a) Giới hạn tại một số thực
Bài tốn tìm tiếp tuyến
Ta sẽ thấy giới hạn nảy sinh trong khi ta cố gắng tìm tiếp tuyến
của một đường cong.
Tiếp tuyến là một từ cĩ nguồn gốc trong ngơn ngữ Latin là tangens, nghĩa là “tiếp xúc”. Như thế, cĩ thể hiểu tiếp tuyến là
một đường thẳng tiếp xúc với một đường cong. Làm thế nào để đưa ra một khái niệm chính xác?
Đối với đường trịn thì rất đơn giản, tiếp tuyến với đường trịn là một đường thẳng cắt đường trịn tại duy nhất một điểm (Hình dưới) Đối với đường cong nĩi chung, định nghĩa kiểu như trên là khơng được. Nĩ phức tạp hơn. Hãy quan sát hình dưới đây.
Ta thấy, đường thẳng l và t đều đi qua điểm P trên đường cong C. Đường l chỉ cắt đường cong C tại duy nhất một điểm, nhưng nĩ khơng phải là một đường tiếp xúc với đường cong. Với đường t,
mặc dù nĩ cắt C tại hai điểm nhưng nĩ lại tiếp xúc với C.
Để được cụ thể hơn, ta xét bài tốn tìm tiếp tuyến với parabol tại điểm P(1; 1).
Để cĩ được tiếp tuyến của parabol tại điểm P, ta phải tìm được hệ số gĩc của m nĩ bởi đã biết P nằm trên tiếp tuyến rồi. Khĩ khăn nằm ở chỗ muốn tính hệ số gĩc của đường thẳng thì cần phải biết hai điểm phân biêt nằm trên nĩ, trong khi đĩ ta mới cĩ một điểm. Tuy nhiên, ta cĩ thể tính gần đúng giá trị của m bằng cách chọn
một điểm _, trên parabol, gần điểm P và tính hệ số gĩc V]^ của cát tuyến PQ.
27 Ta chọn ) 1 thì ) _ nên V]^ EE.=:.= Chẳng hạn, với _1,5; 2,25 ta cĩ
V]^ 2,25 ! 11,5 ! 1 1,250,5 2,5
Bảng dưới đây liệt kê giá trị V]^ tại một vài giá trị của x tại các điểm gần 1.
Ta thấy: Q càng gần P tương ứng xn càng gần 1, từ bảng trên, V]^ càng gần 2. Điều này gợi ý rằng hệ số gĩc của tiếp tuyến cần tìm m = 2.
Ta nĩi rằng hệ số gĩc của tiếp tuyến là giới hạn của các hệ
số gĩc của các cát tuyến, ta diễn đạt điều này bằng ký hiệu như sau:
lim^]V]^ V và limE=E
:.=E.= 2 E.= 2
Giả sử rằng hệ số gĩc của tiếp tuyến đúng là bằng 2, thì tiếp tuyến cần tìm là ! 1 2 ! 1) tức là 2 ! 1. Như vậy, trong trường hợp này ta quan tâm đến giá trị của một hàm số khi biến số nhận các giá trị gần một số cho trước.
Tiếp theo, ta xét đặc điểm về mặt giá trị của hàm f được xác định như sau ! ' 2 tại các điểm x gần 2, nhưng khơng bằng 2. Bảng sau đây cho ta giá trị của f tại những điểm gần 2.
Ta lại cĩ đồ thị của hàm đã cho ở hình bên.
Từ bảng giá trị và đồ thị của hàm số cho ta thấy các số W càng gần 2(về cả hai phía) thì giá trị W tiến dần về số 4. Điều này cho thấy, ta cĩ thể làm cho giá trị của hàm số gần số 4 một cách tùy ý miễn là lấy giá trị của x đủ gần 2, ta nĩi “4 là giới hạn của hàm số khi x tiến đến 2” và ký hiệu limE 4.
28 Một cách chính xác, ta cĩ định nghĩa sau
ĐỊNH NGHĨA 1 Cho là hàm xác định trên khoảng mở I nào đĩ chứa điểm a, cĩ thể khơng xác
định tại a. Khi đĩ ta nĩi rằng giới hạn của f(x) khi x tiến đến a là số thực L, và viết lim
E+
nếu với mọi dãy số W nằm trong I\{a} và lim W / đều kéo theo lim W . Sau đây là hình minh họa về các hàm số tiến đến L khi x tiến đến a.
LƯU Ý: + Nĩi tới giới hạn của hàm số khi x tiến đến a ta khơng xét hàm số tại a. Chẳng hạn ở hình (b) thì / ) , ở hình (c) thì ta thấy / khơng xác định.
+ Nếu D khi ) / thì limE+ limE+ D,miễn là một trong hai giới hạn tồn tại. + Từ định nghĩa nĩi trên ta thấy, muốn chứng minh khơng tồn tại giới hạn của hàm số khi x tiến đến
a ta chỉ cần nêu ra được hai dãy số khác nhau cùng tiến đến a đồng thời hai dãy hàm tương ứng tiến
đến hai số khác nhau.
VÍ DỤ 14 Xét sự tồn tại của limE?sin¦E.
Giải Chọn hai dãy W=W và §W ¨ =
: , W. Ta thấy: cả hai dãy đều thuộc (-1; 1) \{0} và đều cĩ giới hạn là 0 khi n tiến đến '∞. Tuy nhiên, lim ;sin=/WB < 0 cịn lim ©sin B¨
¨: ª : : ª :
« 1. Theo định nghĩa, limE?sin¦E là khơng tồn tại.
Đồ thị của hàm sin¦E
Người ta cịn chứng minh được rằng định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau:
Cho là hàm xác định trên khoảng mở nào đĩ chứa điểm a, cĩ thể khơng xác định tại a. Khi đĩ ta nĩi rằng giới hạn của f(x) khi x tiến đến a là số thực L, và viết
lim
E+
nếu với mỗi số dương cho trước đều cĩ một số ¬ @ 0 sao cho : 0 O | ! /| O ¬ thì | ! | O
29 Minh họa hình học:
Định nghĩa này cĩ hình ảnh tương tự như định nghĩa giới hạn của dãy số.
VÍ DỤ 15 Chứng minh rằng limEr4x ! 5 7.
Giải
I. Phân tích bài tốn đểđốn giá trị¬. Cho là số dương nào đĩ. Ta muốn tìm số ¬ sao cho: nếu 0 O | ! 3| O ¬ thì | ! 7| O . Ta cĩ ! 7 4 ! 5 ! 7 4 ! 3. Do đĩ, ta muốn: 0 O | ! 3| O ¬ thì | ! 7| O . Ta cĩ ! 7 4 ! 5 ! 7 4 ! 3. Do đĩ, ta muốn: nếu 0 O | ! 3| O ¬ thì | ! 7| O , tức là
nếu 0 O | ! 3| O ¬ thì 4| ! 3| O ta chỉ cần chọn ¬ .