CHUỖI TAYLOR VÀ CHUỖI MACLAURIN

, Ị ỊỊ Ä 1) Dạng khuyết

2. Chuỗi với các số hạng cĩ dấu bất kỳ

21.3 CHUỖI TAYLOR VÀ CHUỖI MACLAURIN

Trong các mục trước ta đã cĩ thể tìm được biểu diễn ở dạng chuỗi lũy thừa cho một lớp rất hẹp các hàm. Ở mục này, ta nghiên cứu tỷ mỉ về bài tốn tổng quát hơn: Hàm nào cĩ biểu diễn ở dạng chuỗi lũy thừa? Làm thế nào ta tìm được biểu diễn đĩ?

Trước tiên, ta giả sử rằng f một hàm nào đĩ mà cĩ biểu diễn ở dạng chuỗi lũy thừa như sau j [?' [= ! / ' [ ! /' [r ! /r' [‡ ! /‡' X | ! /| O „ Ta sẽ tìm cách xác định các hệ số [Wtheo hàm f. Để mở đầu, ta chú ý rằng nếu thay x = a vào (6), thì các số hạng sau số hạng đầu tiên đều bằng 0 và ta cĩ

/ [?

Theo Định lý 5, ta cĩ thể tính đạo hàm từng số hạng của chuỗi (6):

k Ị [=' 2[ ! /=' 3[r ! /' 4[‡ ! /r' X | ! /| O „ và thay x bởi a vào (7), ta được

ç/ [= Lấy đạo hàm cả hai vế của (7) ta được:

l ỊỊ 2[' 2 · 3[r ! / ' 3 · 4[‡ ! /' X | ! /| O „ Ta lại thay x = a vào (8), thì được

çç/ 2[

Thực hiện thủ tục này thêm một lần nữa. Lấy đạo hàm cả hai vế của (8), ta được:

m ỊỊỊ 2 · 3[r' 2 · 3 · 4[‡ ! / ' 3 · 4 · 5 ! /X | ! /| O „ Và thay x = a vào (9) ta được

ỊỊỊ+ 2 · 3[ 3! [

Đến bây giờ ta đã thấy được nét chung. Nếu ta tiếp tục lấy đạo hàm và thay x = a, ta được W/ 2 · 3 · 4 · 5 ···· Q[W Q! [W

Giải phương trình để tìm hệ số thứ n ta được

[WWQ!/

Cơng thức này cũng đúng với n = 0 nếu ta quy ước là 0! = 1 và ? . Như vậy, ta đã chứng minh được định lý sau.

167

(10) ĐỊNH LÝ Nếu f cĩ biểu diễn ở dạng chuỗi lũy thừa tại a, nghĩa là nếu ù [W ! /W

ŠW‰? W‰?

, | ! /| O „thì hệ số của nĩ được tính theo cơng thức thì hệ số của nĩ được tính theo cơng thức

[WWQ! ./ Thay cơng thức này vào chuỗi, ta thấy

Nếu f cĩ khai triển lũy thừa tại a, thì nĩ phải là: @@ ùWQ! ! // W

ŠW‰? W‰?

/ 'Ị1! ! / '/ ỊỊ2! ! // 'ỊỊỊ2! ! // r' X

Chuỗi (11) được gọi là chuỗi Taylor của hàm f tại a (hoặc quanh a hoặc tâm a). Trường hợp đặc biệt là a = 0, chuỗi Taylor trở thành

@X ùWQ!0

ŠW‰? W‰?

W 0 'Ị1! '0 ỊỊ2! 0 ' X

Trường hợp này xuất hiện rất thường xuyên, người ta đặt cho một tên đặc biệt là chuỗi Maclaurin.

CHÚ Ý: Ta đã chỉ ra rằng nếu f cĩ thể biểu diễn được thành chuỗi lũy thừa tại a, thì f bằng tổng của chuỗi Taylor của nĩ. Tuy nhiên, tồn tại các hàm khơng bằng tổng của chuỗi Taylor của nĩ. Tức là, nếu hàm f khả vi vơ hạn tại điểm a thì nĩ cĩ chuỗi Taylor tại a là

ùWQ! ! // W Š

W‰?

Nhưng chưa chắc chuỗi này là chuỗi lũy thừa biểu diễn cho f. Vấn đề đặt ra là: Khi nào chuỗi Taylor của một hàm là chuỗi lũy thừa biểu diễn cho chính nĩ? Ta sẽ cĩ câu trả lời ở dưới đây.

VÍ DỤ 12 Tìm chuỗi Maclaurin của hàm ½E và tìm bán kính hội tụ của nĩ.

