II. Chứng minh
4. Các quy tắc tính vi phân
Từ quan hệ giữa đạo hàm và vi phân và các quy tắc tính đạo hàm ta được các quy tắc tính vi phân được phát biểu trong định lý sau.
Định lý 2 Nếu các hàm số f và g khả vi tại điểm a, thì tại điểm đĩ ta cĩ
d(f + g)(a) = df(a) + dg(a); d(f - g)(a) = df(a) - dg(a); d(f g)(a) = g(a)df(a) + f(a)dg(a); ´ ;º*< / º+o*+.*+oº+º:+ .
5.2 Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao1. Đạo hàm cấp cao 1. Đạo hàm cấp cao
* Giả sử là một hàm số cĩ đạo hàm tại mọi x thuộc (c; d). Khi đĩ với mỗi x (c; d) ta xác định được duy nhất một số là Ị, tức là ta cĩ một hàm số f’ xác định trên (c; d). Nếu tại / [; ´ hàm số này cĩ đạo hàm thì ta gọi đạo hàm này là đạo hàm cấp 2 của f tại a, ký hiệu bởi ỊỊ/ hoặc ỊỊ/ hoặc /.
* Một cách tổng quát: Giả sử tồn tại đạo hàm cấp n -1 (n ëÄ) của hàm f và ký hiệu là W.=. Đạo hàm cấp n của hàm f tại a là đạo hàm của W.= tại a, được ký hiệu là W/ hoặc W/.
VÍ DỤ 3 a) f(x) = ax cĩ f(n)(x) = ax(lna)n. a) f(x) = ax cĩ f(n)(x) = ax(lna)n. b) f(x) = xα (α∈R) cĩ f (n)(x) = α(α-1)(α-2)⋅⋅⋅(α-n+1)xα-n. c) f(x) = ln|x| cĩ f (n)(x) = (-1)n(n - 1)!x-n. d) f(x) = sinx cĩ f(n)(x) =sin ; ' QB<. e) f(x) = cosx cĩ f(n)(x) =cos ; ' QB<. 2. Vi phân cấp cao
Ta cịn gọi df = f ’(x)dx là vi phân cấp 1 của f tại x. Với dx khơng đổi, khi điểm x thay đổi, df cũng thay đổi theo, do đĩ nĩ là một hàm số của x. Nếu hàm số này cũng cĩ vi phân tại x, thì vi phân đĩ được gọi là vi phân cấp 2 của f tại x, ký hiệu là d2f hoặc d2y.
Cụ thể, ta cĩ
d2f = d(df) = d(f ’(x)dx) = d(f ’(x))dx = f ”(x)dxdx = f ”(x)(dx)2.
Một cách tổng quát, vi phân cấp n của f tại x là vi phân của vi phân cấp n – 1 của nĩ (nếu chúng tồn tại), ký hiệu là dnf hoặc dny
53
5.3 MỘT SỐĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI 1. Định lý FERMAT 1. Định lý FERMAT
Xét hàm số với đồ thị như hình sau:
Hàm số xác định trên một khoảng nhỏ chứa điểm c và với mọi x thuộc khoảng đĩ và ) [ thì f(x) <
f(c), ta nĩi c là điểm cực đại của hàm số. Hàm số xác định trên một khoảng mở nhỏ chứa điểm d, với mọi x thuộc khoảng đĩ và khác d, thì f(x) > f(d). Ta nĩi d là điểm cực tiểu của hàm số. Điểm cực đại, điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Định lý Fermat(về điều kiện cần của cực trị)
Cho hàm số xác định trên khoảng (a; b). Nếu f(x) đạt cực trị tại điểm [ /; Z và tồn tại Ị[, thì Ị[ 0.
Fermat là tên của một nhà tốn học người Pháp. Vốn ơng là một luật sư, ơng coi làm tốn chỉ là một thú vui. Mặc dù vậy, ơng đã cĩ những kết quả nghiên cứu kiệt xuất. Ơng được coi là một trong hai người(người kia là Descartes) sáng tạo ra hình học giải tích.
Về mặt hình học, định lý trên cho biết nếu hàm đạt cực trị tại điểm c và tồn tại đạo hàm tại
điểm đĩ, thì tiếp tuyến với đồ thị tại (c; f(c)) song song với trục hồnh.
LƯU Ý: Mệnh đề đảo của định lý trên khơng đúng, chẳng hạn xét hàm y = x3 tại x = 0!