lời cho câu hỏi đĩ.
Định lý (về sự tồn tại của hàm ẩn và tính khả vi)
Cho hệ thức =, , … , W, § 0 Ä Giả sử ta cĩ:
i) ỉ=, ỉ, … , ỉW, §ỉ là một nghiệm của (*);
ii) Hàm F cĩ các đạo hàm riêng theo các biến và các đạo hàm riêng đĩ đều liên tục trên một lân cận
của điểm ỉ=, ỉ, … , ỉW, §ỉ;
iii) Đạo hàm theo biến z tại ỉ=, ỉ, … , ỉW, §ỉ của hàm F, cĩ giá trị khác 0.
Khi đĩ: Tồn tại một lân cận Vx của điểm ỉ=, ỉ, … , ỉW, một lân cận Vz của biến §ỉ và một hàm
n biến § §=, , … , W
từ Vx vào Vz sao cho =, , … , W, §=, , … , W y 0
Hơn nữa, hàm z là hàm liên tục và cĩ các đạo hàm riêng liên tục trong Vx.
VÍ DỤ 12
(a) Cho hệ thức r! 3' 3 ! ' 1 0 /. Chứng tỏ rằng hệ thức đã cho xác định một hàm ẩn y = y(x) từ lân cận của -1 vào lân cận của 0. Tìm y’(-1).
(b) Cho hệ thức §' § ! 2 0 Z. Chứng tỏ rằng hệ thức trên xác định một hàm ẩn z(x,y) từ một lân cận của điểm (1, 1) vào lân cận của 1. Tìm các đạo hàm riêng của z tại (1, 1).
Giải
(a) Ta cĩ:
+ Thay (-1; 0) vào phương trình (a), thì thỏa mãn. Nên (-1; 0) là nghiệm của (a).
+ Đặt , r! 3' 3 ! ' 1, ta được F là hàm đa thức hai biến nên cĩ đạo hàm riêng tại mọi điểm trên mặt phẳng tọa độ và các đạo hàm riêng đều liên tục tại mọi điểm thuộc
R2.
Suy ra F cĩ các đạo hàm riêng liên tục trên một hình trịn bất kỳ với tâm là điểm (-1; 0). + ý, 3! 6 ' 3 nên ý!1,0 3 ) 0.
Từ ba điều trên, ta được: Hệ thức (a) xác định một hàm ẩn y = y(x) từ lân cận của -1 vào lân cận của 0.
Từ phương trình đã cho ta được oý
oE !Â
!.rý:rý,\Eý.rE:.\Eý,rE:.E.=: Nên Ị!1 0.
(b) Hướng dẫn: Làm tương tự như (a). Kết quả *E1,1 !8; *ý1,1 =8.