II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CẤ PI 1)Phương trình phân li biến số
3) Phương trình vi phân tuyến tính
Định nghĩa:Là phương trình cĩ dạng
Ị' 3 trong đĩ , là các hàm số liên tục.
Nếu y 0, thì được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất.
Cách giải:
Bước 1: Giải Ị' 0 4, gọi là phương trình thuần nhất cấp 1 tương ứng.
+ y 0 là một nghiệm;
137
Là phương trình với biến số phân li, cĩ tích phân tổng quát là: ln|| !+ ´ ' ln|2| với C là hằng số tùy ý khác 0.
ln|| !+ ´ ' ln|2| s || ½.*ơEoE· ½ |0| |2|½.*ơEoE
s ¸2½.*ơEoE ½.*ơEoE ¸2, ) 0 Tĩm lại: Phương trình (4) cĩ nghiệm tổng quát là
½.*ơEoE với mọi hằng số K.
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình (3) cĩ ở dạng ½.*ơEoE. Đạo hàm hai vế:
Ị Ị½.*ơEoE! · ½.*ơEoE· Thay vào (3), ta được:
Ị · ½.*ơEoE! · ½.*ơEoE· ' · · ½.*ơEoE Suy ra:
Ị · ½*ơEoE Do đĩ:
+ · ½*ơEoE´ ' 2
Kết luận: Nghiệm tổng quát của (3) là
6+ · ½*ơEoE´ ' 27· ½.*ơEoE
Lu ý: + Người ta chứng minh được rằng nghiệm tổng quát của (3) ở dạng trên vét hết mọi nghiệm của (3) khi C thay đổi. Mỗi tích phân bất định trong cơng thức nghiệm nĩi trên ta chỉ cần tìm một hàm.
+ Khi giải phương trình cụ thể, ta cĩ quyền áp dụng cơng thức nghiệm ở trên. Khi đĩ * ´ ta chỉ lấy nguyên hàm với hệ số bất định là 0.
VÍ DỤ 7 Giải phương trình a) Ị!ýE , @ 0
b) oýoEE.ý=:.
Giải a) Phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với !1 ; .
Nên nghiệm tổng quát là
6+ · ½*.=E oE´ ' 27· ½.*.=E oE 6+ · ½. E´ ' 27· ½ E *´ ' 2 ' 2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là ' 2. b)Coi x là hàm của y, thì ta được oýoEE.ý= :s Ị! !. Đây là phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm tổng quát là
138
½ý6½.ý!+½.ý2´ ' 27 ½ý6½.ý' 2+´½.ý ' 27
½ý$½.ý' 2½.ý' ½.ý' 2& Vậy nghiệm tổng quát là
½ý$½.ý' 2½.ý' ½.ý' 2&