1. Đạo hàm riêng cấp hai
Giả sử f(x, y) xác định trong D. Giả thiết f(x, y) cĩ trong D các đạo hàm riêng (cấp 1)
, ,
Chúng lại là những hàm của (x, y). Nếu chúng lại cĩ các đạo hàm riêng thì các đạo hàm riêng đĩ được gọi là các đạo hàm riêng cấp 2 của f(x, y). Ta ký hiệu các đạo hàm đĩ như sau:
*E;E*< y:E*:y ỊỊ E:; *ý;*E< yE:*ýy ỊỊ Eý; *E;ý*< yý:*Ey ỊỊ ýE; *ý;ý*< y:ý*:y ỊỊ ý:.
79
LƯU Ý:
+ Ta gọi các đạo hàm riêng ỊỊ Eý; ỊỊ
ýE là các đạo hàm riêng hỗn hợp. + Người ta đã xây dựng được ví dụ để chỉ ra rằng, nĩi chung thì
ỊỊ
Eý/, Z ) ỊỊ
ýE/, Z
Nhưng cĩ những trường hợp thì các đạo hàm riêng hỗn hợp tại cùng một điểm thì bằng nhau, đĩ là nội dung của định lý sau.
Định lý Schwarz Giả sử trong một lân cận nào đấy của điểm (a, b), hàm f(x, y) cĩ các đạo hàm çE, çý, ççEý, ççýE trong đĩ ççEý, ççýE liên tục tại (a, b), thì ta cĩ:
ỊỊ
Eý/, Z ỊỊ
ýE/, Z
VÍ DỤ 13 Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của mỗi hàm số a) § r; b) § acrtanEý. Giải (a) §′ E 2r; §′ ý 3 §ççEE 2r; §ççEý 6 §ççýE; §′′ 6. (b) Kết quả: §′ E ' ; §′ ý!' §ççEE !2' ; §ççEý ' ! §ççýE; §ççýý 2' . 2. Vi phân tồn phần cấp hai Giả sử hàm § , cĩ vi phân tồn phần (cấp 1) ´§ ´ ' ´
Lưu ý rằng ´ ∆, ´ ∆ là các hằng số; *E, , *ý, là những giá trị phụ thuộc vào (x,
y). Như thế ´§ là một hàm hai biến, nếu hàm ´§ khả vi, thì vi phân tồn phần của nĩ được gọi là vi phân tồn phần cấp hai của z, ký hiệu ´§. Khi đĩ:
´§ ´ k ´ ' ´l k ´ ' ´l ´ ' k ´ ' ´l ´ Vậy ´§ ´' 2 ´´ '´
VÍ DỤ 14 Tìm vi phân tồn phần cấp hai của hàm số
§ , 2! 3 ! Giải + §′ E 4 ! 3; §ççEE 4; §ççEý !3 §′ ý !3 ! 2; §ççýý !2. + ´§ 4´' 2!3´´ ' !2´ 4´! 6´´ ! 2´.
80
9.2 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
1. Giá trị cận biên theo từng biến
(Đã đề cập đến trong phần định nghĩa vềđạo hàm riêng) 2. Hệ số co giãn theo từng biến
Xét hàm § , với y = b khơng đổi. Nếu x thay đổi một lượng từ a thành / ' ∆, thì ∆ được gọi là độ thay đổi tuyệt đối của biến x tại a; tương ứng độ thay đổi tuyệt đối của hàm theo x tại (a,
b) là ∆/, Z / ' ∆, Z ! /, Z.
Tỷ số: ∆*+,¹*+,¹ và ∆E+ được gọi là độ thay đổi tương đối. E/, Z à lim∆E? ∆/, Z/, Z ·∆/ Ị (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
E/, Z ·/, Z/được gọi là hệ số co giãn của z theo biến x tại (a, b). được gọi là hệ số co giãn của z theo biến x tại (a, b).
