II. Chứng minh
c) Một số khai triển quan trọng
Khai triểm Maclaurin của một số hàm thường gặp:
• Hàm ½E, ta cĩ ơ ½E, và ơ0 1, nên ½E 1 '1! ' 2! ' 3! ' X 'r Q! ' ỴW W Ta được các đa thức Taylor tại 0 (cịn gọi là các đa thức Maclaurin):
= 1 ' 1 ' '2! 1 ' '2! ' 3! r
Đồ thị:
Từ đồ thị ta thấy ngay, việc dùng đa thức để xấp xỉ cho hàm chỉ đem lại kết quả tốt tại những điểm rất gần 0 hoặc là đa thức với bậc đủ lớn.
• Hàm sin :
sin !Er!u'E8!!E!õ' X ' !1W E:ª¨
W,=!' ỴW,=.Cơng thức đúng với mọi x. Cơng thức đúng với mọi x.
Một số đa thức Maclaurin:
= !Er!u r !Er!u'E8!
58 • Hàm cos :
cos 1 !2! ' 4! ! 6! ' X ' !1\ W W
2Q! ' ỴW. Cơng thức đúng với mọi x.
• Hàm 1 ' ±, ² :
1 ' ± 1 ' ² '²² ! 12! ' X '²² ! 1² ! 2 X ² ! QQ! W' ỴW. Cơng thức đúng với mọi @ !1.
• Hàm ln1 ' : ln1 ' !E:'Eru!Eư' X ' !1W.= E W ' ỴW. Cơng thức đúng với @ !1. 2. Ứng dụng • Tính gần đúngChẳng hạn sin !E\u • Tính giới hạn
VÍ DỤ 1 Tính limE?À E.÷Eu .
Giải
Vì sin ! !E\u' Ỵr ! !E\u' Ỵr Nên limE?.
Âu »,ïEu
Eu !=\
• Tìm cực trị
Giả sử f : [a; b]→R, f ’(x) là các hàm liên tục trên [a; b], f ’(x0) = 0, f ”(x0) > 0 với x0∈[a; b]. Theo Khai triển Taylor ! ? Ị? ! ? '*ååEø
! ! ?' o ! ? ỊỊ2! ! ? ?' o ! ? Do đĩ, với x gần x0 ta cĩ: f(x) - f(x0) ≈*ååEø
! ! ?' o ! ? > 0 hay : f(x) - f(x0) > 0.
Suy ra x0 là điểm cực tiểu của f.
6.2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VIỆC KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ta đã biết rằng Ị là hệ số gĩc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm , , mặt khác tại rất gần thì đồ thị của hàm số và tiếp tuyến của nĩ sai khác nhau khơng đáng kể. Thế nên ta cĩ thể hy vọng rằng những hiểu biết về đạo hàm sẽ cung cấp cho ta những thơng tin về hàm số. Trước tiên là sự biến thiên của hàm số.