GIẢI Nếu ½E, thì W ½E, nên W0 ½? 1 với mọi n. Do đĩ, chuỗi Taylor của

f tại 0 (tức là chuỗi Maclaurin) là

ùWQ!0 Š W‰? W ùQ!W Š W‰? 1 '1! ' 2! ' 3! ' Xr Để tìm bán kính hội tụ, ta đặt /W W/Q!. Khi đĩ //W,= W HQ ' 1!W,= Q!WHQ ' 1 ’ 0 O 1||

Như vậy, theo Dấu hiệu Tỷ lệ, chuỗi hội tụ với mọi x và bán kính hội tụ là R = ∞. ■ Kết luận mà ta cĩ thể rút ra từ Định lý 10 và Ví dụ 12 là: Nếu ½E cĩ thể khai triển được thành chuỗi lũy thừa tại 0, thì ½E ∑Š EW!

W‰?

Vì thế ta cần xác định xem liệu ½E cĩ thể khai triển thành chuỗi lũy thừa khơng?

Ta sẽ nghiên cứu trường hợp tổng quát hơn: Với những điều kiện nào thì một hàm f(x) bằng tổng của chuỗi Taylor của nĩ? Nĩi khác đi, nếu f cĩ đạo hàm mọi cấp, thì khi nào ta được

ùWQ! ! // W Š

W‰?

.

Cũng như với một chuỗi hội tụ, điều này nghĩa là f(x) là giới hạn của dãy các tổng riêng. Trong

168

ƒW ùÞ,/! ! /Þ / 'Ị1! ! / '/ ỊỊ2! ! // ' X 'W2! ! // W W

މ?

Lưu ý rằng ƒW là một đa thức bậc n và được gọi là đa thức Taylor bậc n của f tại a.Chẳng hạn với hàm ½E, Ví dụ 12 đã chỉ ra rằng các đa thức Tayor tại 0 (hay là các đa thức Maclaurin) với n = 1, 2, 3 là:

ƒ= 1 ' ƒ 1 ' 'E! : ƒ

1 ' 'E! :'Er! u

Đồ thị của các hàm trên được vẽ trong Hình dưới đây.

Khi n tăng, ƒW ngày càng tiến về½E. Điều này làm cơ sởđể ta dựđốn rằng ½E bằng tổng chuỗi Taylor của nĩ

Một cách tổng quát, f(x) bằng tổng chuỗi Taylor của nĩ nếu

limW’ŠƒW.

Nếu ta đặt „W ! ƒW do đĩ

ƒW ' „W, „W là phần dư thứ n trong khai triển Taylor.

Bằng cách nào đĩ nếu ta chỉ ra được rằng limW’Š„W 0 thì suy ra lim

W’ŠƒW limW’Š$ ! „W & ! limW’Š„W Như vậy, ta chứng minh được định lý sau đây.

(12) ĐỊNH LÝ Nếu ƒW ' „W, trong đĩ ƒW là đa thức Taylor bậc n của f tại a và lim

W’Š„W 0

Với mọi |x – a| < R, thì f bằng tổng của chuỗi Taylor của nĩ trên tập các x thỏa mãn |x – a| < R. Khi ta đi chứng minh limW’Š„W 0, ta thường hay sử dụng kết quả sau đây

(13) BẤT ĐẲNG THỨC TAYLOR Nếu W,= # — với |x – a| < R, thì phần dư „W của chuỗi Taylor thỏa mãn bất đẳng thức

|„W| #Q ' 1! | ! /|— W,= với | ! /| O „

Để thấy được tại sao điều này đúng với n = 1, ta giả sử rằng |ỊỊ| # —. Nĩi riêng, ta cĩ ỊỊ # —, thì +EỊỊ|´| + #+E—´| + Một nguyên hàm của f’’ là f, vì thế ta cĩ Ị ! Ị/ # — ! / hoặc Ị # Ị/ ' — ! / Do đĩ +EỊ´ + #+E$Ị ' —| ! /&´| + ! / # Ị/ ! / ' — ! /2 ! / ! Ị/ ! / #—2 ! / Nhưng „= ! ƒ= ! / ! Ị/ ! /. Vì thế „= #—2 ! /

169

„= F !—2 ! / Vì thế |„=| #¤| ! /|

Như vậy, ta đã chứng minh được Bất đẳng thức Taylor cho trường hợp n =1. Với n bất kỳ thì việc chứng minh là tương tự, ta phải lấy tích phân n + 1 lần.

Trong việc áp dụng các định lý trên, ta thường xuyên sử dụng kết quả sau:

@f limW’∞Q! 0 vW ới mỗi số thực x cốđịnh

Điều này là đúng bởi vì từ Ví dụ 12, ta cĩ chuỗi ∑EW! hội tụ với mọi x và do đĩ số hạng thứ n tiến

đến 0.

