$8 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TỒN PHẦN

II. Chứng minh

$8 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TỒN PHẦN

Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC

8.1 ĐẠO HÀM RIÊNG

Trong bài trước, chúng ta đã làm quen với một số hàm hai biến trong kinh tế, như là hàm sản xuất Cobb-Douglas

Q = f(L, K) = cLa K1-a

Nếu xét trong ngắn hạn mà K khơng thay đổi, thì cĩ thể đặt ra vấn đề là: Giá trị của hàm số thay đổi thế nào khi L thay đổi một đơn vị ? Tức là xác định giá trị cận biên của hàm Q theo biến L khi biến

K là hằng số.

Để giải quyết vấn đề này ta phải giả sử rằng K = K0 là khơng đổi và xét hàm _ ‚, ˜?, nhận thấy rằng đây là hàm một biến, ký hiệu D‚ à ‚, ˜?. Như thế giá trị cận biên của Q theo L là DỊ‚ lim∆’?º,∆.º

∆ , được gọi là đạo hàm riêng của hàm Q theo L; nếu xét tại ‚?, thì DỊ‚? được gọi là đạo hàm riêng của hàm Q theo L tại ‚?, ˜?.

Một cách tổng quát ta cĩ định nghĩa sau đây.

ĐỊNH NGHĨA Cho: hàm số § , xác định trên và điểm g /, Z thuộc .

• Cố định biến Z và cho x biến thiên, ta cĩ hàm một biến số , Z. Cho / số gia ∆, tức là xét x thay đổi từ / đến / ' ∆, ta gọi hiệu số

/ ' ∆, Z ! /, Z

là số gia riêng của hàm f theo biến x tại (a, b); ký hiệu là ∆E§/, Z hoặc ∆E/, Z. Nếu tồn tại giới hạn

lim

∆E’?

∆E/, Z ∆

thì giới hạn đĩ được gọi là đạo hàm riêng theo x của hàm f tại điểm (a, b); ký hiệu là: *E/, Z hoặc çE/, Z.

• Tương tự, cố định /, ta cĩ số gia riêng của hàm f theo biến y tại (a, b)là: /, Z ' ∆ ! /, Z

ký hiệu là ∆ý§/, Z hoặc ∆ý/, Z. Nếu tồn tại giới hạn lim

∆’?

∆ý/, Z ∆y

thì giới hạn đĩ được gọi là đạo hàm riêng của f theo y tại (a, b); ký hiệu là: *ý/, Z hoặc çý/, Z.

• Ta gọi *E/, Z · ∆ là vi phân riêng của hàm f theo x tại (a, b).

• Ta gọi *ý/, Z · ∆ là vi phân riêng của hàm f theo y tại (a, b).

Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy, khi tìm đạo hàm của hàm số theo biến này thì biến cịn lại được coi là hằng số. Khi đĩ áp dụng các cơng thức và quy tắc tính đạo hàm một biến số.

VÍ DỤ 1

Cho hàm , r' r! 2, hãy tìm çE2,1 và çý2,1.

Giải

+ Coi y là hằng số, tính đạo hàm theo x ta được: çE, 3' 2r, nên çE2,1 16. + Coi x là hằng số, tính đạo hàm theo y ta được: çý, 3! 4, nên çý2,1 8.

73

Ý nghĩa hình học:

Lưu ý rằng đồ thị của hàm § , là một mặt S trong khơng gian. Nếu (a, b) cho trước thuộc tập xác định thì (a, b, c) với [ /, Z là một điểm nằm trên S. Khi cố định Z, nghĩa là ta chỉ xét đường cong C1 là giao của mặt S với mặt phẳng y = b. Như vậy, C1 là đồ thị của hàm D , Z thế nên đạo hàm riêng của f theo x tại (a,

b), tức là đạo hàm của g tại a nên nĩ là là hệ số

gĩc của tiếp tuyến với đồ thị C1 tại điểm /, Z, [. Tương tự, khi cố định / ta được *ý/, Z chính là hệ số gĩc của tiếp tuyến với đồ thị C2 của hàm /, , C2 là giao tuyến của S và mặt phẳng cĩ phương trình là x = a. (Xem hình dưới đây).

VÍ DỤ 2 Cho hàm , 4 ! ! 2, hãy tìm çE1,1 và çý1,1. Nêu ý nghĩa hình học.