Nĩ mơ tả độ thay đổi (tính theo đơn vị %) của biến z khi biến x thay đổi 1% trong khi biến y khơng đổi.
Tương tự, ta cĩ ý/, Z.
VÍ DỤ 15 Xét hàm cầu với một sản phẩm cĩ hai loại
_=, 10 000 ! 0,1=! 2
= là giá bán một đơn vị sản phẩm loại 1 và là giá bán một đơn vị sản phẩm loại 2. Tìm hệ số co giãn của Q theo P2 tại (50, 80). Nêu ý nghĩa kinh tế.
Giải
_
!2; _50,80 9835. Hệ số co giãn ]:50,80 !2.>r8>? !0,015.
Nghĩa là: Khi giữ nguyên giá bán sản phẩm loại 1 là 50 đơn vị tiền và giá bán sản phẩm loại 2 thay đổi 1%, thì lượng cầu thay đổi 0,015% theo hướng ngược lại.
3. Hàm thuần nhất và cơng thức Euler
1) Khái niệm
Về đa thức, nếu đa thức , cĩ tổng các số mũ trong mỗi số hạng đều bằng nhau và bằng r, thì ta gọi , là đa thức thuần nhất bậc r. Khi , là đa thức thuần nhất bậc r, thì:
|, | |¡, .
Nghĩa là khi các biến đồng thời được nhân với t, thì giá trị của hàm được nhân với |¡. Trong giải tích, người ta mở rộng khái niệm thuần nhất cho một hàm bất kỳ.
ĐỊNH NGHĨA Hàm hai biến § , xác định miền trong được gọi là hàm thuần nhất bậc r nếu nĩ thỏa mãn:
|, | |¡, , , ; | @ 0. Số r ở đây cĩ thể là số thực bất kỳ.
VÍ DỤ 16 Cho các hàm
, EE,ýu,ýu D, EtE:.rEýư,ýư (, tEE::.ý,rý::tanEý ,
ta thấy f(x,y) là hàm thuần nhất bậc 2. g(x,y) là hàm thuần nhất bậc 0, (, là hàm thuần nhất bậc – 1.
81
VÍ DỤ 17 Giả sử hàm cầu _ , ], trong đĩ k là hằng số, Q là lượng sản phẩm mà người mua bằng lịng mua ở mức giá P và ở mức thu nhập Y.
Ta thấy, _ trong trường hợp này là hàm thuần nhất bậc 0 vì:
với t > 0, thì |, | }]} ] |?,. Điều này cĩ nghĩa là khi mức giá và thu nhập thay đổi với cùng tỷ lệ thì lượng cầu khơng thay đổi.
VÍ DỤ 18 Hàm Cobb-Douglas tổng quát
[=£· Ú··· ơ là hàm thuần nhất bậc V '' X .
2) Cơng thức Euler
Cơng thức cho ta mối liên hệ giữa hàm thuần nhất và các đạo hàm riêng của nĩ. Cho hàm § , .
§ , là hàm thuần nhất bậc r khi và chỉ khi nĩ thỏa mãn cơng thức sau · ' · · , ÄÄ
(**) được gọi là cơng thức Euler. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3) Vấn đề hiệu suất của quy mơ (Return to scale)
• Khái niệm hiệu suất (hiệu quả) của quy mơ trong lĩnh vực kinh tế là khái niệm đề cập đến sự thay đổi của sản lượng đầu ra khi tất cả các yếu tố đầu vào cùng tăng lên cùng một tỷ lệ. Khi tăng k lần tất cả các yếu tố đầu vào mà làm đầu ra tăng trên k lần, thì ta nĩi hiệu suất kinh tế tăng theo quy mơ.
Khi tăng k lần tất cả các yếu tố đầu vào mà làm đầu ra tăng dưới k lần, thì ta nĩi hiệu suất kinh tế giảm theo quy mơ.
Khi tăng k lần tất cả các yếu tố đầu vào mà làm đầu ra cũng k lần, thì ta nĩi hiệu suất kinh tế khơng đổi theo quy mơ.
