II. Chứng minh
T ốc độ thay đổi: Giả sử rằng y là một đại lượng phụ thuộc vào đại lượng x, cụ thể y là hàm của
x được biểu thị bởi y = f(x). Nếu x biến thiên từ x1 đến x2, thì x đã thay đổi một lượng (gọi là số gia
của x) là
∆ ! =
Khi đĩ y thay đổi một lượng tượng ứng là ∆ à ! =, gọi là số gia của hàm số
Tỷ số
∆
∆ ! ! = =
được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y tương ứng với x trên khoảng $=; & và nĩ cũng chính là hệ số gĩc của cát tuyến PQ(Hình trên).
Tương tự như với vận tốc, ta xét tốc độ thay đổi trung bình trên các khoảng rất nhỏ bằng cách cho
47
được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của yđối với x tại x = x1 (gọi tắt là tốc độ thay đổi của y đối với x tại x1). Như vậy, trước đây ta hiểu đạo hàm f’(a) là hệ số gĩc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm cĩ hồnh độ là a, bây giờ ta cịn thấy rằng:
f ’(a) chính là tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x tại x = a.
Hai cách hiểu này cĩ quan hệ mật thiết đến nhau.
Giá trị của y biến đổi rất nhanh tại P và chậm tại Q
Khi hệ số gĩc lớn thì độ dốc của đường cong lớn và do đĩ giá trị của hàm số thay đổi nhanh, cịn khi hệ số gĩc nhỏ thì đường cong tương đối bằng phẳng tức là giá trị của hàm số tăng khơng lớn.
Giá trị cận biên trong kinh tế: Giả sử C(x) là chi phí mà một cơng ty phải bỏ ra khi sản xuất x sản phẩm. Hàm C được gọi là hàm chi phí. Nếu số sản phẩm được sản xuất tăng từ x1 đến x2, thì tổng chi phí phát sinh thêm là
∆2 2 ! 2= và tốc độ thay đổi trung bình của tổng chi phí theo số sản phẩm là
∆C
∆ 2 ! 2! = =2=' ∆ ! 2∆ =
Giới hạn của biểu thức này khi ∆ 0 chính là tốc độ thay đổi tức thời của tổng chi phí đối với số sản phẩm làm ra tại x = x1, các nhà kinh tế gọi là chi phí cận biên , như vậy
Tổng chi phí cận biên = lim∆E?∆C∆E 2Ị=
Khi chọn ∆ 1 và sản xuất ra n sản phẩm (n đủ lớn để ∆ là nhỏ khi so với n), ta cĩ tổng chi phí cận biên ở mức n sản phẩm là: