, Ị ỊỊ Ä 1) Dạng khuyết
2. Một số dấu hiệu hội tụ
a) Dấu hiệu so sánh với tích phân
Ta xét một chuỗi mà hạng tử của nĩ là nghịch đảo của bình phương các số nguyên dương: ùQ1
W= W=
11'21'31'41'51' X
153
Chiều rộng của mỗi hình chữ nhật bằng 1; chiều cao bằng giá trị của hàm 1/ tại điểm đầu mút phải của mỗi khoảng. Như thế, tổng diện tích của các hình chữ nhật là
1
1'21'31'41'51' X ùQ1
W= W=
Nếu khơng tính đến hình chữ nhật đầu tiên thì tổng diện tích các hình chữ nhật cịn lại nhỏ hơn diện tích phía dưới đường cong 1/ ứng với F 1, diện tích phía dưới đường cong 1/ ứng với F 1 bằng *=1/´. Ta đã biết rằng tích phân này hội tụ và cĩ giá trị là 1. Như vậy, ta cĩ các tổng riêng của dãy đều nhỏ hơn
=
=:'*=1/´=2
Do vậy, dãy các tổng riêng của chuỗi đã cho bị chặn nên chuỗi hội tụ. Như vậy chuỗi đang xét là hội tụ. Dựa vào ví dụ trên ta cĩ thể thấy rõ hình ảnh trực quan của định lý sau.
(10) DẤU HIỆU TÍCH PHÂN Cho f là một hàm liên tục, dương, và giảm trên [1; ∞) và /W Q. Khi đĩ
(a) Nếu tích phân *=´ hội tụ, thì chuỗi ∑W=/W hội tụ. (b) Nếu tích phân *=´ phân kỳ, thì chuỗi ∑W=/W phân kỳ.
CHÚ Ý: + Dựa vào dấu hiệu này, dễ thấy chuỗi điều hịa phân kỳ.
+ Khi sử dụng Dấu hiệu Tích phân thì khơng nhất thiết tích phân và chuỗi phải bắt đầu với n = 1. Chẳng hạn xét chuỗi
∑ W.r= :
W ta sử dụng tích phân *E.r= :´
Và hàm f cũng khơng nhất thiết phải luơn giảm. Điều quan trọng là hàm f phải giảm khi x đủ lớn, tức là, bắt đầu giảm kể từ khi x lớn hơn số N nào đĩ. Bởi vì khi chuỗi ∑W/W hội tụ thì chuỗi
∑W=/W hội tụ.
VÍ DỤ 10 Hãy xác định xem chuỗi ∑ WW
W= hội tụ hay phân kỳ.
GIẢI Hàm ln / là hàm dương và liên tục với mọi x>1. Nhưng việc f cĩ là hàm giảm hay khơng thì khơng rõ ràng lắm. Do đĩ ta tính đạo hàm của nĩ:
Ị ;1< ! ln
1 ! ln
Do đĩ, Ị O 0 khi ln @ 1 khi và chỉ khi x > e. Như vậy, f là hàm nghịch biến trên (e; ∞) từ đĩ ta được áp dụng Dấu hiệu Tích phân:
+ln = ´ lim}+}ln = ´ Slim}ln 2 H = } lim}ln |2 ∞ Vì tích phân suy rộng này phân kỳ nên chuỗi ∑ WW
W= phân kỳ. ■
VÍ DỤ 11 Với giá trị nào của p thì chuỗi ∑ W=;
W= hội tụ?
GIẢI Nếu p < 0, thì Wlim ;W=;< ∞. Nếu p = 0, thì Wlim ;W=;< 1. Trong các trường hợp này thì lim
W;W=;< ) 0 nên chuỗi đã cho phân kỳ (theo Dấu hiệu Phân kỳ).
Nếu p > 0, thì hàm 1/ơ rõ ràng là hàm liên tục, dương, và giảm trên [1; ∞). Ta đã biết
* E=;
154 Từ Dấu hiệu Tích phân ta suy ra chuỗi ∑ W=;
W= hội tụ nếu p > 1 và phân kỳ khi 0 < p # 1 . (Trường hợp p = 1, thì chuỗi đã cho là chuỗi điều hịa đã xét) ■
Chuỗi trong Ví dụ 11 được gọi là p-chuỗi. Đây là một chuỗi quan trọng được dùng trong phần cịn lại của chương này, vì thế ta tổng kết kết quả của Ví dụ 11 để tiện dùng trong phần tiếp theo.
(11) p - chuỗi ∑ W=;
W= hội tụ nếu p > 1 và phân kỳ khi p # 1.
b) Dấu hiệu so sánh dựa vào bất đẳng thức
(12) DẤU HIỆU SO SÁNH Giả sử rằng ∑/W và ∑ZW là hai chuỗi với các số hạng đều dương. (a) Nếu chuỗi ∑ZWhội tụ và /W# ZW với mọi n >N , thì chuỗi ∑/W hội tụ (N là một số tự nhiên nào đĩ).
