b) Giúp học sinh ý thức đợc việc tìm điều kiện cho ẩn phụ
2.5.1.Giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về các phơng pháp
Khi tiếp xúc với một chủ đề toán học, thì việc hình thành cái nhìn tổng quan về nội dung đó là hết sức quan trọng. Chỉ khi có tổng quan về các phơng pháp, học sinh mới đỡ bỡ ngỡ và có khả năng ứng phó khi đứng trớc những bài toán khác nhau. Trong t duy con ngời, thì khả năng bắt chớc cũng là quan trọng, tất nhiên không phải là bắt chớc theo dạng “photocopy”, mà chỉ bắt chớc về mặt đờng lối và phơng pháp làm việc mà thôi. Đối với học sinh trình độ “đại
trà” thì việc phát hiện ra một phơng pháp giải mới (chỉ mới đối với học sinh)
cũng là điều rất khó. Vì những lý do trên khi bắt đầu tiếp xúc với dạng toán mới, giáo viên cần cung cấp đầy đủ cho học sinh những phơng pháp giải cơ bản, đồng thời nêu lên những dạng toán điển hình.
Các phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số đợc đa ra ở trên thì hầu hết học sinh đã đợc làm quen khi học về nội dung phơng trình, bất phơng trình không chứa tham số. Nh vậy, học sinh hầu nh đã định hình đợc về các phơng pháp đó, duy chỉ có phơng pháp sử dụng điều kiện cần và đủ là học sinh cha đợc làm quen. ở đây, xin đa ra cách giới thiệu phơng pháp giải sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phơng trình, bất phơng trình có chứa
tham số. Giáo viên có thể đa ra một ví dụ về bài toán giải bằng phơng pháp điều kiện cần và đủ, chẳng hạn:
Ví dụ 18: Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
log ( 4 x3 2 − + x 5) a+ = (1)
H
ớng dẫn học sinh tìm lời giải:
H: Hãy vận dụng các phơng pháp đã biết để giải bài toán?
Biến đổi tơng đơng (1) ⇔ 4 x− + x 5 (3 2) , đây là phơng trình + = a
vừa chứa hàm mũ vừa chứa căn thức, …
Giáo viên: Sử dụng các phơng pháp khác vào việc giải bài toán này là tơng đối khó khăn, nếu không muốn nói là bế tắc. ở đây, ta sử dụng phơng pháp giải mới là phơng pháp điều kiện cần và đủ. Trớc hết ta sẽ đi tìm điều kiện cần để phơng trình có nghiệm duy nhất và sau đó là kiểm tra xem điều kiện cần đó có đủ để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm duy nhất hay không, nh vậy:
Điều kiện cần: Dựa vào tính duy nhất nghiệm suy ra nghiệm của phơng trình, bất phơng trình thỏa mãn tính chất nào đó, dựa vào tính chất này suy ra các giá trị của tham số.
Điều kiện đủ: Kiểm tra các giá trị của tham số tìm đợc trong điều kiện cần có thỏa mãn yêu cầu phơng trình có nghiệm duy nhất hay không.
Cơ sở suy luận lôgic của phơng pháp này là: A ⇒ B và kiểm tra xem B ⇒ A có đúng hay không?
H: Giả sử phơng trình (1) có nghiệm là x0, từ nghiệm x0 này liệu có thể suy ra một nghiệm khác nữa hay không?
….
H: Hãy suy nghĩ bài toán đơn giản hơn: “Giả sử x0 là nghiệm của phơng trình: x2 – m = 0, hãy chỉ ra một nghiệm khác x0 của phơng trình ?”!
- x0 cũng là một nghiệm của phơng trình trên bởi (- x0)2 – m = x02 – m = 0 H: Đúng rồi! Nh vậy nếu phơng trình (1) có nghiệm thứ 2 là x’ thì nó phải thỏa mãn điều gì?
4 x− 0 + x0 + =5 4 x'− + x' 5+ H: Hãy chỉ ra các trờng hợp cụ thể để đẳng thức trên đúng?
4 x− 0 = 4 x' và − x0 + =5 x' 5+ (2) hoặc 4 x− 0 = x' 5 và + x0 + =5 4 x'− (3) H: Hãy tìm tơng quan giữa x0 và x’ trong các khả năng (2), (3)?
+) Từ đẳng thức (2) suy ra: x0 = x’, nên nghiệm x’ vẫn trùng x0
+) Từ (3) suy ra: − = + + = − 0 0 4 x x' 5 x 5 4 x' ⇔ = − −x'x'= − −1 x1 x00 ( với x0 là nghiệm nên: - 5 ≤ x0 ≤ 4) ⇔ x’ = - 1 –x0
H: Chỉ ra nghiệm thứ 2 của phơng trình khác với x0 (không đồng nhất bằng x0)? Đó là: x’ = - 1 – xo.
H: Để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là gì? Điều kiện cần để (1) có nghiệm duy nhất là : x’ = x0
⇒ x0 = - 1 – x0 ⇔ x0 = - 1/2 H: Điều này có nghĩa là gì?
Nếu phơng trình (1) có một nghiệm là x0, khi đó để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất thì x0 = - 1/2.
H: Khi nào phơng trình (1) có nghiệm x0 = - 1/2? (1) có nghiệm x0 = - 1/2 nên ta có : + + − + = 3 2 1 1 log ( 4 5) a 2 2 ⇔ a = 1
H: Nêu kết luận về điều kiện cần của tham số để phơng trình có nghiệm duy nhất?
a = 1 là điều kiện cần để phơng trình có nghiệm duy nhất. H: Bớc tiếp theo ta cần làm gì? (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Sang điều kiện đủ: Tức là đi kiểm tra xem với a = 1 thì phơng trình có đúng là có nghiệm duy nhất hay không! (tới đây học sinh dễ dàng giải phơng
trình: log ( 4 x3 2 − + x 5) 1+ = , tìm ra nghiệm duy nhất là: x = - 1/2)
H: Nêu kết luận bài toán?
Vậy với a = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất.
Sau khi hoàn thành Ví dụ này, giáo viên cần khẳng định hiệu quả của ph- ơng pháp khi giải bài toán tìm điều kiện để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm duy nhất. Cụ thể với bài toán trong Ví dụ 18, nếu giải bằng phơng pháp khác là rất khó khăn trong khi nếu giải bằng phơng pháp sử dụng phơng pháp điều kiện cần và đủ sẽ rất thuận lợi, dễ dàng.