Giải

Ta cĩ çE, !2, çý, !4. Nên çE1,1 !2, çý1,1 !4.

Đồ thị của hàm đã cho là một mặt S, gọi là paraboloid. Giao của S với mặt phẳng y = 1 là một

parabol (P1) cĩ phương trình § 2 ! và 1. Hệ số gĩc của tiếp tuyến với parabol này tại điểm (1, 1, 1) là – 2. Tương tự, giao của S và mặt phẳng cĩ phương trình x = 1 là parabol (P2) cĩ phương trình § 3 ! 2 và x = 1. Hệ số gĩc của tiếp tuyến với (P2) tại (1, 1, 1) là – 4.(Hình vẽ)

Trong kinh tế: Nếu xét hàm sản xuất _ ‚, ˜ thì các nhà kinh tế gọi ^,^ lần lượt là giá trị cận biên của Q theo L, K. Ta cĩ: ^‚?, ˜? mơ tả sự thay đổi của sản lượng khi lượng lao động tăng từ ‚? lên ‚?' 1 với điều kiện ˜ ˜? là giá trị cố định. Tương tự cho các mơ hình kinh tế nhiều biến khác.

VÍ DỤ 3 Cho hàm sản xuất như sau _‚, ˜ 30˜/r‚=/r. Tìm giá trị cận biên theo K tại (64, 27), theo L tại (64, 27) và nêu ý nghĩa kinh tế.

Giải

+ Khi L = 64 thì _‚, ˜ _64, ˜ 30˜:u64¨u 120˜u: nên ^64, ˜ 80. ˜.¨u.

Vậy, ^64, 27 >?r 27. Điều này nghĩa là: Với L = 64, cố định, thì nếu tăng lượng lao động từ 27 lên 28 đơn vị ta sẽ cĩ sản lượng tăng 27 đơn vị.

+ Khi K cố định, ta cĩ ^‚, ˜ 10˜:u.=r‚.:u. Vậy ^64,27 =?r ¼; \‡< u

=?r =\Ž =8> 2. Điều này nghĩa là với lượng vốn cố định là 27, nếu tăng lượng lao động từ 64 lên 65 thì sản lượng sẽ tăng 2 đơn vị.

74

8.2 VI PHÂN TỒN PHẦN

ĐỊNH NGHĨA Xét hàm số z = f(x, y) xác định trong một lân cận (C) nào đĩ của điểm /, Z. Cho a số gia ∆x, b số gia ∆y sao cho / ' ∆, Z ' ∆ 2. Ta gọi

/ ' ∆, Z ' ∆ ! /, Z là số gia tồn phần của f tại (a, b), ký hiệu là ∆/, Z.

Ta nĩi f khả vi tại /, Z nếu tồn tại các số M, N sao cho: ∆/, Z — · ∆ ' ¢ · ∆ ' Ỵt∆' ∆ trong đĩ lim∆E,∆ý’?,?Ỵt∆' ∆ 0

Khi đĩ, ta gọi — · ∆ ' ¢ · ∆ là vi phân tồn phần của hàm f tại (a, b); ký hiệu: ´/, Z.

Định lý1 Nếu , khả vi tại /, Z, thì: tồn tại *E/, Z và *ý/, Z đồng thời ´/, Z /, Z∆ ' /, Z∆ /, Z´ ' /, Z´

CHÚ Ý: Nếu tồn tại các đạo hàm riêng tại (a, b), thì chưa chắc hàm khả vi tại (a, b). Thật vậy, ta xét ví dụ sau.

VÍ DỤ 4 Cho hàm , ¾ 0 Q1 QếR 0 hoếR ) 0 và ) 0 ặc 0S

Ta cĩ *E0,0 limE’?*E,?.*?,?E.? limE’?=.=E 0, tương tự *ý0,0 0.

Như vậy, tại (0,0) hàm số cĩ các đạo hàm riêng, tuy nhiên hàm này khơng khả vi tại (0,0). Thật vậy: (Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng)

Nếu f khả vi tại (0, 0) thì ở lân cận của (0, 0) ta cĩ

∆f = 0⋅∆x + 0⋅∆y + Ỵt∆' ∆ do đĩ ∆f → 0 khi (∆x,∆y) → (0, 0).

Tuy nhiên với ∆x ≠ 0 và ∆y ≠ 0, ta cĩ

∆f = f(0+∆x, 0+∆y) – f(0, 0) = !1. khơng thể đến 0 khi (∆x,∆y) → (0, 0).