• Nếu hàm sản xuất _ , là hàm thuần nhất bậc r, thì hiệu suất kinh tế theo quy mơ được thể hiện theo r.
+ Nếu r > 1, thì hiệu suất kinh tế tăng theo quy mơ. + Nếu r = 1, thì hiệu suất kinh tế khơng đổi theo quy mơ. + Nếu r < 1, thì hiệu suất kinh tế giảm theo quy mơ.
82
$10. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC
Khi tìm hiểu về hàm một biến ta thấy đạo hàm của hàm số cĩ ứng dụng trong việc tìm cực trị và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Ở phần này, ta sẽ thấy đạo hàm riêng của hàm nhiều biến được ứng dụng trong việc xác định cực trị của hàm hai biến và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến.
10.1 CỰC TRỊ TỰ DO VÀ ỨNG DỤNG
1. Định nghĩa và điều kiện cần
Quan sát đồ thị của hàm § , sau đây.
Từ đồ thị ta thấy: cĩ hai điểm (a, b) mà tại đĩ đạt
cực đại địa phương, tức là điểm mà /, Z lớn hơn các giá trị của tại lân cận của điểm (a, b). Tương tự, cĩ hai điểm cực tiểu địa phương.
ĐỊNH NGHĨA Cho § , là hàm xác định trên .
+ Điểm /, Z trong được gọi là điểm cực đại địa phương (gọi tắt là điểm cực đại) nếu tồn tại một hình trịn (C) tâm là (a, b) sao cho /, Z F , với mọi (x, y) thuộc (C).
Khi đĩ số /, Z được gọi là giá trị cực đại địa phương (giá trị cực đại) của f.
+ Điểm /, Z trong được gọi là điểm cực tiểu địa phương(gọi tắt là điểm cực tiểu) nếu tồn tại một hình trịn (C) cĩ tâm là (a, b) sao cho /, Z # , với mọi (x, y) thuộc (C).
Khi đĩ số /, Z được gọi là giá trị cực tiểu địa phương (giá trị cực tiểu).
Chú ý: + Nếu các bất đẳng thức trong định nghĩa trên đúng với mọi (x, y) trong tập xác định, thì ta nĩi (a, b) là điểm cực trị tồn cục. Tức là giá trị lớn nhất (nếu là điểm cực đại), giá trị nhỏ nhất (nếu là điểm cực tiểu) trên tập xác định.
+ Nếu tồn tại một hình trịn (C) cĩ tâm là A(a, b) sao cho trừ điểm A ra ta luơn cĩ /, Z @ , (hoặc /, Z O , thì điểm A là điểm cực trị thực sự hay cực trị ngặt; cịn nếu trong
mọi hình trịn cĩ tâm A cĩ những điểm khác sao cho dấu bằng xảy ra thì A là điểm cực trị khơng thực sự.
Trong phần hàm một biến ta cĩ điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại một điểm là: Đạo hàm tại điểm đĩ bằng 0 (nếu tồn tại). Tương tự, trong hàm hai biến thì định lý sau đây cho ta một điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại (a, b).
Định lý(Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại một điểm)
Nếu hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu tại (a, b) và tồn tại các đạo hàm riêng cấp 1 tại điểm đĩ, thì
*
E/, Z 0 và *ý/, Z 0.
Từ định lý này, ta thấy điểm (a, b) trong tập xác định của hàm số muốn là điểm cực trị thì trước tiên phải là điểm mà tại đĩ ít nhất một đạo hàm riêng khơng tồn tại hoặc các đạo hàm riêng tồn tại và đều bằng 0, điểm như thế gọi là điểm tới hạn.
Tuy nhiên điểm dừng chưa chắc là điểm cực trị. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
83
VÍ DỤ 1 Hàm , ' ! 2 ! 6 ' 14, cĩ điểm dừng duy nhất là (1, 3). Đồng thời, ta cĩ