, Ị ỊỊ Ä 1) Dạng khuyết
2. Chuỗi với các số hạng cĩ dấu bất kỳ
21.2 KHAI TRIỂN MỘT HÀM THÀNH CHUỖI LŨY THỪA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CHUỖI LŨY THỪA
CHUỖI LŨY THỪA
Trong mục này ta tìm hiểu về cách biểu diễn một số hàm thành chuỗi lũy thừa bằng cách sử dụng khéo léo các chuỗi hình học, bằng cách lấy vi phân hoặc lấy tích phân một chuỗi.
Bạn cĩ thể băn khoăn rằng tại sao ta lại muốn khai triển một hàm đã biết thành tổng của chuỗi gồm vơ hạn số hạng. Câu trả lời là việc đĩ rất cĩ ích cho việc tính tích phân của các hàm khơng phải là hàm lấy được nguyên hàm sơ cấp, cho việc giải các phương trình vi phân, và cho việc xấp xỉ hàm bởi đa thức. (Các nhà khoa học làm điều này để đơn giản hĩa biểu thức họ phải giải quyết; khoa học tính tốn làm điều này để biểu diễn hàm trên máy tính cầm tay hoặc máy vi tính.)
Ta bắt đầu mục này bằng một đẳng thức mà chúng ta đã biết trước đây f =.E= 1 ' ' ' r' X ∑ W
W? , || O 1.
Ta đã gặp đẳng thức này, khi đĩ ta nhận được đẳng thức trên bằng cách nhận thấy nĩ là một chuỗi hình học với a = 1 và r = x. Bây giờ, ta xem đẳng thức (4) là một biểu diễn của hàm
f(x) = 1/(1-x) thành tổng của một chuỗi lũy thừa.
Minh họa hình học cho (4) là Hình dưới đây. Bởi vì tổng của một chuỗi là giới hạn của dãy các tổng riêng, ta cĩ
1
1 ! limWịW
trong đĩ ịW 1 ' ' ' r' X W là tổng riêng thứ n. Lưu ý rằng khi n tăng thì ịW xấp xỉ f(x) càng tốt với x thỏa mãn -1 < x < 1.
VÍ DỤ 5 Khai triển 1/1 ' thành tổng của một chuỗi lũy thừa và tìm khoảng hội tụ của chuỗi.
GIẢI Thay x bởi – x2 vào (4), ta cĩ
1 ' 1 1 ! !1 ù!W W? ù!1WW W? 1 ! ' ! \' >X
Bởi vì đây là một chuỗi hình học, nên nĩ hội tụ khi |!| O 1, tức là O 1. Do đĩ, khoảng hội tụ là (-1; 1).
VÍ DỤ 6 Hãy khai triển hàm 1/(x+2) thành chuỗi lũy thừa.
GIẢIĐể đưa hàm này về dạng vế trái của (4), trước tiên rút 2 từ mẫu số: 1 2 ' 2 ;1 ' 2<1 1 2 w1 ! ;! 2<x 1 2 ù ;!2< W W? ù!12W,=W W?
Chuỗi hội tụ khi |-x/2| < 1, tức là, |x| < 2. Như vậy khoảng hội tụ là (-2; 2). ■
VÍ DỤ 7 Tìm chuỗi lũy thừa biểu diễn cho E,Eu.
GIẢI Do hàm này bằng x3 nhân với hàm trong Ví dụ 6 , việc cịn lại chúng ta phải làm là nhân chuỗi đĩ với x3: r ' 2 rù!1 2W,= W W? ù!12W,=W,r W? 12 r!14 '18 8!16 1 \' X
164 Chuỗi này cịn cĩ cách viết khác là E,Eu ∑ .=¯:ׯ¨W
Wr
Tương tự như Ví dụ 6, khoảng hội tụ là (-2; 2). ■ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỦA CHUỖI LŨY THỪA
Tổng của một chuỗi lũy thừa là một hàm ∑ [W ! /W
W? cĩ tập xác định là khoảng hội tụ của chuỗi. Ta cĩ thể muốn lấy đạo hàm hoặc tích phân những hàm số kiểu như vậy, và định lý sau (ta khơng chứng minh) nĩi rằng ta cĩ thể làm việc đĩ bằng cách lấy đạo hàm hoặc tích phân từng số hạng của chuỗi, tương tự như chúng ta đã làm với đa thức. Việc này được gọi là việc lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng.
(5) ĐỊNH LÝ Nếu chuỗi lũy thừa ∑ [W ! /W
W? cĩ bán kính hội tụ là R > 0, thì hàm f được xác định bởi [?' [= ! / ' [ ! /' [r ! /r' X ∑ [W ! /W