Tuy nhiên nếu các đạo hàm riêng liên tục tại (a, b) thì hàm khả vi tại (a, b). Đĩ là nội dung định lý sau

Định lý2 Nếu f(x, y) cĩ các đạo hàm riêng f ’x(x, y) và f ’y(x, y) ở lân cận (a, b) và các đạo hàm riêng này liên tục tại (a, b) thì f khả vi tại (a, b).

ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN ĐỂ TÍNH GẦN ĐÚNG

Nếu f khả vi tại (a, b), thì ta cĩ f(a + ∆x, b+ ∆y) ≈ f(a, b) + f ’x(a, b)∆x + f ’y(a, b)∆y

với ∆x và ∆y đủ nhỏ.

Cơng thức này cho phép ta tính gần đúng giá trị của hàm f tại (a + ∆x, a+ ∆y) dựa vào thơng tin của

hàm số tại (a, b).

VÍ DỤ 5 Tính gần đúng t4,05' 3,07.

Giải Xét hàm , t'

Ta cĩ çE, tE:E,ý: và çý, tE:ý,ý:

Các hàm này đều liên tục trong một lân cận của (4, 3) nên ta cĩ:

75

8.3 ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP

Đối với hàm một biến ta đã cĩ: R, R R thì Ị ỊR. RỊ Viết lại theo ký hiệu vi phân được:

´

´ ´´R ·´R´

Đối với hàm hai biến thì quy tắc đạo hàm của hàm hợp cĩ hai quy tắc chính. Hai quy tắc này được dùng cho hai kiểu hợp hàm khác nhau.

• Thứ nhất là: Hàm R, Ù với R và Ù là hai hàm của cùng biến , do đĩ là hàm một biến. Ta cĩ cơng thức sau đây để tính đạo hàm của tại x dựa vào đạo hàm của u và v tại x.

Quy tắc 1: Cho § R, Ù là một hàm xác định trong một lân cận của (a, b) và khả vi tại đĩ, với

R R, Ù Ù là hai hàm biến x khả vi tại x0. Khi đĩ hàm một biến z là hàm khả vi tại x0 và o

oE? *Û·oEoÛ'*·ooE

VÍ DỤ 6 Cho hàm § ' 3‡, trong đĩ sin | , cos |. Hãy tìm oo} khi | 0.

Giải

+ oo}}E·oEo}'ý·oýo} 2 ' 3‡ cos | ' ' 12r! sin | 2 sin | cos | ' 3 cos‡| cos | ! sin| ' 12 sin | cosr|sin | + oo}? 3.

Đạo hàm trong Ví dụ mơ tả tốc độ biến đổi của hàm z theo t khi điểm (x,y) dịch chuyển dọc theo đường cong cĩ phương trình tham số là sin | , cos |, đĩ là đường trịn (C). Nĩi riêng, tại

t = 0, thì điểm (x, y) là (0, 1) và oo}(0) là tốc độ thay đổi khi điểm (x,y) dịch chuyển trên (C) qua điểm (0, 1). Chẳng hạn, z = T(x, y) = ' 3‡ là nhiệt độ tại điểm (x, y), thì ƒsin |, cos | biểu thị nhiệt độ tại các điểm trên (C) và oo} biểu thị tốc độ thay đổi của nhiệt độ dọc theo (C).

• Thứ hai là: Hàm § R, Ù với R và Ù đều là các hàm hai biến: R R, ; Ù Ù, . Khi đĩ z là hàm hai biến (x, y).

Quy tắc 2: Cho § R, Ù là hàm hai biến khả vi, với R R, và Ù Ù, là các hàm khả vi. Khi đĩ: EÛÛE'E ýÛÛý'ý

VÍ DỤ 7 Cho § ½Esin , với ị| và ị|, tìm , }.

Giải

+ ị, | EE'ýý ½Esin . |' ½Ecos . 2ị| ½}:

sinị| . |' ½}:

cosị| . 2ị|

Trong trường hợp thứ hai, cĩ ba loại biến: z là biến phụ thuộc; u, v là các biến trung gian; x, y là các biến độc lập.

VÍ DỤ 8 Cho f(x, y) = sin(xy2). Giả sử x = t/s, y = et - s. Hãy tính các đạo hàm riêng của ω(t, s) = f(x(t, s), y(t, s)).

76