Quy tắc L’Hospital để khử dạng vơ đị nh khi tính giới hạn

II. Chứng minh

3. Quy tắc L’Hospital để khử dạng vơ đị nh khi tính giới hạn

Trong bài trước ta đã dùng phương pháp thay thế các VCB để khử dạng các vơ định. Trong mục này, ta xét một phương pháp dùng đạo hàm để khử dạng vơ định ?? và ŠŠ.

Định lý 5 (Quy tắc L’Hospital)Giả sử: các hàm số f và g cĩ đạo hàm tại các điểm trong một khoảng I chứa a(cĩ thể khơng xác định tại a) và g’(x) ) 0; tồn tại limE’fº*ỊEåE hoặc limE’f*ỊEºåE là vơ cực.

Nếu limE’+ 0 và limE’+D 0 hoặc limE’+ ¸∞ và limE’+D ¸∞, thì lim E’f D limE’f ç DỊ

CHÚ Ý 1: Quy tắc L’Hospital phát biển rằng giới hạn của thương hai hàm số bằng giới hạn của thương hai đạo hàm của chúng, miễn là các điều kiện trong giả thiết của quy tắc phải thỏa mãn. Đặc biệt phải xác định được dạng vơ định của giới hạn trước khi sử dụng quy tắc.

50

CHÚ Ý 2: Quy tắc L’Hospital vẫn đúng khi thay quá trình ’ / bởi một trong các quá trình ’ /,; ’ /.; ’ '∞; ’ !∞.

CHÚ Ý 3: Ta cĩ thể áp dụng quy tắc này nhiều lần trong khi tìm một giới hạn.

CHÚ Ý 4: Nếu cĩ limE’f*EºE ‚ thì khơng thể kết luận limE’fºỊE*ỊE ‚.

VÍ DỤ 4 Tìm giới hạn limE’=E.= ˆ E.

Giải Giới hạn cĩ dạng ??. Ta đi tính limE’=E.=Ị ˆ EỊ limE’=

¨Â Â

= 1. Theo quy tắc L’Hospital, ta được limE’=E.= ˆ E 1.

VÍ DỤ 5 Tìm giới hạn limE’,ŠÌ

Â

E:.

Giải Giới hạn phải tìm cĩ dạng ŠŠ. Ta đi tính limE’,ŠÌ

ÂỊ

E:Ị limE’,ŠÌ

Â

E. Ta lại được dạng ŠŠ, ta lại tính limE’,ŠÌ

ÂỊ

EỊ '∞. Như vậy limE’,ŠÌ

ÂE: limE’,ŠÌ E: limE’,ŠÌ ÂỊ E:Ị limE’,ŠÌ ÂỊ EỊ '∞.

VÍ DỤ 6 Tìm giới hạn limE’?ª  ˆ E

¨Â Â

.

Giải Giới hạn phải tìm cĩ dạng ŠŠ. Ta cĩ limE’?ª ˆ EỊ¨

ÂỊ limE’?ª

¨Â Â

.Â:¨ 0. Theo quy tắc L’Hospital, ta được limE’?ª  ˆ E

¨Â 0.  0.

LƯU Ý: Các dạng vơ định khác đều cĩ thể chuyển qua dạng ?? hoặc ŠŠ bằng cách biến đổi biểu thức dưới dấu giới hạn. Một cách hình thức:

• Dạng 0 · ∞ è=/?Š 芊.

• Dạng ∞ ! ∞: ! D é¨ .ê¨

¨êÂé êÂéÂ

, thành dạng ??

• Dạng 1Š, ∞?, 0?: ºE ½ºE  ˆ *E, thành việc đi tìm giới hạn vơ định dạng: 0 · ∞ .

VÍ DỤ 7Tìm các giới hạn: lim

E’?ªWln Q ëÄ; limE’?;Àˆ E= !=E< ; limE’?ª;E,=E,=<äĨÍ E; limE’?ªsinE; limE’=ª;E,=E.=<E.=.

Tuy nhiên cĩ trường hợp khơng áp dụng được quy tắc L’Hospital, chẳng hạn như trong ví dụ sau.

VÍ DỤ 8 Tìm giới hạn limE’,ŠE,Àˆ EE .

Giải Nhận thấy giới hạn phải tìm là dạng ŠŠ,

ta xét limE’,ŠE,Àˆ EỊEỊ limE’,Š=,äĨ E limE’,Šcos E

. Giới hạn này khơng tồn tại (Hãy giải thích?) nên khơng áp dụng được quy tắc L’Hospital. Khử bằng cách chia cả tử và mẫu cho x, ta được limE’,ŠE,Àˆ EE 0.

Bạn cĩ biết?

Quy tắc L’Hospital thực ra là của Johann Bernoulli. Năm 1694 Bernoulli đồng ý nhận tiền cơng mỗi năm 300 bảng từ L’Hospital (học trị cũ của Bernoulli) để giải một số bài tốn cho L’Hospital, trong đĩ cĩ bài tốn tìm giới hạn 0/0. Sau đĩ, năm 1696 L’Hospital cơng bố một cuốn sách trong đĩ cĩ quy tắc tìm giới hạn dạng 0/0, nhưng khơng ghi rõ ai là tác giả.

51

$5 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 5.1 Khái niệm vi phân