II. Chứng minh
b)Giới hạn tại vơ cực
Trong phần (a) ta đã tìm hiểu về giá trị của hàm số khi x tiến dần
đến một số thực xác định. Trong phần này ta tìm hiểu xem điều gì sẽ xảy ra về giá trị của hàm số khi x tiến dần ra vơ cực(nếu được). Trước tiên ta xét đặc điểm về mặt giá trị của hàm EE::.=,= khi x tiến dần ra vơ cực. Bảng một số giá trị và đồ thị của nĩ như sau:
33
Khi các giá trị của xn tiến dần đến '∞, ta thấy dãy hàm tương ứng tiến đến 1. Thực tế là ta cĩ thể làm cho giá trị của hàm số gần 1 một cách tùy ý bằng cách lấy x đủ lớn. Để diễn đạt điều này, ta dùng ký hiệu limE,E
:.=
E:,= 1. Tổng quát, viết limE, với L là số thực thì hiểu là f(x) cĩ thể làm cho gần L một cách tùy ý bằng cách lấy x đủ lớn. Một cách chính xác, ta cĩ định
nghĩa
ĐỊNH NGHĨA 4
• Cho f là hàm số xác định trên khoảng /; '∞ nào đĩ. Nếu mọi dãy số W nằm trong /; '∞ và tiến đến '∞ ta đều cĩ lim W , thì ta nĩi “f(x) cĩ giới hạn là L khi x tiến đến dương vơ cực” và ký hiệu là limE, .
• Cho f là hàm số xác định trên khoảng !∞; Z nào đĩ. Nếu mọi dãy số W nằm trong !∞; Z và tiến đến !∞ ta đều cĩ lim W , thì ta nĩi “f(x) cĩ giới hạn là L khi x tiến đến âm vơ cực” và ký hiệu là limE. .
Minh họa hình học cho định nghĩa:
lim
E,
lim
E. Các định nghĩa trên tương đương với: Các định nghĩa trên tương đương với:
• Cho f là hàm số xác định trên khoảng /; '∞ nào đĩ. Khi đĩ lim
E,
Nghĩa là với mọi số @ 0 cho trước đều cĩ một số N sao cho: nếu x > N thì | ! | O
34
Cho f là hàm số xác định trên khoảng !∞; / nào đĩ. Khi đĩ lim
E.
Nghĩa là với mọi số @ 0 cho trước đều cĩ một số N sao cho: nếu x < N thì | ! | O
Cũng cĩ thể khi x tiến dần đến vơ cực thì giá trị của hàm tương ứng cũng tiến đến vơ cực, chẳng hạn với hàm thì x càng tăng kéo theo giá trị của hàm số càng tăng. Ta nĩi hàm này tiến đến dương vơ cực khi x tiến đến dương vơ cực. Diễn đạt tình huống này bằng ký hiệu như sau:
lim
E, '∞Và hiểu là giá trị của hàm số cĩ thể lớn tùy ý khi lấy x đủ lớn. Và hiểu là giá trị của hàm số cĩ thể lớn tùy ý khi lấy x đủ lớn. Một cách tổng quát, ta cĩ định nghĩa
ĐỊNH NGHĨA 5
• Cho f là hàm số xác định trên khoảng /; '∞ nào đĩ. Nếu mọi dãy số W nằm trong /; '∞ và tiến đến '∞ ta đều cĩ lim W '∞, thì ta nĩi “f(x) cĩ giới hạn là +∞ khi x tiến đến dương vơ cực” và ký hiệu là limE, '∞.
• Cho f là hàm số xác định trên khoảng !∞; Z nào đĩ. Nếu mọi dãy số W nằm trong !∞; Z và tiến đến !∞ ta đều cĩ lim W !∞, thì ta nĩi “f(x) cĩ giới hạn là !∞ khi
x tiến đến âm vơ cực” và ký hiệu là limE. !∞. Minh họa hình học cho định nghĩa:
Tương tự, ta cũng cĩ các định nghĩa tương đương như là các định nghĩa trên.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});