiệm là: {4}.
+) (4) ⇒(5): Là phép biến đổi phơng trình hệ quả và làm xuất hiện nghiệm ngoại lai là: x = - 4.
Nh vậy, nếu trong quá trình biến đổi học sinh sử dụng phép biến đổi phơng trình hệ quả, thì có thể sẽ làm xuất hiện nghiệm ngoại lai. Do vậy, trong quá trình giải phơng trình việc ý thức đợc phép biến đổi và diễn biến tập nghiệm là điều quan trọng. Giáo viên cần nhắc nhở học sinh nếu biến đổi mà thu đợc ph- ơng trình hệ quả thì sau khi tìm ra nghiệm phơng trình cuối cùng thì cần phải thử lại để loại các nghiệm ngoại lai.