VÍ DỤ 13 Chứng minh rằng eE bằng với tổng chuỗi Taylor của nĩ.

GIẢI Đặt eE, thì ta cĩ W eE với mọi số n. Do đĩ, với mỗi số x cố định, ta cĩ thể

chọn — eE trong bất đẳng thức Taylor (với a = 0) với mọi giá trị của n: |„W| #Q ' 1! ||½E W,=

Tuy nhiên, từ (14) ta cĩ: limW’Š K

Â

W,=!||W,= ½ElimW’ŠW,=!= ||W,= 0

Từ Định lý giới hạn kẹp ta được limW’Š|„W| 0 và do đĩ limW’Š„W 0. Theo Định lý 12, ½E bằng tổng chuỗi Taylor của nĩ, tức là,

@o ½E ∑Š EW!

W‰? ■ Nĩi riêng, nếu ta thay x = 1 vào (15), ta được biểu diễn của e dưới dạng tổng của một chuỗi vơ hạn @j ½ ùQ!1

ŠW‰? W‰?

1 '1! '1 2! '1 3! ' X1

VÍ DỤ 14 Tìm chuỗi Taylor của hàm ½E tại a = 2.

GIẢI Ta cĩ W2 ½ và do đĩ, đặt a = 2 vào định nghĩa của chuỗi Taylor (11), ta được ùWQ! ! 22 W Š W‰? ù½Q! ! 2 W Š W‰?

Tương tự như Ví dụ 12, ta cĩ thể chỉ ra được rằng bán kính hội tụ „ ∞. Tương tự như Ví dụ 13, ta cĩ thể chứng minh được limW’Š„W 0. Do đĩ @k ½E ∑Š KW!: ! 2W

W‰? với mọi ■ Ta đã cĩ hai chuỗi lũy thừa biểu diễn cho ½E, Chuỗi Maclaurin trong (15) và chuỗi Taylor trong (17). Chuỗi thứ nhất tốt hơn nếu ta quan tâm đến các giá trị của x tại các vị trí gần 0, cịn chuỗi thứ hai thì tốt hơn nếu ta quan tâm đến các giá trị của x gần 2.

VÍ DỤ 15 Tìm chuỗi Maclaurin của hàm sinx và chứng minh rằng bằng sinx với mọi x.

GIẢI Ta sắp xếp các tính tốn theo hai cột như sau

sin 0 0 Ị cos Ị0 1 ỊỊ ! sin ỊỊ0 0 ỊỊỊ ! cos ỊỊỊ0 !1

‡ sin ‡0 0

Do đạo hàm của hàm đã cho lặp lại sau 4 bước, ta cĩ thể viết chuỗi Maclaurin như sau:

0 'Ị1! '0 ỊỊ2! 0 'ỊỊỊ3! 0 r' X !3! 'r 5! !8 7! ' X ù!1 W W,=

2Q ' 1!

ŠW‰? W‰?

170

Bởi vì W,= là ¸ sin ; ¸ cos , nên W,= # 1 với mọi x. Nên ta cĩ thể lấy M = 1

trong bất đẳng thức Taylor:

@l |„W| #Q ' 1! |— W,=| #Q ' 1!||W,=

Theo (14) vế phải của bất đẳng thức tiến đến 0 khi Q ’ ∞, vì thế |„W| ’ 0 theo Định lý giới hạn kẹp. Từ đĩ dẫn đến „W ’ 0 khi Q ’ ∞ vì thế sinx bằng với tổng của chuỗi Maclaurin của nĩ theo Định lý 12. ■

Ta nêu lại kết quả của Ví dụ 15 để dùng sau này:

@m sin !3! 'r 5! !8 7! ' X ù!1 W W,=

2Q ' 1!

ŠW‰? W‰?

VÍ DỤ 16 Tìm chuỗi Maclaurin cho hàm cosx.

GIẢI Ta cĩ thể làm trực tiếp như Ví dụ 15, nhưng cĩ cách dễ dàng hơn là lấy vi phân hai vế của chuỗi Maclaurin cho sinx được cho bởi (19):

cos ´ sin ´ ´´ !3! 'r 5! !8 7! ' X 1 !33! ' 55! !‡ 77! ' X\ 1 !2! ' 4! !‡ 6! ' X\

Do chuỗi Maclaurin cho sinx hội tụ với mọi x, ta biết rằng đạo hàm chuỗi thì được chuỗi cho cosx hội tụ với mọi x. Do đĩ

X> cos 1 !2! ' 4! !‡ 6! ' X ù!1\ W W

2Q!

ŠW‰? W‰?

với mọi

VÍ DỤ 17 Tìm chuỗi Maclaurin cho hàm cos .