(b) Nếu chuỗi ∑ZW phân kỳ và /W F ZW với mọi n>N, thì chuỗi ∑/W phân kỳ.
Khi sử dụng Dấu hiệu So sánh ta phải biết được chuỗi ∑ZW để phục vụ mục đích so sánh. Hầu hết sau này ta sử dụng p - chuỗi hoặc chuỗi hình học.
VÍ DỤ 12 Xác định xem chuỗi ∑ W:,W,r8
W= hội tụ hay phân kỳ.
GIẢI
Với n đủ lớn số hạng số hạng trội hơn cả trong mẫu thức là 2Q, vì thế ta so sánh chuỗi đã cho với chuỗi ∑ W8:
W= . Ta cĩ W:,W,r8 OW8:
Bởi vì vế trái cĩ mẫu số lớn hơn.(Trong Dấu hiệu So sánh, /W nằm ở vế trái và ZW nằm ở vế phải.) Ta biết rằng ù2Q5 W= 52 ùQ1 W= là hội tụ (p-chuỗi với p = 2 > 1). Do đĩ ∑ W:,W,r8
W=
là chuỗi hội tụ. ■
VÍ DỤ 13 Kiểm tra xem chuỗi ∑ WW W= hội tụ hay phân kỳ.
GIẢI Ta đã sử dụng Tiêu chuẩn Tích phân để kiểm tra tính hội tụ của chuỗi đã cho, nhưng ta cũng cĩ thể dùng dấu hiệu so sánh bằng cách so sánh nĩ với chuỗi điều hịa. Ta cĩ lnn > 1 với Q F 3 và do đĩ
ln Q
Q @1Q Q F 3
Ta biết rằng chuỗi ∑1/Q phân kỳ (p-chuỗi với p = 1). Do đĩ, chuỗi đã cho phân kỳ theo Dấu hiệu So sánh. ■
CHÚ Ý: Các số hạng trong chuỗi đang được kiểm tra phải nhỏ hơn các số hạng tương ứng của chuỗi hội tụ hoặc lớn hơn các phần tử tương ứng của một chuỗi phân kỳ. Nếu các số hạng tương ứng của dãy đang xét lớn hơn các số hạng của một chuỗi phân kỳ hoặc nhỏ hơn các số hạng tương
ứng của một chuỗi hội tụ, thì Dấu hiệu So sánh khơng được áp dụng. Để minh họa, xét chuỗi sau
∑ =.= W=
155
Bất đẳng thức =.=@=, khơng cĩ giá trị gì đối với Dấu hiệu So sánh bởi vì chuỗi ∑W=ZW=
∑ =
W= là chuỗi hội tụ và /W@ ZW. Tuy nhiên, ta cĩ cảm giác rằng chuỗi ∑ =.=
W= hội tụ bởi vì nĩ tương tự như chuỗi hình học ∑ =
W= . Trong trường hợp như vậy dấu hiệu sau đây nên được sử dụng.
c) Dấu hiệu so sánh bằng giới hạn
(13) DẤU HIỆU SO SÁNH GIỚI HẠN
Giả sử rằng ∑W=/W và ∑W=ZW là các chuỗi với các số hạng dương. (i) Nếu limW∞+
¹ c
trong đĩ c là một số hữu hạn và c > 0, thì cả hai chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. (ii) Nếu limW∞+
¹ 0 và ∑W=ZW hội tụ, thì ∑W=/W hội tụ.
Mặc dù ta khơng chứng minh Dấu hiệu Giới hạn, nhưng lý do cĩ Dấu hiệu đĩ cĩ vẻ như là với n đủ lớn /W [ZW.
VÍ DỤ 14 Kiểm tra xem chuỗi ∑ =.= W= hội tụ hay phân kỳ.
GIẢI Ta sử dụng Dấu hiệu So sánh Giới hạn với
/W 2W1! 1, ZW21WTa cĩ limW+¹ limW Ta cĩ limW+¹ limW
.= limW=.=/= 1 Từ kết quả của giới hạn và chuỗi ∑ =
W= hội tụ, ta suy ra chuỗi đã cho hội tụ theo Dấu hiệu So sánh Giới hạn. ■
CÁC NỘI DUNG CẦN GHI NHỚ
1. Định nghĩa về sự hội tụ của chuỗi số (hiểu được ∑W=/W s nghĩa là gì), một số tính chất; tính hội tụ của chuỗi hình học, của p – chuỗi. tính hội tụ của chuỗi hình học, của p – chuỗi.