Giới hạn là vơ cực của dãy

Trong số những dãy phân kỳ, cĩ những dãy mà cứ cho trước một số dương thì kể từ một số hạng nào đĩ mọi số hạng của dãy đều lớn hơn số dương đĩ chẳng hạn như dãy 2Q ! 1, những dãy như thế được gọi là dãy cĩ giới hạn '∞. Cĩ những dãy mà cứ cho trước một số âm thì mọi số hạng của

26

dãy kể từ một số hạng nào đĩ đều nhỏ hơn số âm đĩ chẳng hạn như dãy {- n}, những dãy như thế được gọi là dãy cĩ giới hạn !∞.

Dãy /W cĩ giới hạn '∞, được viết là W’Šlim/W '∞. Dãy /W cĩ giới hạn !∞, được viết là W’Šlim/W !∞.

LƯU Ý: Các kết quả trong Định lý 4 khơng sử dụng được mà phải tuân theo các quy tắc về giới hạn vơ cực đã học ở chương trình phổ thơng.

VÍ DỤ 13. Chứng minh rằng W’Šlimˆ '∞ khi @ 1.

Giải Đặt r = 1 + a thì a > 0(do r > 1). Dùng khai triển nhị thức Newton, ta được

W 1 ' /W 1 ' Q/ 'WW.= /' X @ Q/ ( vì các số hạng khơng viết ra đều là số dương)

Cứ cho trước số dương M lớn tùy ý nếu ta chọn N @¤+, thì ¢/ @ —.

Do đĩ, với mỗi số dương M lớn tùy ý cho trước, chọn N là số tự nhiên sao cho N @¤+ thì với mọi n thỏa mãn Q @ ¢ ta đều cĩ: W@ Q/ @ ¢/ @ —. Vậy ta được điều phải chứng minh.

Các kết quả giới hạn của dãy W được tổng hợp dưới đây để sau này dùng mà khơng chứng minh lại: || O 1: limW’Šˆ 0 , 1: limW’Šˆ 1 ,

@ 1: limW’Šˆ '∞ , !1: khơng tồn tại : limW’Šˆ .

2.1 Giới hạn của hàm số