GIẢI Nhân cả hai vế của chuỗi cho cosx (20) với x: cos ù!1W W 2Q! Š W‰? ù!1WW,= 2Q! Š W‰?

VÍ DỤ 18 Biểu diễn hàm sin thành tổng chuỗi Taylor của nĩ tại /3.

GIẢI Sắp xếp các tính tốn của chúng ta thành hai cột, ta cĩ sin ;3< √32 Ị cos ç ;3< 12 ỊỊ ! sin ỊỊ;3< !√32

ỊỊỊ ! cos ỊỊỊ;3< !12 những nét chung này được lặp đi lặp lại. Do đĩ, chuỗi Taylor tại /3 là: ;3< 'Ị;Br<1! ; !3< ' ỊỊ;3< 2! ; !3< ' ỊỊỊ;3< 3! ; !3< r ' X √2 '3 2 · 1! ; !1 3< !2 · 2! ; !√3 3<!2 · 3! ; !1 3<r' X

Ta cĩ thể viết chuỗi ở dạng dùng dấu sigma nếu ta tách riêng số hạng cĩ chứa √3: sin ù!122Q!W√3 Š W‰? ; !3<W' ù22Q ' 1!!1W Š W‰? ; !3<W,=

Ta tổng hợp các kết quả thu được ở trên vào bảng sau đây để tiện dùng sau này, một vài chuỗi Maclaurin quan trọng mà ta đã nhận được trong phần này và ở phần trước.

171

Một số chuỗi Maclaurin quan trọng và khoảng hội tụ

1 ! ù 1 WŠ Š W‰? 1 ' ' ' r' X 1; 1 ½E ùQ!W Š W‰? 1 '1! ' 2! ' 3! ' X !∞; '∞r sin ù!1W W,= 2Q ' 1! Š W‰? !3! 'r 5! !8 7! ' X !∞; '∞ cos ù!1W W 2Q! Š W‰? 1 !2! ' 4! !‡ 6! ' X !∞; '∞\ tan.= ù!1W W,= 2Q ' 1 Š W‰? !3 'r 5 !8 7 ' X !∞; '∞

Một trong những lý do làm cho chuỗi Taylor trở lên quan trọng là nĩ cho phép ta tính được tích phân của những hàm mà ta khơng thể tính theo nguyên hàm sơ cấp. Newton thường lấy tích phân bằng cách khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa và sau đĩ tính tích phân từng số hạng. Hàm

½.E:

khơng thể lấy tích phân theo cách ta đã trình bày ở các chương trước bởi vì nguyên hàm của nĩ khơng phải là hàm sơ cấp. Trong Ví dụ sau đây ta sử dụng ý tưởng của Newton để tính tích phân của hàm này.

VÍ DỤ 19 (a) Tìm *½.E:

´ dưới dạng chuỗi vơ hạn. (b) Tính * ½.E:

´

=

? bởi năm số hạng đầu tiên trong chuỗi.

GIẢI (a) Trước tiên ta tìm chuỗi Maclaurin cho hàm ½.E:

. Ta cĩ thể sử dụng phương pháp trực tiếp, nhưng ở đây ta tìm nĩ bằng cách đơn giản hơn đĩ là thay thế x bởi –x2 vào chuỗi cho hàm ½E đã được tổng kết ở trên. Do đĩ, với mọi giá trị x ta cĩ:

½.E: ù!Q!W Š W‰? ù!1WW Q! Š W‰? 1 !1! ' 2! !‡ 3! ' X \ Bằng cách lấy tích phân từng số hạng: +½.E: ´ + 1 !1! ' 2! !‡ 3! ' X ' !1\ WW Q! ' X´ 2 ' !3 · 1! ' r 5 · 2! !8 7 · 3! ' X ' !1 W W,= 2Q ' 1Q! ' X chuỗi này hội tụ với mọi x bởi vì chuỗi biểu diễn cho ½.E:

hội tụ với mọi x. (b) Ta cĩ: * ½.E:

´

=

? w !r·=!Eu ' 8·!E› !·r!Eõ 'Ž·‡!Ec ' X x=? 1 !=r'=?= !‡= '=\= ! X 1 !=r'=?= !‡= '=\= 0,7475

Một cách sử dụng chuỗi Taylor nữa được minh họa trong ví dụ sau đây. Giới hạn cĩ thể tìm bằng cách sử dụng Quy tắc H’Lopital, nhưng ở đây ta dùng chuỗi.

VÍ DỤ 20 Tính limE’?K

Â.=.EE: . E: .

GIẢI Sử dụng chuỗi Maclaurin biểu diễn hàm ½E, ta cĩ lim E’? ½E! 1 ! limE’?k1 ' 1! '2! ' r 3! ' X l ! 1 ! limE’? 2! ' r 3! ' ‡ 4! X

172