ẩn phụ, chuyển đổi cách phát biểu bài toán khi giải quyết các vấn đề về ph- ơng trình, bất phơng trình có chứa tham số
Phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình bằng cách đặt ẩn phụ là rất hay đợc sử dụng. Với bài toán phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số giải bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ học sinh thờng gặp khá nhiều khó khăn, đặc biệt trong việc đặt điều kiện cho ẩn phụ và chuyển đổi cách phát biểu bài toán ban đầu sang bài toán với ẩn phụ. ở mục này sẽ nêu ra một số khó khăn sai lầm của học sinh khi giải quyết các vấn đề trên.
Với bài toán giải phơng trình, bất phơng trình không chứa tham số thì không nhất thiết phải đặt điều kiện cho ẩn phụ thật chính xác, bởi việc này chỉ giúp ta loại bỏ trờng hợp vô nghiệm. Ví dụ nếu ta đặt ẩn phụ:
u = x 2 2 x
+ với điều kiện: x > 0.
u = x 2 2 x. 1 2
2 x 2 x
+ ≥ =
Vậy điều kiện chính xác là u ≥ 2, còn điều kiện thừa là: u > 0. Giả sử ph- ơng trình khi đó với ẩn u có 2 nghiệm: u = 1 và u = 2.
+) Rõ ràng hai nghiệm thỏa mãn điều kiện thừa u > 0, tất nhiên khi quay trở lại giải để tìm ẩn ban đầu thì giá trị u = 1 sẽ vô nghiệm.
+) Nếu đặt điều kiện chính xác thì sẽ loại đợc giá trị u = 1.
Tuy nhiên, trong bài toán có chứa tham số thì kiên quyết phải đặt chính xác điều kiện của ẩn phụ, bởi bài toán sẽ đợc tiến hành trên ẩn phụ. Do học sinh khi học về phơng trình, bất phơng trình không chứa tham số đã quen với việc không đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc có đặt nhng không thật chính xác, nên th- ờng dẫn đến những sai lầm khi tìm điều kiện của ẩn phụ trong bài toán có chứa tham số.
Với bài toán có chứa tham số mà giải bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ t =
(x)
ϕ , thì việc tìm điều kiện cho ẩn phụ thực chất là tìm miền giá trị của hàm số t = ϕ(x)với mọi x thuộc miền xác định của bài toán. Đặt đúng điều kiện của ẩn phụ là điều kiện tiên quyết đối với việc giải phơng trình, bất phơng trình đã cho. Nhng không ít học sinh đã gặp sai lầm ngay ở bớc này, xin trích dẫn một số sai lầm cụ thể trong việc đặt điều kiện không thật chính xác:
+) Đặt u = 2sinx với x ∈ Ă , học sinh thấy hàm số luôn dơng, nên đặt điều kiện là: u > 0.
+) Đặt u = (4 x)(x 2)− + , học sinh đặt điều kiện u ≥ 0 vì căn bậc hai luôn dơng hoặc bằng không.
+) Với bài toán: “Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x
thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 1: m.92x2−x −(2m 1)6+ 2x2−x +m42x2−x ≤0”. để giải bài toán này học sinh sẽ đặt ẩn phụ:
2 2x x f (x) 3 3 t 2 2 − = ữ = ữ
Sẽ không ít học sinh sai lầm khi đặt điều kiện t > 0, bởi t là hàm số mũ. Với học sinh khá hơn sẽ ý thức đợc việc x ∈ [0; 1] nên suy luận:
f (0) f (1) 3 3 t 2 2 ≤ ≤ ữ ữ 3 1 t 2 ⇔ ≤ ≤
nh vậy học sinh sai lầm khi cho rằng: f(0) ≤ f(x) = 2x2 – x ≤ f(1)”.
Ngoài sai lầm do đặt điều kiện ẩn phụ không chính xác thì trong khi giải phơng trình, bất phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ, học sinh thờng gặp sai lầm trong phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán từ ẩn ban đầu sang ẩn phụ. Một sai lầm phổ biến đó là học sinh thờng mang yêu cầu bài toán đối với ẩn ban đầu sang áp dụng cho ẩn phụ. Xét bài toán: “Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 – 2mx2 + m + 12 = 0 (1) ”.
Để tiến hành giải phơng trình trên học sinh đặt ẩn phụ: t = x2, điều kiện: t ≥ 0. Đợc:
t2 – 2mt + m +12 = 0 (2)
Thực tiễn dạy học đã chỉ rõ có khá nhiều học sinh chuyển đổi yêu cầu bài toán: Để phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có 4 nghiệm phân biệt. Chính việc chuyển đổi sai lầm này sẽ nẩy sinh mâu thuẫn trong kiến thức của học sinh khi học giải quyết vấn đề phơng trình bậc 2 mà lại có đến 4 nghiệm phân biệt. Cũng có một số học sinh ý thức đợc bài toán thì phát biểu: Để phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn t ≥ 0. Học sinh này đã sai lầm khi không ý thức đ- ợc sự tơng quan giữa các nghiệm và đã không nhận ra vấn đề khi phơng trình (2) có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đó là: có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia d- ơng, tuy nhiên lúc này phơng trình (1) sẽ chỉ có 3 nghiệm – tức là không thỏa mãn yêu cầu bài toán.